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Topologische Strukturen

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Zusammenfassung

Das Grundkonzept in diesem Kapitel sind Folgen rationaler Zahlen. Für sie wird der Konvergenzbegriff eingeführt und auf der Basis ihrer algebraischen Eigenschaften werden die reellen Zahlen als Erweiterung des Körpers der rationalen Zahlen konstruiert, der auch ihre Ordnungsstruktur erbt, und in einem weiteren Schritt der Körper der komplexen Zahlen. Mit ihm haben wir das Ende des Aufbaus der Zahlenbereichs erreicht, weil er algebraisch abgeschlossen ist. Die reellen und komplexen Zahlen tragen eine über ihre algebraischen Eigenschaften hinausgehende Struktur, die geeignet ist, ihren Kontinuumscharakter zu erfassen. Dazu entwickeln wir zunächst die metrischen Räume mit den strukturerhaltenden stetigen Abbildungen und in einem weiteren Abstraktionsschritt die der topologischen Räume. Das ist mit der Erläuterung des dazu notwendigen Begriffs der offenen Mengen und Umgebungen verbunden.

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Maurer, C. (2022). Topologische Strukturen. In: Ein strukturorientierter Aufbau der klassischen Zahlenbereiche. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-64887-2_12

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