Quanten

Zusammenfassung

Das vierte Kapitel beschäftigt sich mit Quanten. Es wird erarbeitet, dass die Quantisierung physikalischer Größen und die de-Broglie-Hypothese akzeptiert wurden, weil damit der Compton-Effekt, das Planck’sche Strahlungsgesetz und der äußere fotoelektrische Effekt erfolgreich erklärt werden konnten. Als zentrale Inhalte der Quantenmechanik werden die Schrödinger-Gleichung, die Born’sche Wahrscheinlichkeitsinterpretation, das Ehrenfest’sche Theorem, die Unschärferelation und die Quantenverschränkung thematisiert. Die Lösung der Schrödinger-Gleichung für den harmonischen Oszillator erfolgt sowohl durch eine analytische als auch eine algebraische Betrachtungsweise. Bei der Modellierung des Wasserstoffatoms wird die Schrödinger’sche Quantenmechanik um die Spinquantenzahl erweitert, um zum Orbitalmodell zu gelangen und das Periodensystem der Elemente erklären zu können.

Appendices

Anhang 4.1 Begründung der Normierung einer Gauß-Funktion und Beweis des Satzes von Plancherel

Begründung der Normierung einer Gauß-Funktion

Wir betrachten die Gauß-Funktion mit der Gleichung.

$a\left( k \right) = \left| {a\left( k \right)} \right| \cdot {\text{e}}^{{{\text{i}} \cdot \varphi }} = \sqrt[4]{{\frac{{b^{2} }}{{\uppi }}}} \cdot {\text{e}}^{{ - \frac{1}{2} \cdot b^{2} \cdot \left( {k - K} \right)^{2} }} \cdot {\text{e}}^{{{\text{i}} \cdot \varphi }} \quad \left( {a,b,k,K,\varphi \in {\mathbb{R}}} \right)$.

Um die Beziehung $\int\limits_{ - \infty }^{\infty } {a^{ * } \left( k \right) \cdot a\left( k \right) \cdot {\text{d}}k} = \int\limits_{ - \infty }^{\infty } {\left| {a\left( k \right)} \right|^{2} \cdot {\text{d}}k} = 1$ nachzuweisen, setzen wir die Gauß-Funktion in das Integral ein:

$$ \int\limits_{ - \infty }^{\infty } {a^{ * } \left( k \right) \cdot a\left( k \right) \cdot {\text{d}}k} = \int\limits_{ - \infty }^{\infty } {\left| {a\left( k \right)} \right|^{2} \cdot {\text{d}}k} = \sqrt {\frac{{b^{2} }}{{\uppi }}} \cdot \int\limits_{ - \infty }^{\infty } {{\text{e}}^{{ - b^{2} \cdot \left( {k - K} \right)^{2} }} \cdot {\text{d}}k} . $$

Die Substitution $b \cdot \left( {k - K} \right) = z$ mit $\frac{{{\text{d}}z}}{{{\text{d}}k}} = b$ bzw. ${\text{d}}k = \frac{1}{b} \cdot {\text{d}}z$ ergibt ein Integral, dessen Wert wir einer Formelsammlung entnehmen können:

$$ \int\limits_{ - \infty }^{\infty } {a^{ * } \left( k \right) \cdot a\left( k \right) \cdot {\text{d}}k} = \sqrt {\frac{{b^{2} }}{{\uppi }}} \cdot \frac{1}{b} \cdot \int\limits_{ - \infty }^{\infty } {{\text{e}}^{{ - z^{2} }} \cdot {\text{d}}z} = \sqrt {\frac{1}{{\uppi }}} \cdot \int\limits_{ - \infty }^{\infty } {{\text{e}}^{{ - z^{2} }} \cdot {\text{d}}z} = \sqrt {\frac{1}{{\uppi }}} \cdot \sqrt {\uppi } = 1. $$

Damit haben wir die Normierung der Gauß-Funktion nachgewiesen.

Beweis des Satzes von Plancherel

Voraussetzung: Die Funktion $a\left( {k,\;t} \right)$ ist die Fourier-Transformierte der Funktion $\psi \left( {x,\;t} \right)$.

Behauptung: Unter der genannten Voraussetzung gilt $\int {{\text{d}}x \cdot \psi^{ * } \left( {x,\;t} \right) \cdot \psi \left( {x,\;t} \right)} = \int {{\text{d}}k \cdot a^{ * } \left( {k,\;t} \right) \cdot a\left( {k,\;t} \right)}$.

Beweis:

Der Satz von Plancherel trifft eine Aussage über eine Funktion und ihre Fourier-Transformierte. Deshalb substituieren wir im Integral $\int {{\text{d}}x \cdot \psi^{ * } \left( {x,\;t} \right) \cdot \psi \left( {x,\;t} \right)}$ die Funktion $\psi \left( {x,\;t} \right)$ durch ihre Fourier-Transformierte $a\left( {k,\;t} \right)$, indem wir (4.35) verwenden, d. h. $\psi \left( {x,\;t} \right) = \frac{1}{{\sqrt {2 \cdot {\uppi }} }} \cdot \int {{\text{d}}k \cdot a\left( {k,\;t} \right) \cdot {\text{e}}^{{{\text{i}} \cdot k \cdot x}} }$. Bei der anschließenden Umformung verwenden wir die Beziehungen (6.155) und (6.156) für die Delta-Distribution:

$$ \int {{\text{d}}x \cdot \psi^{ * } \left( {x,\;t} \right) \cdot \psi \left( {x,\;t} \right)} = \frac{1}{{2 \cdot {\uppi }}} \cdot \int {{\text{d}}x \cdot \int {{\text{d}}k^{\prime} \cdot a^{ * } \left( {k^{\prime},\;t} \right) \cdot {\text{e}}^{{ - {\text{i}} \cdot k^{\prime} \cdot x}} \cdot \int {{\text{d}}k \cdot a\left( {k,\;t} \right) \cdot {\text{e}}^{{{\text{i}} \cdot k \cdot x}} } } } , $$

$$ \int {{\text{d}}x \cdot \psi^{ * } \left( {x,t} \right) \cdot \psi \left( {x,t} \right)} = \int {{\text{d}}k^{\prime} \cdot \int {{\text{d}}k \cdot a^{ * } \left( {k^{\prime},t} \right) \cdot a\left( {k,t} \right) \cdot \underbrace {{\int {{\text{d}}x \cdot \frac{1}{{2 \cdot {\uppi }}} \cdot {\text{e}}^{{{\text{i}} \cdot x \cdot \left( {k - k^{\prime}} \right)}} } }}_{{\delta \left( {k - k^{\prime}} \right)}}} } , $$

$$\int {{\text{d}}x \cdot \psi^{ * } \left( {x,\;t} \right) \cdot \psi \left( {x,\;t} \right)} = \int {{\text{d}}k \cdot a^{ * } \left( {k,\;t} \right) \cdot a\left( {k,\;t} \right)}. \qquad \qquad \qquad \text{q.e.d.}$$

Mit dem Beweis des Satzes von Plancherel haben wir nachgewiesen, dass die Fourier-Transformation eine Isometrie darstellt. In der Literatur wird der Satz von Plancherel zuweilen fälschlich als Satz von Parseval bezeichnet.

Da die Wellenfunktion $a\left( {k,\;t} \right)$ die Fourier-Transformierte der Wellenfunktion $\psi \left( {x,\;t} \right)$ ist, können wir unter Nutzung des Satzes von Plancherel aus der Normierung von $\psi \left( {x,\;t} \right)$ sofort auf die Normierung von $a\left( {k,\;t} \right)$ schließen. Analog ergibt sich die Normierung von $\phi \left( {p,\;t} \right)$ aus der Normierung von $\psi \left( {x,\;t} \right)$.

Lediglich zu Übungszwecken betrachten wir den Nachweis für die Normierung von $\phi \left( {p,\;t} \right)$ separat. Dazu substituieren wir in der Gleichung $\int {{\text{d}}x \cdot \psi^{ * } \left( {x,t} \right) \cdot \psi \left( {x,t} \right)} = 1$ die Funktion $\psi \left( {x,\;t} \right)$ durch ihre Fourier-Transformierte $\phi \left( {p,\;t} \right)$, indem wir (4.36) verwenden, d. h. $\psi \left( {x,\;t} \right) = \frac{1}{{\sqrt {2 \cdot {\uppi } \cdot \hbar } }} \cdot \int\limits_{ - \,\infty }^{\infty } {\phi \left( {p,t} \right) \cdot {\text{e}}^{{{\text{i}} \cdot p \cdot x/\hbar }} \cdot {\text{d}}p}$:

$$ 1 = \int {{\text{d}}x \cdot \psi^{ * } \left( {x,t} \right) \cdot \psi \left( {x,t} \right)} , $$

$$ 1 = \frac{1}{{2 \cdot {\uppi } \cdot \hbar }} \cdot \int {{\text{d}}x \cdot \int {{\text{d}}p^{\prime} \cdot } \phi^{ * } \left( {p^{\prime},t} \right) \cdot {\text{e}}^{{ - {\text{i}} \cdot p^{\prime} \cdot x/\hbar }} \cdot \int {{\text{d}}p \cdot \phi \left( {p,t} \right) \cdot {\text{e}}^{{{\text{i}} \cdot p \cdot x/\hbar }} } ,} $$

$$ 1 = \int {{\text{d}}p^{\prime} \cdot \int {{\text{d}}p \cdot \phi^{ * } \left( {p^{\prime},t} \right) \cdot \phi \left( {p,t} \right) \cdot } \int {{\text{d}}x \cdot } \frac{1}{{2 \cdot {\uppi } \cdot \hbar }} \cdot {\text{e}}^{{{\text{i}} \cdot x \cdot \left( {p - p^{\prime}} \right)/\hbar }} } . $$

Im dritten Integral substituieren wir $\frac{x}{\hbar } = z$ mit ${\text{d}}x = \hbar \cdot {\text{d}}z$, damit wir die Delta-Distribution verwenden können:

$$ 1 = \int {{\text{d}}p^{\prime} \cdot \int {{\text{d}}p \cdot \phi^{ * } \left( {p^{\prime},t} \right) \cdot \phi \left( {p,t} \right) \cdot } \underbrace {{\int {{\text{d}}z \cdot } \frac{1}{{2 \cdot {\uppi }}} \cdot {\text{e}}^{{{\text{i}} \cdot z \cdot \left( {p - p^{\prime}} \right)}} }}_{{\delta \left( {p - p^{\prime}} \right)}}} , $$

$$ 1 = \int {{\text{d}}p \cdot \phi^{ * } \left( {p,t} \right) \cdot \phi \left( {p,t} \right)} . $$

Wir konnten tatsächlich zeigen, dass die Wellenfunktion $\phi \left( {p,t} \right)$ normiert ist, wenn ihre Fourier-Transformierte $\psi \left( {x,t} \right)$ normiert ist.

Anhang 4.2 Herleitung der Schrödinger-Gleichung in Impulsdarstellung

Wir verwenden für die Beschreibung der Bewegung eines Quantenobjekts in x-Richtung die Schrödinger-Gleichung in Ortsdarstellung (4.48), formen formal um und integrieren über x:

$$ {\text{i}} \cdot \hbar \cdot \frac{\partial }{\partial t}\psi \left( {x,t} \right) = \left( { - \frac{{\hbar^{2} }}{2 \cdot m}\Delta + V\left( {x,t} \right)} \right)\psi \left( {x,t} \right)\quad \left| { \cdot \frac{{{\text{e}}^{{ - {\text{i}} \cdot p \cdot x/\hbar }} }}{{\sqrt {2 \cdot \pi \cdot \hbar } }}} \right.\quad \left| {\int\limits_{ - \infty }^{\infty } {{\text{d}}x} } \right., $$

$$ {\text{i}} \cdot \hbar \cdot \int\limits_{ - \infty }^{\infty } {\frac{1}{{\sqrt {2 \cdot {\uppi } \cdot \hbar } }} \cdot \frac{{\partial \psi \left( {x,t} \right)}}{\partial t} \cdot {\text{e}}^{{ - {\text{i}} \cdot p \cdot x/\hbar }} \cdot {\text{d}}x} = $$

$$ - \frac{{\hbar^{2} }}{2 \cdot m} \cdot \frac{1}{{\sqrt {2 \cdot \pi \cdot \hbar } }} \cdot \int\limits_{ - \infty }^{\infty } {\frac{{\partial^{2} \psi \left( {x,t} \right)}}{{\partial x^{2} }} \cdot {\text{e}}^{{ - {\text{i}} \cdot p \cdot x/\hbar }} \cdot {\text{d}}x} + \frac{1}{{\sqrt {2 \cdot \pi \cdot \hbar } }} \cdot \int\limits_{ - \infty }^{\infty } {V\left( {x,t} \right) \cdot \psi \left( {x,t} \right) \cdot {\text{e}}^{{ - {\text{i}} \cdot p \cdot x/\hbar }} \cdot {\text{d}}x} . $$

(4.195)

Das Integral auf der linken Seite kann nach (4.40) mit der Ableitung der Funktion $\phi \left( {p,t} \right)$ nach der Zeit dargestellt werden:

$$ I1 = {\text{i}} \cdot \hbar \cdot \int\limits_{ - \infty }^{\infty } {\frac{1}{{\sqrt {2 \cdot {\uppi } \cdot \hbar } }} \cdot \frac{{\partial \psi \left( {x,t} \right)}}{\partial t} \cdot {\text{e}}^{{ - {\text{i}} \cdot p \cdot x/\hbar }} \cdot {\text{d}}x} = {\text{i}} \cdot \hbar \cdot \frac{{\partial \phi \left( {p,t} \right)}}{\partial t} = {\text{i}} \cdot \hbar \cdot \dot{\phi }\left( {p,t} \right). $$

Das erste Integral auf der rechten Seite in (4.195) formen wir durch zweimalige partielle Integration um. Dabei berücksichtigen wir, dass die Wellenfunktion und ihre Ableitungen für $x \to \pm \infty$ „genügend schnell“ verschwinden, sodass der ausintegrierte Summand an diesen Grenzen jeweils null ergibt:

$$ I2 = - \frac{{\hbar^{2} }}{2 \cdot m} \cdot \frac{1}{{\sqrt {2 \cdot {\uppi } \cdot \hbar } }} \cdot \int\limits_{ - \infty }^{\infty } {\frac{{\partial^{2} \psi \left( {x,t} \right)}}{{\partial x^{2} }} \cdot {\text{e}}^{{ - {\text{i}} \cdot p \cdot x/\hbar }} \cdot {\text{d}}x} , $$

$$ I2 = - \frac{{\hbar^{2} }}{2 \cdot m} \cdot \frac{1}{{\sqrt {2 \cdot {\uppi } \cdot \hbar } }} \cdot \left( {\left. {\frac{{\partial \psi \left( {x,t} \right)}}{\partial x} \cdot {\text{e}}^{{ - {\text{i}} \cdot p \cdot x/\hbar }} } \right|_{ - \infty }^{\infty } - \int\limits_{ - \infty }^{\infty } {\frac{{\partial \psi \left( {x,t} \right)}}{\partial x} \cdot \left( {\frac{{ - {\text{i}} \cdot p}}{\hbar }} \right) \cdot {\text{e}}^{{ - {\text{i}} \cdot p \cdot x/\hbar }} \cdot {\text{d}}x} } \right), $$

$$ I2 = - \frac{{\hbar^{2} }}{2 \cdot m} \cdot \frac{1}{{\sqrt {2 \cdot {\uppi } \cdot \hbar } }} \cdot \frac{{{\text{i}} \cdot p}}{\hbar } \cdot \int\limits_{ - \infty }^{\infty } {\frac{{\partial \psi \left( {x,t} \right)}}{\partial x} \cdot {\text{e}}^{{ - {\text{i}} \cdot p \cdot x/\hbar }} \cdot {\text{d}}x} , $$

$$ I2 = - \frac{{\hbar^{2} }}{2 \cdot m} \cdot \frac{1}{{\sqrt {2 \cdot \pi \cdot \hbar } }} \cdot \frac{{{\text{i}} \cdot p}}{\hbar } \cdot \left( {\left. {\psi \left( {x,t} \right) \cdot {\text{e}}^{{ - {\text{i}} \cdot p \cdot x/\hbar }} } \right|_{ - \infty }^{\infty } - \int\limits_{ - \infty }^{\infty } {\psi \left( {x,t} \right) \cdot \left( { - \frac{{{\text{i}} \cdot p}}{\hbar },} \right) \cdot {\text{e}}^{{ - {\text{i}} \cdot p \cdot x/\hbar }} \cdot {\text{d}}x} } \right), $$

$$ I2 = \frac{{\hbar^{2} }}{2 \cdot m} \cdot \frac{1}{{\sqrt {2 \cdot {\uppi } \cdot \hbar } }} \cdot \frac{{p^{2} }}{{\hbar^{2} }} \cdot \int\limits_{ - \infty }^{\infty } {\psi \left( {x,t} \right) \cdot {\text{e}}^{{ - {\text{i}} \cdot p \cdot x/\hbar }} \cdot {\text{d}}x} , $$

$$ I2 = \frac{{p^{2} }}{2 \cdot m} \cdot \phi \left( {p,\;t} \right). $$

Im letzten Schritt wurde (4.40) verwendet.

Im zweiten Integral auf der rechten Seite in (4.195) nehmen wir für $V\left( {x,t} \right)$ eine Entwicklung in eine Potenzreihe vor, indem wir $V\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty } {V_{n} \left( t \right) \cdot x^{n} }$ verwenden:

$$ I3 = \frac{1}{{\sqrt {2 \cdot {\uppi } \cdot \hbar } }} \cdot \int\limits_{ - \infty }^{\infty } {\sum\limits_{n = 0}^{\infty } {\left( {V_{n} \left( t \right) \cdot x^{n} } \right)} \cdot \psi \left( {x,t} \right) \cdot {\text{e}}^{{ - {\text{i}} \cdot p \cdot x/\hbar }} \cdot {\text{d}}x} , $$

$$ I3 = \frac{1}{{\sqrt {2 \cdot {\uppi } \cdot \hbar } }} \cdot \sum\limits_{n = 0}^{\infty } {V_{n} \left( t \right)} \cdot \int\limits_{ - \infty }^{\infty } {x^{n} \cdot \psi \left( {x,t} \right) \cdot {\text{e}}^{{ - {\text{i}} \cdot p \cdot x/\hbar }} \cdot {\text{d}}x} . $$

Durch einen Trick können wir das Integral umformen. Dazu betrachten wir folgende Nebenrechnung:

$$ \frac{\partial }{\partial p}{\text{e}}^{{ - {\text{i}} \cdot p \cdot x/\hbar }} = \left( { - \frac{{\text{i}}}{\hbar }} \right) \cdot x \cdot {\text{e}}^{{ - {\text{i}} \cdot p \cdot x/\hbar }} , $$

$$ \frac{{\partial^{n} }}{{\partial p^{n} }}{\text{e}}^{{ - {\text{i}} \cdot p \cdot x/\hbar }} = \left( { - \frac{{\text{i}}}{\hbar }} \right)^{n} \cdot x^{n} \cdot {\text{e}}^{{ - {\text{i}} \cdot p \cdot x/\hbar }} , $$

$$ x^{n} \cdot {\text{e}}^{{ - {\text{i}} \cdot p \cdot x/\hbar }} = \left( { - \frac{\hbar }{{\text{i}}}} \right)^{n} \cdot \frac{{\partial^{n} }}{{\partial p^{n} }}{\text{e}}^{{ - {\text{i}} \cdot p \cdot x/\hbar }} = \left( { - \frac{\hbar }{{\text{i}}}\frac{\partial }{\partial p}} \right)^{n} \cdot {\text{e}}^{{ - {\text{i}} \cdot p \cdot x/\hbar }} . $$

Wir verwenden das Ergebnis der Nebenrechnung und (4.40) für die Berechnung von I3:

$$ I3 = \frac{1}{{\sqrt {2 \cdot {\uppi } \cdot \hbar } }} \cdot \sum\limits_{n = 0}^{\infty } {V_{n} \left( t \right) \cdot } \left( { - \frac{\hbar }{{\text{i}}}\frac{\partial }{\partial p}} \right)^{n} \cdot \int\limits_{ - \infty }^{\infty } {\psi \left( {x,t} \right) \cdot {\text{e}}^{{ - {\text{i}} \cdot p \cdot x/\hbar }} \cdot {\text{d}}x} , $$

$$ I3 = \sum\limits_{n = 0}^{\infty } {V_{n} \left( t \right) \cdot } \left( { - \frac{\hbar }{{\text{i}}}\frac{\partial }{\partial p}} \right)^{n} \cdot \phi \left( {p,t} \right) = :V\left( { - \frac{\hbar }{{\text{i}}}\frac{\partial }{\partial p},t} \right) \cdot \phi \left( {p,t} \right). $$

Durch Einsetzen der Ergebnisse in (4.195) ergibt sich:

$$ {\text{i}} \cdot \hbar \cdot \dot{\phi }\left( {p,\;t} \right) = \frac{{p^{2} }}{2 \cdot m} \cdot \phi \left( {p,\;t} \right) + V\left( { - \frac{\hbar }{{\text{i}}}\frac{\partial }{\partial p},\;t} \right) \cdot \phi \left( {p,\;t} \right), $$

$$ {\text{i}} \cdot \hbar \cdot \dot{\phi }\left( {p,\;t} \right) = \left( {\frac{{p^{2} }}{2 \cdot m} + V\left( { - \frac{\hbar }{{\text{i}}}\frac{\partial }{\partial p},\;t} \right)} \right) \cdot \phi \left( {p,\;t} \right) = \hat{H}\,\phi \left( {p,\;t} \right). $$

Wir haben die Schrödinger-Gleichung in Impulsdarstellung erhalten, die durch Verallgemeinerung auf eine Bewegung in $\overrightarrow {p}$-Richtung in (4.50) übergeht.

Anhang 4.3 Abschätzung einer Potenzreihe

Wir schätzen in diesem Anhang die Potenzreihe (4.161) für sehr große Summationsindizes j ab:

$$ h\left( \xi \right) = a_{0} + a_{1} \cdot \xi + a_{2} \cdot \xi^{2} + a_{3} \cdot \xi^{3} + a_{4} \cdot \xi^{4} + \ldots = \sum\limits_{j = 0}^{\infty } {a_{j} \cdot \xi^{j} } . $$

Zunächst betrachten wir die Rekursionsformel (4.163) der Koeffizienten für sehr große Summationsindizes j:

$$ a_{j + 2} = \frac{2 \cdot j + 1 - \mathcal{E} }{{\left( {j + 2} \right) \cdot \left( {j + 1} \right)}} \cdot a_{j} = \frac{2 \cdot j + 1 - \mathcal{E} }{{j^{2} + 3 \cdot j + 2}} \cdot a_{j} , $$

$$ a_{j + 2} = \frac{2 + 1/j - \mathcal{E} /j}{{j + 3 + 2/j}} \cdot a_{j} \to \frac{2}{j + 3} \cdot a_{j} \to \frac{2}{j} \cdot a_{j} . $$

(4.196)

Behauptung: Für $a_{j}$ gilt die Näherung

$$ a_{j} \approx \frac{C}{{\left( \frac{j}{2} \right)!}}. $$

(4.197)

In der letztgenannten Gleichung stellt C eine Konstante dar und bei $\left( \frac{j}{2} \right)!$ handelt es sich um eine Verallgemeinerung der Beziehung (6.20) für die Fakultät, die auf die Gamma-Funktion führt (es scheint typisch zu sein, dass bei der Bearbeitung einer Aufgabe ein neues Problem auftaucht). Die Gamma-Funktion bettet sich in ein umfangreiches Spezialgebiet der Analysis ein, das an Hochschulen meist nur in Vertiefungskursen thematisiert wird. Wir kommen mit folgenden Beziehungen aus dieser Thematik aus:

$$ x! = \Gamma \left( {x + 1} \right)\;{\text{und}}\;\Gamma \left( 1 \right) = 1\;{\text{mit}}\;x \in {\mathbb{C}}\backslash \left\{ {0, - 1, - 2, \ldots } \right\}, $$

(4.198)

$$ \Gamma \left( {\frac{1}{2} + n} \right) = \frac{{\sqrt {\uppi } }}{{4^{n} }} \cdot \frac{{\left( {2 \cdot n} \right)!}}{n!}\;{\text{mit}}\;n \in {\mathbb{N}}. $$

(4.199)

Damit gelten z. B.:

$$ \left( \frac{1}{2} \right)! = \Gamma \left( {\frac{1}{2} + 1} \right) = \frac{{\sqrt {\uppi } }}{{4^{1} }} \cdot \frac{{\left( {2 \cdot 1} \right)!}}{1!} = \frac{{\sqrt {\uppi } }}{2}, $$

$$ \left( \frac{3}{2} \right)! = \Gamma \left( {\frac{3}{2} + 1} \right) = \Gamma \left( {\frac{1}{2} + 2} \right) = \frac{{\sqrt {\uppi } }}{{4^{2} }} \cdot \frac{{\left( {2 \cdot 2} \right)!}}{2!} = \frac{{3 \cdot \sqrt {\uppi } }}{4}, $$

$$ \left( \frac{5}{2} \right)! = \Gamma \left( {\frac{5}{2} + 1} \right) = \Gamma \left( {\frac{1}{2} + 3} \right) = \frac{{\sqrt {\uppi } }}{{4^{3} }} \cdot \frac{{\left( {2 \cdot 3} \right)!}}{3!} = \frac{{15 \cdot \sqrt {\uppi } }}{8}. $$

Begründung der Behauptung: Wir überzeugen uns, dass sich aus (4.197) die Beziehung (4.196) ergibt:

$$ a_{j + 2} \approx \frac{C}{{\left( {\frac{j + 2}{2}} \right)!}} = \frac{C}{{\left( {\frac{j}{2} + 1} \right)!}} = \frac{C}{{\left( \frac{j}{2} \right)! \cdot \left( {\frac{j}{2} + 1} \right)}} = a_{j} \cdot \frac{1}{{\left( {\frac{j}{2} + 1} \right)}} \approx a_{j} \cdot \frac{1}{\frac{j}{2}} = \frac{2}{j} \cdot a_{j} . $$

Mit (4.197) erhalten wir für die Funktion $h\left( \xi \right)$:

$$ h\left( \xi \right) = \sum\limits_{j = 0}^{\infty } {a_{j} \cdot \xi^{j} } = C \cdot \sum\limits_{j = 0}^{\infty } {\frac{{\xi^{j} }}{{\left( \frac{j}{2} \right)!}}} = C \cdot \left( {\frac{{\xi^{0} }}{0!} + \frac{{\xi^{1} }}{{\left( \frac{1}{2} \right)!}} + \frac{{\xi^{2} }}{1!} + \frac{{\xi^{3} }}{{\left( \frac{3}{2} \right)!}} + \frac{{\xi^{4} }}{2!} + \frac{{\xi^{5} }}{{\left( \frac{5}{2} \right)!}} + \frac{{\xi^{6} }}{3!} + \ldots } \right), $$

$$ h\left( \xi \right) > C \cdot \left( {1 + \frac{{\xi^{2} }}{1!} + \frac{{\xi^{4} }}{2!} + \frac{{\xi^{6} }}{3!} + \ldots } \right) = C \cdot \left( {1 + \frac{{\xi^{2} }}{1!} + \frac{{\left( {\xi^{2} } \right)^{2} }}{2!} + \frac{{\left( {\xi^{2} } \right)^{3} }}{3!} + \ldots } \right) = C \cdot {\text{e}}^{{\xi^{2} }} . $$

(4.200)

Im letzten Umformungsschritt wurde die Potenzreihe für ${\text{e}}^{z}$ mit $z = \xi^{2}$ verwendet. Mit (4.159) ergibt sich:

$$ \varphi \left( \xi \right) = h\left( \xi \right) \cdot {\text{e}}^{{ - \,\frac{{\xi^{2} }}{2}}} > C \cdot {\text{e}}^{{\xi^{2} }} \cdot {\text{e}}^{{ - \,\frac{{\xi^{2} }}{2}}} = C \cdot {\text{e}}^{{\frac{{\xi^{2} }}{2}}} . $$

Für $\xi \to \infty$ divergiert $\varphi \left( \xi \right)$. Wegen $\xi : = \sqrt {\frac{m \cdot \omega }{\hbar }} \cdot x$  divergieren bei diesem Grenzübergang auch x und $\varphi \left( x \right)$. Deshalb kann die Funktion $\varphi \left( x \right)$ nicht normiert werden.

Die Gamma-Funktion ist ein besonders „schillerndes“ mathematisches Objekt, für das eine Integral-, Grenzwert- und Funktionaldarstellung existiert und das Bezüge zur Beta-Funktion besitzt. Die Erkundung der Eigenschaften der Gamma-Funktion erfolgte insbesondere durch Daniel Bernoulli, Leonhard Euler und Carl Friedrich Gauß. An „mathematischer Feinkost“ interessierten Lesern empfehle ich eine Recherche zu den Stichworten „Gamma-Funktion“ und „Beta-Funktion“. Dabei wünsche ich viel Vergnügen bei der Beschäftigung mit beziehungsreicher Mathematik.