Konvergenz von Folgen

Zusammenfassung

Eine reelle Zahlenfolge (oft kurz nur Folge) ist mathematisch gesehen ein relativ harmloses Objekt: eine unendliche Kette von beliebigen reellen Zahlen. Es wird jedoch schnell interessant, sobald wir arithmetische Operationen ins Spiel bringen. So lassen sich Folgen (punktweise) addieren, subtrahieren, multiplizieren und teils sogar dividieren, während diese Operationen alle üblichen Rechengesetze erfüllen. Wirklich spannend wird es schließlich, wenn man versucht, eine Folge durch eine eindeutig bestimmte Zahl „möglichst genau“ zu beschreiben. Wir nennen dann Folgen, bei denen das möglich ist, konvergent und die eindeutig bestimmte Zahl ihren Grenzwert. Zunächst ist es bemerkenswert, dass Grenzwerte konvergenter Folgen mit den oben genannten Operationen „verträglich“ sind. Konkret heißt das, dass zum Beispiel der Grenzwert einer Summe von konvergenten Folgen gegeben ist durch die Summe ihrer Grenzwerte (Proposition 13.4). Diese Verträglichkeit ermöglicht es zum Beispiel, die reellen Zahlen einzuführen: Dazu betrachtet man die Menge der sogenannten „Cauchy-Folgen“ in $\mathbb {Q}$ und nennt zwei solche Folgen äquivalent, wenn deren Differenz eine Nullfolge ist. Die reellen Zahlen erhält man dann als die Menge der Cauchy-Folgen modulo dieser Äquivalenzrelation. Ebenso kann die Stetigkeit von Funktionen mithilfe konvergenter Folgen definiert werden. Für uns wird jedoch hauptsächlich das Verständnis von Folgenkonvergenz und deren Anwendung in ganz konkreten Fällen relevant sein. Neben Folgen, die durch rationale Funktionen bzw. Polynome definiert werden, interessieren wir uns für die Eigenschaften Monotonie und Beschränktheit und untersuchen deren Zusammenhang mit Konvergenz (monotone Konvergenz/Bolzano-Weierstraß Satz 13.4). So stellt sich heraus, dass jede konvergente Folge beschränkt ist, während umgekehrt jede beschränkte und monoton wachsende (oder fallende) Folge konvergent ist. Um die Bedeutsamkeit von Folgen für die Mathematik aufzuzeigen und als Anwendung der bis dahin gelernten Theorie, werden wir abschließend die Konvergenz der Folge $a_n = \left( 1 + \frac{1}{n}\right) ^n$ nachweisen (Satz 13.5), deren Grenzwert als die Eulersche Zahl e bekannt ist.