Polynome II – Irreduzibilität und rationale Funktionen

Zusammenfassung

Wir haben uns bisher ausführlich mit Primzahlen und Polynomen beschäftigt. Ein zentrales Ergebnis von Kap. Kap. 10 ist, dass mit (reellen) Polynomen genauso gerechnet werden kann wie mit (reellen) Zahlen. Insbesondere können wir reelle Polynome als verallgemeinerte ganze Zahlen betrachten (jede ganze Zahl definiert auf natürliche Weise ein ganzzahliges, also reelles Polynom). Es stellt sich sofort die Frage, ob es in diesem Kontext einen sinnvollen Begriff für verallgemeinerte Primzahlen gibt. Die Existenz dieses Kapitels lässt bereits vermuten, dass es einen solchen Begriff gibt: Wir nennen ein reelles (bzw. rationales) Polynom irreduzibel, wenn es nicht in ein Produkt von zwei anderen, nicht konstanten reellen (bzw. rationalen) Polynomen zerlegt werden kann.Tatsächlich ist das Konzept nicht nur für Polynome mit Koeffizienten aus $\mathbb {Q}$, $\mathbb {R}$, $\mathbb {Z}$ (oder auch den komplexen Zahlen) sinnvoll, es funktioniert noch viel allgemeiner in jedem „gutartigem“ Ring (siehe (siehe [3, Abschn. 2.1]). Kommen wir wieder zurück zur Interpretation von Polynomen als verallgemeinerte (ganze) Zahlen. Neben der Frage nach verallgemeinerten Primzahlen stellt sich die Frage, ob die Konstruktion der rationalen Zahlen aus den ganzen Zahlen auf Polynome übertragen werden kann. Tatsächlich erhält man mit derselben Konstrukion (in dem Sinne, dass die definierende Äquivalenzrelation quasi dieselbe ist), mit der $\mathbb {Q}$ aus $\mathbb {Z}$ gewonnen wird, eine sinnvolle Verallgemeinerung von Polynomen, welche wir als rationale Funktionen bezeichnen. Folglich interessieren wir uns dafür, welche der Eigenschaften aus Abschn. Abschn. 10.1 sich auf rationale Funktionen übertragen lassen. Wir werden sehen, dass im Wesentlichen alle arithmetischen Eigenschaften erhalten bleiben. Darüber hinaus können wir sogar den Begriff der Auswertung beziehungsweise Polynomfunktion auf rationale Funktionen erweitern. Das führt zunächst zwangsweise zu Problemen mit dem Definitionsbereich und daher zur Betrachtung von Null- und Polstellen rationaler Funktionen, legt aber auch den Grundstein für das Konvergenzverhalten bestimmter Folgen, welche wir in Abschn. Abschn. 13.2 untersuchen werden.