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Notes
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Beachten Sie, dass die Beobachtungen t = −p + 1, …, 0, 1, …, T aufgrund der bis zum Lag p verzögerten abhängigen Variablen als Regressoren einer effektiven Stichprobengröße T für das Regressionsmodell entsprechen. Die ersten t = −p + 1, …, 0 Beobachtungen werden als fix und gegeben angenommen. In Abschn. 13.3 wird aus diesem Grund von der bedingten Likelihood-Funktion gesprochen.
Darüber hinaus vereinfacht diese Annahme die Notation in den Beweisen, da die Summen, im Unterschied zur univariaten Betrachtung in Abschn. 5.2, von 1, …, T laufen und nicht von p + 1, …, T. Klarerweise ist es nur eine Geschmacksfrage, wie man die in der Praxis verfügbare Stichprobe bezeichnet.
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Alternativ kann man natürlich auch direkt die Gleichung Y = ΦX′ + Z transponieren. Ausgehend von Y ′ = XΦ′ + Z′ kann man dieselben Eigenschaften des vec-Operators und des Kronecker-Produkts wie in Gl. (13.2) verwenden, ohne Kommutationsmatrizen bemühen zu müssen.
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Die entsprechende Varianz-Kovarianzmatrix des Fehlervektors vec Z′ kann man ebenfalls einfach berechnen, direkt oder durch Anwendung der Kommutationsmatrix KnT auf die obige Varianz-Kovarianzmatrix.
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Es gilt sogar ein allgemeineres Resultat (siehe Deistler und Scherrer [74, Kapitel V]): Sei Γ(h) die Autokovarianzfunktion eines stationären Prozesses Xt mit positiv-definiter Varianz-Kovarianzmatrix der Innovationen und sei \(X_t(s) = (X_t^{\prime },X_{t-1}^{\prime }\), \(\ldots ,X_{t-s+1}^{\prime })'\). Dann gilt, analog definiert zur Matrix Γp von oben, dass die entsprechend zusammengefügte Block-Varianz-Kovarianzmatrix \(\boldsymbol {\Gamma }_s = \mathbb {V}(X_t(s)X_t(s)')\) positiv-definit ist für alle s ≥ 1.
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Der Unterschied bezüglich Mittelwertsbereinigung verschwindet im Wesentlichen, wenn man Parameterschätzung in einem VAR-Modell mit Konstante betrachtet, siehe etwa Lütkepohl [187].
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Konsistenz und asymptotische Normalität mit der exakt gleichen Grenzverteilung folgen auch ohne die in diesem Unterabschnitt zusätzlich unterstellte Normalitätsannahme. Unter den zuvor gemachten Annahmen ist die Quasi-Maximum-Likelihood-Schätzung asymptotisch exakt gleich effizient wie im Fall von normalverteilten Fehlern.
Es handelt sich bei L(Φ, Σ|Y ), wie zuvor erwähnt, um die bedingte Likelihood-Funktion, da die Beobachtungen X−p+1, …, X0 als gegeben betrachtet werden.
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Aufgrund des kleineren Strafterms führt die Schätzung mittels AIC-Kriterium zu höheren geschätzten Ordnungen als die Schätzung mit den beiden konsistenten Informationskriterien.
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Dieser erste Schritt steht ein wenig im Widerspruch zur Motivation zur Verwendung des Verfahrens, dass man kein parametrisches Modell spezifizieren muss, da man zwei univariate AR-Modelle zu spezifizieren hat. Darüber hinaus gilt, dass selbst wenn es sich beim bivariaten Prozess um einen vektor-autoregressiven Prozess handelt, die beiden Komponenten im Allgemeinen autoregressive Moving-average-Prozesse sind, siehe Zellner und Palm [287], was dazu führen kann, dass die AR-Ordnungen der geschätzten univariaten Modelle sehr groß sein können. Nicht zuletzt aus diesem Grund ist dieser Ansatz eher weniger gebräuchlich.
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Es lohnt sich zu überlegen, warum die Konvergenz der Erwartungswerte einer Folge von integrierbaren nichtnegativen Zufallsvariablen Xt gegen null impliziert, dass die Wahrscheinlichkeit P(Xt > ε) gegen null konvergiert für jedes ε > 0. Außerdem ist sich in Erinnerung zu rufen, dass bei konstantem Grenzwert, Konvergenz in Verteilung und Konvergenz in Wahrscheinlichkeit äquivalent sind, siehe Theorem C.12 in Appendix C.
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Neusser, K., Wagner, M. (2022). Schätzung und Modellierung vektor-autoregressiver Modelle im stationären Fall. In: Zeitreihenanalyse in den Wirtschaftswissenschaften. Studienbücher Wirtschaftsmathematik. Springer Gabler, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-64650-2_13
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-64650-2_13
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Online ISBN: 978-3-662-64650-2
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