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Körpererweiterungen

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Zusammenfassung

Das Thema dieses Kapitels ist der Einstieg in das „Rechnen mit Wurzeln“, d. h. die Untersuchung algebraischer Gleichungen in einer Unbekannten mit Koeffizienten aus einem Körper auf Lösbarkeit. Schon Euklid wusste, dass die Quadratwurzel aus 2 (Lösung der Gleichung \(x^2=2\)) kein Bruch ist. Die Suche nach den Nullstellen von Polynomen ist einer der wichtigsten Antriebsmomente für die Algebra. Wir befassen uns deshalb mit Erweiterungen von Körpern, die solche Lösungen enthalten, und erklären dazu die Begriffe einfacher, endlicher und algebraischer Körpererweiterungen. Es wird bewiesen, dass für Polynome mit Koeffizienten in einem Körper Erweiterungen von ihm existieren, in denen sie eine Nullstelle haben. Ferner zeigen wir die Existenz und Eindeutigkeit algebraischer Abschlüsse, d. h. algebraisch abgeschlossener Körpererweiterungen, die Nullstellen aller Polynome besitzen. Eine Folgerung daraus ist die Abzählbarkeit der algebraischen Zahlen über \(\mathbb Q\). Die Suche nach Körpererweiterungen, die alle Nullstellen eines Polynoms enthalten, führt auf den Begriff Zerfällungskörper, deren Existenz und Eindeutigkeit gezeigt wird.

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Literatur

  1. Artin, M.: Algebra. Birkhäuser, Basel (1998) (ISBN 978-3-7643-5938-6)

    Google Scholar 

  2. Birkhoff, G., McLane, S.: A Survey of Modern Algebra. Macmillan Publishing Co., New York (1968).[ISBN 978-1-12404235-0 und Universities Press (2003) ISBN 978-8-17371445-0]

    Google Scholar 

  3. Böhme, G.: Algebra. Springer, Berlin (1992). https://doi.org/10.1007/978-3-642-85526-9

    CrossRef  MATH  Google Scholar 

  4. Bosch, S.: Algebra. Springer Spektrum, Berlin (2020). https://doi.org/10.1007/978-3-662-61649-9

    CrossRef  MATH  Google Scholar 

  5. Fischer, G.: Lehrbuch der Algebra. Springer Spektrum, Berlin (2017). https://doi.org/10.1007/978-3-658-19218-1

    CrossRef  Google Scholar 

  6. Hien, M.: Algebra. Springer Spektrum, Berlin (2021). https://doi.org/10.1007/978-3-662-63778-4

    CrossRef  MATH  Google Scholar 

  7. Hornfeck, B.: Algebra. Walter de Gruyter & Co., Berlin (1976). https://doi.org/10.1015/9783110855883-012

    CrossRef  MATH  Google Scholar 

  8. Jantzen, J.C., Schwermer, J.: Algebra. Springer Spektrum, Berlin (2014). https://doi.org/10.1007/978-3-642-40533-4

    CrossRef  MATH  Google Scholar 

  9. Karpfinger, Ch., Meyberg, K.: Algebra – Gruppen - Ringe - Körper. Springer Spektrum, Berlin (2021). https://doi.org/10.1007/978-3-662-61952-0

    CrossRef  MATH  Google Scholar 

  10. Lang, S.: Algebra. Springer, New York (2002). https://doi.org/10.1007/978-1-4613-0041-0

    CrossRef  MATH  Google Scholar 

  11. Lorenz, F.: Einführung in die Algebra II. Springer Spektrum, Berlin (1997) (ISBN 978-3-8274-0076-5)

    Google Scholar 

  12. Lorenz, F.: Algebra. Springer, New York (2008). https://doi.org/10.1007/978-0-378-72488-1

    CrossRef  MATH  Google Scholar 

  13. Reiffen, H.-J., Scheja, G., Vetter, U.: Algebra. B. I.-Wissenschaftsverlag, Berlin (1968)

    MATH  Google Scholar 

  14. Sacher, R.: Einführung in die Algebra. Springer Vieweg, Wiesbaden (1978). https://doi.org/10.1007/978-3-322-94120-6

    CrossRef  MATH  Google Scholar 

  15. Scheid, H., Schwarz, W.: Elemente der Arithmetik und Algebra. Spektrum Akademischer Verlag, Berlin (2016)

    CrossRef  Google Scholar 

  16. Scheja, G., Storch, U.: Lehrbuch der Algebra. Springer Spektrum, Berlin (2016). https://doi.org/10.1007/978-3-662-48774-7

    CrossRef  MATH  Google Scholar 

  17. Stroth, G.: Elementare Algebra und Zahlentheorie. Birkäuser, Basel (2012). https://doi.org/10.1007/978-3-0346-0502-1

    CrossRef  MATH  Google Scholar 

  18. van der Waerden, B.L.: Algebra I. Springer, Berlin (1971). https://doi.org/10.1007/978-3-662-21600-2

    CrossRef  Google Scholar 

  19. Wolfart, G.: Einführung in die Zahlentheorie und Algebra. Springer Vieweg, Wiesbaden (2011). https://doi.org/10.1007/978-3-8348-9833-3

    CrossRef  MATH  Google Scholar 

  20. Wüstholz, G.: Algebra. Springer Vieweg, Wiesbaden (2004). https://doi.org/10.1007/978-3-322-85035-5

    CrossRef  MATH  Google Scholar 

  21. Wüstholz, G., Fuchs, C.: Algebra. Springer Spektrum, Berlin (2020). https://doi.org/10.1007/978-3-658-31264-0

    CrossRef  MATH  Google Scholar 

  22. Zariski, O., Samuel, P.: Commutative Algebra I. Springer, New York (1975) (ISBN 978-0-378-90089-6)

    Google Scholar 

  23. Zariski, O., Samuel, P.: Commutative Algebra II. Springer, Berlin (1960). https://doi.org/10.1007/978-3-662-27753-9

    CrossRef  MATH  Google Scholar 

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Maurer, C. (2022). Körpererweiterungen. In: Ein strukturorientierter Aufbau der klassischen Zahlenbereiche. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-64887-2_10

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