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Zeitreihenanalyse in den Wirtschaftswissenschaften

Part of the book series: Studienbücher Wirtschaftsmathematik ((SWM))

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Notes

  1. 1.

    Beweis. Da {ψj} gemäß Annahme absolut summierbar ist, ist Ψ(1) wohl definiert. Da Ψ(1) ≠ 0 ist, existieren ein ε > 0 und eine ganze Zahl m, sodass \(\left |\sum _{j=0}^h \psi _j\right | > \varepsilon \) für alle h > m. Daher sind die Quadrate durch ε2 > 0 nach unten beschränkt und deren unendliche Summe divergiert.

  2. 2.

    Eine Zerlegung in der Art der Beveridge-Nelson-Zerlegung ist auch für Integrationsordnungen größer als eins möglich (siehe Neusser [207]).

  3. 3.

    Für diese und folgende Abbildungen wurde für die Schätzung der Dichte das adaptive Verfahren der Kerndichteschätzung mit Epanechnikov-Kernfunktion verwendet (siehe Silverman [252]).

  4. 4.

    Um exakt zu sein, folgt die Konvergenz des ersten Terms gegen das Quadrat der Standardnormalverteilung aus Theorem C.16.

  5. 5.

    Dies ist natürlich kein exaktes Argument, sondern lediglich eine Heuristik, um ein „Gefühl“ für das Verhalten des Nenners zu bekommen.

  6. 6.

    Unter Verwendung von Itô's Lemma, siehe Protter [232, Kapitel 2], kann man zeigen, dass \(\int _0^1 W(s)\mathrm {d}W(s)\) gleich der oben gefundenen Verteilung, \(\frac {1}{2}(\chi _1^2-1)\), ist. Es gilt für zweifach stetig diffrenzierbare Funktionen, dass \(f(W(t)) - f(W(0))=\int _0^t f'(W(s))\mathrm {d}W(s)+\frac {1}{2}\int _0^t f^{\prime \prime }(W(s))\mathrm {d}s\) ist. Mit \(f(x) = \frac {x^2}{2}\), W(1) ∼N(0,  1) und W(0) = 0 folgt das Resultat.

  7. 7.

    Diese Interpolationsformeln werden in vielen Softwarepaketen zur Berechnung der kritischen Werte herangezogen, so etwa auch in EViews.

  8. 8.

    Wir werden gleich noch darauf zu sprechen kommen, dass auch serielle Korrelation in {Zt} eine Änderung der Vorgangsweise notwendig macht.

  9. 9.

    Die genauen Bedingungen sind in Phillips [223] und Phillips und Perron [227] nachzulesen.

  10. 10.

    Diese Ausführungen folgen Elder und Kennedy [90].

  11. 11.

    Eventuell müssen, wenn serielle Korrelation vorliegt, noch die Regressoren ΔXt−j, j > 0 berücksichtigt und ein ADF-Test durchgeführt werden bzw. ein PP-Test.

  12. 12.

    Eventuell müssen, wenn serielle Korrelation vorliegt, noch die Regressoren ΔXt−j, j > 0 berücksichtigt und ein ADF-Test durchgeführt werden bzw. ein PP-Test.

  13. 13.

    Eventuell müssen die Standardabweichungen wegen möglicher Autokorrelation korrigiert werden. Dies wird durch die Verwendung der langfristigen Varianz anstatt der üblichen Varianz gewährleistet. Diese Korrektur wird in der Literatur oftmals auch als Newey-West-Korrektur bezeichnet.

  14. 14.

    Der kritische Wert ändert sich leicht, da sich durch die Einbeziehung der zusätzlichen verzögerten Terme die Stichprobengröße ändert und wir hier interpolierte kritische Werte verwenden, vgl. MacKinnon [190].

  15. 15.

    Dass das Infinum über Λ statt über (0,  1) gebildet wird, hat ausschließlich theoretische Gründe. In der Praxis spielt die Wahl von Λ keine Rolle. Man kann z. B.Λ = [0, 01, 0, 99] wählen.

  16. 16.

    Wenn die Daten keinen Trend aufweisen, kann δ gleich null gesetzt werden.

  17. 17.

    Für eine erste genaue Analyse siehe Phillips [222]. Analoge Resultate gelten auch im Fall von serieller Korrelation in {Ut} und {Vt}.

  18. 18.

    Dabei ist es irrelevant, welche der Variablen Xt und Yt als abhängige Variable betrachtet wird.

  19. 19.

    Das Problem generierter Regressoren wurde von Nichols und Pagan [212] bzw. Pagan [217] eingehend analysiert.

  20. 20.

    Die langfristige Varianz dieser beiden Prozesse muss ungleich null sein.

  21. 21.

    Die Nuisance-Parameter hängen von der dynamischen Korrelationsstruktur zwischen {Vt} und {Ut} ab.

  22. 22.

    Der entsprechende kritische Wert gemäß den Interpolationsformeln von MacKinnon [190] lautet −3,371.

  23. 23.

    Beispiele finden Sie auch auf unserer Homepage https://www.aau.at/neusser-wagner.

References

  1. Banerjee, A., Dolado, J.J., Galbraith, J.W., Hendry, D.F.: Co-Integration, Error-Correction, and the Econometric Analysis of Non-stationary Data. Oxford University Press, Oxford (1993)

    Book  MATH  Google Scholar 

  2. Billingsley, P.: Probability and Measure, 2. Aufl. Wiley Series in Probability and Statistics. Wiley, New York (1986)

    MATH  Google Scholar 

  3. Campbell, J.Y., Mankiw, N.G.: Are output fluctuations transitory? Q. J. Econ. 102, 857–880 (1987)

    Article  MATH  Google Scholar 

  4. Campbell, J.Y., Perron, P.: Pitfalls and opportunities: What macroeconomists should know about unit roots. In: Blanchard, O.J., Fischer, S. (Hrsg.) NBER Macroeconomics Annual 1991, Bd. 6, S. 141–201. MIT Press, Cambridge, MA (1991)

    Google Scholar 

  5. Christiano, L.J., Eichenbaum, M.: Unit roots in real GNP: Do we know and do we care? Carn.-Roch. Conf. Ser. Public Policy 32, 7–62 (1990)

    Google Scholar 

  6. Christiano, L.J., Eichenbaum, M., Vigfusson, R.J.: What happens after a technology shock? NBER Working Paper 9819, NBER (2003)

    Google Scholar 

  7. Cochrane, J.H.: How big is the random walk in GNP? J. Polit. Econ. 96, 893–920 (1988)

    Article  Google Scholar 

  8. Davidson, J.: Stochastic Limit Theory: An Introduction for Econometricians. Oxford University Press, Oxford (1994). https://doi.org/10.1093/0198774036.001.0001/acprof-9780198774037

    Book  MATH  Google Scholar 

  9. Dickey, D.A., Fuller, W.A.: Distribution of the estimators for autoregressive time series with a unit root. J. Am. Stat. Assoc. 74, 427–431 (1976)

    MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  10. Dickey, D.A., Fuller, W.A.: Likelihood ratio statistics for autoregressive time series with a unit root. Econometrica 49, 1057–1072 (1981)

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  11. Elder, J., Kennedy, P.E.: Testing for unit roots: What should students be taught? J. Econ. Educ. 32, 137–146 (2001)

    Article  Google Scholar 

  12. Engle, R.F., Granger, C.W.J.: Co-integration and error correction: Representation, estimation and testing. Econometrica 55, 251–276 (1987)

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  13. Fuller, W.A.: Introduction to Statistical Time Series, 2. Aufl. Wiley, New York (1996)

    MATH  Google Scholar 

  14. Galí, J.: Technology, employment, and the business cycle: Do technology shocks explain aggregate fluctuations? Am. Econ. Rev. 89, 249–271 (1999)

    Article  Google Scholar 

  15. Granger, C.W.J., Newbold, P.: Spurious regression in econometrics. J. Econ. 2, 111–120 (1974)

    Article  MATH  Google Scholar 

  16. Hamilton, J.D.: Time Series Analysis. Princeton University Press, Princeton (1994)

    Book  MATH  Google Scholar 

  17. Hannan, E.J., Deistler, M.: The Statistical Theory of Linear Systems. Wiley, New York (1988)

    MATH  Google Scholar 

  18. Harvey, A.C.: Forecasting, Structural Time Series Models and the Kalman Filter. Cambridge University Press, Cambridge (1989)

    Google Scholar 

  19. Hauser, M.A., Pötscher, B.M., Reschenhofer, E.: Measuring persistence in aggregate output: ARMA models, fractionally integrated ARMA models and nonparametric procedures. Empir. Econ. 24, 243–269 (1999)

    Article  Google Scholar 

  20. Kwiatkowski, D., Phillips, P.C.B., Schmidt, P., Shin, Y.: Testing the null hypothesis of stationarity against the alternative of a unit root: How sure are we that economic time series have a unit root? J. Econ. 54, 159–178 (1992)

    Article  MATH  Google Scholar 

  21. MacKinnon, J.G.: Critical values for co-integration tests. In: Engle, R.F., Granger, C.W.J. (Hrsg.) Long-Run Economic Relationships, S. 267–276. Oxford University Press, Oxford (1991)

    Google Scholar 

  22. Mills, T.C.: Modelling Trends and Cycles in Economic Time Series. Palgrave Texts in Econometrics. Palgrave Macmillan, Basingstoke (2003)

    Book  Google Scholar 

  23. Nelson, C.R., Plosser, C.I.: Trends and random walks in macro-economic time series: Some evidence and implications. J. Monet. Econ. 10, 139–162 (1982)

    Article  Google Scholar 

  24. Neusser, K.: An algebraic interpretation of cointegration. Econ. Lett. 67, 273–281 (2000)

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  25. Ng, S., Perron, P.: Unit root tests in ARMA models with data dependent methods for the selection of the truncation lag. J. Am. Stat. Assoc. 90, 268–281 (1995)

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  26. Nicholls, D.F., Pagan, A.R.: Estimating predictions, prediction errors and their standard deviations using constructed variables. J. Econ. 24, 293–310 (1984)

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  27. Pagan, A.R.: Econometric issues in the analysis of regressions with generated regressors. Int. Econ. Rev. 25, 183–209 (1984)

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  28. Perron, P.: The Great Crash, the oil price shock, and the unit root hypothesis. Econometrica 57, 1361–1401 (1989)

    Article  MATH  Google Scholar 

  29. Perron, P.: Dealing with structural breaks. In: Patterson, K., Mills, T.C. (Hrsg.) Palgrave Handbook of Econometrics, Bd. 1, S. 278–352. Palgrave MacMillan, Basingstoke (2006)

    Google Scholar 

  30. Phillips, P.C.B.: Understanding spurious regressions in econometrics. J. Econ. 33, 311–340 (1986)

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  31. Phillips, P.C.B.: Time series regression with a unit root. Econometrica 55, 277–301 (1987)

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  32. Phillips, P.C.B., Hansen, B.E.: Statistical inference in instrumental variables regresssion with I(1) processes. Rev. Econ. Stud. 57, 99–125 (1990)

    Article  MATH  Google Scholar 

  33. Phillips, P.C.B., Ouliaris, S.: Asymptotic properties of residual based tests of cointegration. Econometrica 58, 165–193 (1990)

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  34. Phillips, P.C.B., Perron, P.: Testing for a unit root in time series regression. Biometrika 75, 335–346 (1988)

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  35. Protter, P.E.: Stochastic Integration and Differential Equations. Applications of Mathematics: Stochastic Modelling and Applied Probability, Bd. 21, 2. Aufl. Springer, Berlin (2004)

    Google Scholar 

  36. Said, S.E., Dickey, D.A.: Testing for unit roots in autoregressive-moving average models of unknown order. Biometrika 71, 599–607 (1984)

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  37. Saikkonen, P.: Asymptotically efficient estimation of cointegration regressions. Econ. Theory 7(1), 1–21 (1991)

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  38. Silverman, B.W.: Density Estimation. Chapman and Hall, London (1986)

    MATH  Google Scholar 

  39. Stock, J.H.: Unit roots, structural breaks and trends. In: Engle, R.F., McFadden, D.L. (Hrsg.) Handbook of Econometrics, Bd. 4, Kap. 46, S. 2739–2841. Elsevier, Amsterdam (1994). https://doi.org/10.1016/S1573-4412(05)80015-7. https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1573441205800157

  40. Vogelsang, T.J.: Wald-type tests for detecting breaks in the trend function of a dynamic time series. Econ. Theory 13, 818–849 (1997)

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  41. Vogelsang, T.J., Wagner, M.: A fixed-b perspective on the Phillips-Perron tests. Econ. Theory 29, 609–628 (2013)

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  42. Vogelsang, T.J., Wagner, M.: Integrated modified OLS estimation and fixed-b inference for cointegrating regressions. J. Econ. 178, 741–760 (2014)

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  43. Wagner, M.: Estimation and inference for cointegrating regressions. Oxford Research Encyclopedia in Economics and Finance. https://doi.org/10.1093/acrefore/9780190625979.013.162 (2018). https://doi.org/10.1093/acrefore/9780190625979.001.0001/acrefore-97801906 25979-e-162

  44. West, K.D.: Asymptotic normality, when regressors have a unit root. Econometrica 56, 1397–1417 (1988)

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  45. Yule, G.U.: Why do we sometimes get nonsense correlations between time series? A study in sampling and the nature of time series. J. R. Stat. Soc. 89, 1–63 (1926)

    MATH  Google Scholar 

  46. Zivot, E., Andrews, D.W.K.: Further evidence on the Great Crash, the oil-price shock, and the unit-root hypothesis. J. Bus. Econ. Stat. 10, 251–270 (1992)

    Google Scholar 

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Authors and Affiliations

  1. Volkswirtschaftliches Institut, Universität Bern, Bern, Schweiz

    Klaus Neusser

  2. Institut für Volkswirtschaftslehre, Klagenfurt, Österreich

    Martin Wagner

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  1. Klaus Neusser
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  2. Martin Wagner
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    Neusser, K., Wagner, M. (2022). Integrierte Prozesse. In: Zeitreihenanalyse in den Wirtschaftswissenschaften. Studienbücher Wirtschaftsmathematik. Springer Gabler, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-64650-2_7

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