Zusammenfassung
Das Thema dieses Kapitels ist der Einstieg in das „Rechnen mit Wurzeln“, d. h. die Untersuchung algebraischer Gleichungen in einer Unbekannten mit Koeffizienten aus einem Körper auf Lösbarkeit. Schon Euklid wusste, dass die Quadratwurzel aus 2 (Lösung der Gleichung \(x^2=2\)) kein Bruch ist. Die Suche nach den Nullstellen von Polynomen ist einer der wichtigsten Antriebsmomente für die Algebra. Wir befassen uns deshalb mit Erweiterungen von Körpern, die solche Lösungen enthalten, und erklären dazu die Begriffe einfacher, endlicher und algebraischer Körpererweiterungen. Es wird bewiesen, dass für Polynome mit Koeffizienten in einem Körper Erweiterungen von ihm existieren, in denen sie eine Nullstelle haben. Ferner zeigen wir die Existenz und Eindeutigkeit algebraischer Abschlüsse, d. h. algebraisch abgeschlossener Körpererweiterungen, die Nullstellen aller Polynome besitzen. Eine Folgerung daraus ist die Abzählbarkeit der algebraischen Zahlen über \(\mathbb Q\). Die Suche nach Körpererweiterungen, die alle Nullstellen eines Polynoms enthalten, führt auf den Begriff Zerfällungskörper, deren Existenz und Eindeutigkeit gezeigt wird.
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Maurer, C. (2022). Körpererweiterungen. In: Ein strukturorientierter Aufbau der klassischen Zahlenbereiche. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-64887-2_10
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