Ungleichungen

Zusammenfassung

Während Gleichungsumformungen in der Schule viel Aufmerksamkeit bekommen und nahezu durchexerziert werden, sind Ungleichungen weniger stark im Fokus. Aus diesem Grund beschäftigen wir uns in diesem Kapitel detailliert (das heißt: mathematisch korrekt) mit Ungleichungen. Dabei fangen wir bei Null an und entwickeln die Theorie bis hin zur praktischen Anwendung der Cauchy-Schwarz-Ungleichung (Satz 12.2). Um eine allgemeine Ungleichung überhaupt sinnvoll formulieren zu können, betrachten wir zunächst die elementarste Ungleichung: Positivität. Es stellt sich heraus, dass das genau der richtige Anfang ist, um eine axiomatische Beschreibung von Ungleichungen zu ermöglichen (Proposition 12.1). Ausgehend von dieser Beschreibung untersuchen wir anschließend einige grundlegenden Eigenschaften von Ungleichungen (wie zum Beispiel die Auswirkung der Multiplikation mit negativen Zahlen in Bemerkung 12.6). Insbesondere die Tatsache, dass das Quadrieren von positiven Ungleichungen eine Äquivalenzumformung ist (Korollar 12.3), hat große Auswirkungen. So können wir zum Beispiel damit nachweisen, dass eine Ungleichungskette zwischen den bekannten Mittelwerten besteht (Satz 12.1). Ebenso wichtig ist die Dreiecks-Ungleichung (Lemma 12.7), auf welche wir oft zurückgreifen werden. Schließlich präsentieren wir die berühmte Cauchy-Schwarz-Ungleichung, welche von fundamentaler geometrischer Bedeutung ist, und erklären, wie damit Abstände im Raum definiert werden können.