Mächtigkeit von Mengen

Zusammenfassung

Mengen bestehen aus einer Anzahl verschiedener Elemente. Doch wie viele Elemente hat eine gegebene Menge? Diese Frage ist nur für endliche Mengen „leicht“ zu beantworten. Viel einfacher ist es, zu entscheiden, wann zwei Mengen gleich viele Elemente haben. Das ist nämlich genau dann der Fall, wenn eine bijektive Abbildung zwischen diesen Mengen existiert. Während dies bei endlichen Mengen sehr sinnvoll klingt, werden wir bei unendlichen Mengen einige Überraschungen erleben. So gibt es zum Beispiel genauso viele natürliche wie ganze Zahlen. Gleichzeitig liefert dies ein Werkzeug, um Mengen voneinander zu unterscheiden, müssen doch zwei Mengen offensichtlich verschieden sein, wenn sie unterschiedlich viele Elemente enthalten.

Was hingegen kann über das Verhältnis zweier endlicher Mengen A, B ausgesagt werden, wenn es keine bijektive aber eine injektive oder eine surjektive Abbildung $f:A\rightarrow B$ zwischen ihnen gibt? In beiden Fällen können wir die Anzahl der Elemente von A und B vergleichen: Es gilt $|A|\le |B|$ oder $|A|\ge |B|$ (siehe Proposition 4.1). Insbesondere sind die Begriffe injektiv, surjektiv und bijektiv im Fall $A = B$ äquivalent (Satz 4.1) (tatsächlich reicht sogar die Voraussetzung $|A| = |B|$, wie wir in Kap. 6 sehen werden).