Zusammenfassung
Erste Beispiele für figurierte Zahlen sind die Dreieckszahlen (Triagonalzahlen) und Viereckszahlen (Quadratzahlen). Als Dreieckszahlen werden die Anzahlen \(D(1) = 1, D(2) = 3 (= 1 + 2), D(3) = 6 (=1 + 2 + 3), D(4) = 10 (= 1 + 2 + 3 + 4), \quad \ldots \) bezeichnet, die sich aus den Punkten in regelmäßigen Dreiecksmustern ergeben. Die Dreieckszahl D(4) spielte als „Tetraktys“ eine wichtige Rolle in der griechischen Kosmologie. Die Methode der figurierten Zahlen zeigt unmittelbar, dass die Summe zweier benachbarter Dreieckszahlen stets eine Quadratzahl ist. Die Gnomon-Methode zeigt in paradigmatischer Weise, dass die fortlaufend gebildete Summe ungerader Zahlen, beginnend bei 1, stets eine Quadratzahl ist. Unterschiedliche Konfigurationen aus quadratischen Plättchen liefern Formeln für die fortlaufend gebildete Summe von Quadratzahlen und stellen Verbindungen zu den Kubikzahlen her. Das Kapitel schließt mit weiteren regelhaften Zahlenmustern, die aus ungeraden Zahlen gebildet werden, sowie mit kurzen Bemerkungen zur weiteren Entwicklung im Verlauf des historischen Prozesses.
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Notes
- 1.
Das Zahlensystem der Griechen war allerdings kein voll entwickeltes Stellenwertsystem.
- 2.
Wohl wissend, dass die entsprechenden Figuren nicht im strengen Sinne Trapeze sind, wird dieser suggestive Begriff im Folgenden dennoch verwendet. Auch die zu den Dreieckszahlen gehörenden Figuren sind ja i. d. R. nicht wirklich Dreiecke.
- 3.
paradeigma (griechisch) Muster, Beispiel, Vorbild; paradigmatisch: mustergültig, typisch, vorbildhaft, auf ähnliche Fälle übertragbar, verallgemeinerungsfähig
In der Mathematik wird eine Begründung paradigmatisch genannt, wenn sie einen allgemeingültigen Sachverhalt an einem typischen, schlagkräftigen Beispiel (sehr oft von hoher Anschaulichkeit) verdeutlicht.
- 4.
Es fehlte dabei i.w. nur ein Symbol für die Ziffer Null.
- 5.
Eine weitere, hochgradig anschauliche Begründung für diese Formel (mit Bauklötzchen) ist im Video von DorFuchs (https://www.youtube.com/watch?v=Ydc4KhM3h00) gegeben.
- 6.
Wir beschränken uns hier wieder auf den Bereich der natürlichen Zahlen \(\mathbb {N} = \{1, 2, 3, \ldots \)}.
- 7.
Im antiken Griechenland hätte man eine solche Betrachtungsweise nur schwerlich akzeptiert, da hierbei geometrische Objekte unterschiedlicher Dimension gleichgesetzt werden.
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Ziegenbalg, J. (2024). Einführende Beispiele, Potenzsummen. In: Figurierte Zahlen. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-67830-5_3
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-67830-5_3
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Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
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Online ISBN: 978-3-662-67830-5
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