Zusammenfassung
Ein mathematischer Beweis ist eine Argumentationskette, durch welche die zu beweisende Aussage (der zu beweisende Satz) in mehr oder weniger formalisierter Form als richtig (bzw. gültig) nachgewiesen wird. In Abhängigkeit von der zu beweisenden Aussage kann die jeweilige Beweistechnik, die in irgendeiner Form immer auf der mathematischen Logik beruht, sehr unterschiedlich ausfallen. In diesem Kapitel wird die Beweistechnik der vollständigen Induktion ausführlich behandelt. Sie basiert auf der Konstruktion der natürlichen Zahlen „aus dem Nichts“ entsprechend dem Axiomensystem von G. Peano, auf das zunächst eingegangen wird. Das Beweisverfahren der vollständigen Induktion wird dann sehr ausführlich an verschiedenartigen Beispielen erläutert und demonstriert: an typischen Beispielen, an „nicht so ganz typischen“ Beispielen, an Zahlenmustern, an Beispielen im Zusammenhang mit Mengen, an Beispielen aus der Geometrie. Auf die Möglichkeit der Definition durch vollständige Induktion und auf die vollständige Induktion im Zusammenhang mit anderen Beweistechniken (Schubfachprinzip, Wohlordnungssatz) wird eingegangen. Scheinbeweise, Lustiges und Merkwürdiges und ein frühes, auf den Rabbiner Levi Ben Gershon (Gersonides, 1288–1344) zurückgehendes, historisches Beispiel zur vollständigen Induktion runden die Darstellung ab. Schließlich wird die Frage untersucht: Muss es immer vollständige Induktion sein? An zwei einschlägigen Beispielen wird aufgezeigt, dass es manchmal auch intuitivere alternative Methoden der Erkenntnisgewinnung gibt.
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Notes
- 1.
Eine Ausnahme hiervon bilden die hier nicht weiter behandelten Objekte, die durch Anwendung des Auswahlaxioms oder gleichwertiger Prinzipien entstehen.
- 2.
George Bruce Halsted, 1853–1922, amerikanischer Mathematiker.
- 3.
Halsted 1912, Chap. IV, S. 20.
- 4.
engl. mathematical induction.
- 5.
Alternative Bezeichnung: Induktionsanfang.
- 6.
Die Begriffe Prämisse und Konklusion sind, unabhängig vom Kontext der vollständigen Induktion, in der Logik ganz allgemein für die Schlussfigur der Implikation üblich.
- 7.
nach Jakob Bernoulli, 1655–1705, Schweizer Mathematiker.
- 8.
Diese Gründe hängen meist mit dem Hankelschen Permanenzprinzip zusammen (Hermann Hankel, 1839–1873; siehe: Princip der Permanenz formaler Gesetze in Hankel 1867, I § 3).
- 9.
Man kann sich die Kanten z. B. als flexible Verbindungen zwischen den Ecken vorstellen. Für eine ausführlichere Beschreibung der Grundbegriffe siehe z. B. Wilson 1972 oder Ore 1974.
- 10.
Es sei denn, er wäre softwaretechnisch mit entsprechender „Intelligenz“ ausgestattet.
- 11.
soros: griechisch für Haufen oder Stapel.
- 12.
- 13.
Ein Teich besteht aus vielen Wassertropfen. Ein Tropfen macht noch keinen Teich aus und wenn n Wassertropfen keinen Teich ergeben, dann \(n+1\) Tropfen auch nicht.
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Ziegenbalg, J. (2024). Natürliche Zahlen und vollständige Induktion. In: Figurierte Zahlen. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-67830-5_11
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-67830-5_11
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Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
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Online ISBN: 978-3-662-67830-5
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