Elektrizität und Magnetismus

Zusammenfassung

Im zweiten Kapitel werden die Phänomene Elektrizität und Magnetismus mithilfe verschiedener Feldgrößen modelliert, deren Einführung durch spezifische Eigenschaften der Feldvektoren an Grenzflächen zwischen unterschiedlichen Stoffen begründet wird. Die schulischen Vorkenntnisse werden durch die Bestimmung der Quellen und Wirbel elektrischer und magnetischer Felder sowie deren Wirkung auf Stoffe erweitert. Einen besonderen Schwerpunkt bildet die klassische Formulierung der Maxwell’schen Theorie der Elektrodynamik, in der auf die Existenz und die Eigenschaften elektromagnetischer Wellen geschlossen wird. Alternative Erklärungen der Eigenschaften dieser Wellen verdeutlichen die Spezifik physikalischen Denkens. Betrachtungen zur Beugung am Doppelspalt werden im Kapitel zur Quantenmechanik wieder aufgegriffen. Ein Abschnitt zur Natur des Lichts schließt dieses Kapitel ab.

Appendices

Anhang 2.1 Bestimmung der Elementarladung mithilfe des Öltröpfchenversuchs nach Millikan

In eine Kammer, die einen Plattenkondensator mit horizontal angeordneten Platten enthält, werden mithilfe eines Zerstäubers winzige Öltröpfchen gebracht und durch ein Mikroskop mit Okularskala bei seitlicher Beleuchtung beobachtet. Beim Zerstäuben laden sich einige der Tröpfchen auf (einige haben Elektronenüberschuss, andere Elektronenmangel) und können durch Verändern der Spannung am Plattenkondensator dazu gebracht werden, dass sie sich entgegen der Schwerkraft langsam geradlinig gleichförmig nach oben bewegen (im Mikroskop sieht es so aus, als würden sich diese Öltröpfchen nach unten bewegen). Bevor ein beobachtetes Öltröpfchen die Kondensatorplatte erreicht, wird die Spannung am Plattenkondensator umgepolt, sodass sich das Öltröpfchen anschließend nach unten bewegt. Bei geeigneter Versuchsdurchführung kann erreicht werden, dass auch die Bewegung des Öltröpfchens nach unten geradlinig gleichförmig erfolgt. Unter dieser Voraussetzung ist für beide Bewegungsrichtungen des Öltröpfchens jeweils die Resultierende aus dem Gewicht $\overrightarrow {{F_{{\text{G}}} }}$, der Auftriebskraft $\overrightarrow {{F_{{\text{A}}} }}$ (Auftrieb in Luft), der Reibungskraft $\overrightarrow {{F_{{\text{R}}} }}$ (Luftreibung) und der Kraft des elektrischen Feldes $\overrightarrow {{F_{{\text{E}}} }}$ null: $\overrightarrow {{F_{{\text{G}}} }} + \overrightarrow {{F_{{\text{A}}} }} + \overrightarrow {{F_{{\text{R}}} }} + \overrightarrow {{F_{{\text{E}}} }} = \overrightarrow {0}$.

Für die Beträge der Kräfte gilt:

$$ \begin{aligned} F_{{\text{G}}} &= m \cdot g = \frac{4}{3} \cdot\uppi \cdot r^{3} \cdot \rho \cdot g,\\ F_{{\text{A}}} &= \frac{4}{3} \cdot\uppi \cdot r^{3} \cdot \rho_{L} \cdot g,\\ F_{{\text{R}}} &= 6 \cdot\uppi \cdot \eta \cdot r \cdot v, \\ F_{{\text{E}}} &= Q \cdot E = \frac{Q \cdot U}{d}. \end{aligned}$$

Die Variablen haben folgende Bedeutung:

r	…	Radius des Öltröpfchens,
Q	…	Ladung des Öltröpfchens,
v	…	Geschwindigkeit des Öltröpfchens,
$\rho$	…	Dichte des Öls,
$\rho_{{\text{L}}}$	…	Dichte der Luft,
g	…	Fallbeschleunigung,
$\eta$	…	Viskosität der Luft,
U	…	elektrische Spannung am Plattenkondensator,
d	…	Abstand der Platten des Plattenkondensators.

Abb. 2.51 veranschaulicht die Kräfte beim Steigen bzw. Sinken des Öltröpfchens. Wir nehmen an, dass ein positiv geladenes Öltröpfchen beobachtet wird (es besteht Elektronenmangel).

Abb. 2.51

Millikan-Versuch

Die Bilanz der Kräfte beim gleichförmigen Steigen des Öltröpfchens mit dem Betrag $v_{1}$ der Geschwindigkeit lautet:

$$ - \frac{4}{3} \cdot\uppi \cdot r^{3} \cdot \rho \cdot g + \frac{4}{3} \cdot\uppi \cdot r^{3} \cdot \rho_{{\text{L}}} \cdot g - 6 \cdot\uppi \cdot \eta \cdot r \cdot v_{1} + \frac{Q \cdot U}{d} = 0, $$

$$ \frac{4}{3} \cdot\uppi \cdot r^{3} \cdot g \cdot \left( {\rho - \rho_{{\text{L}}} } \right) + 6 \cdot\uppi \cdot \eta \cdot r \cdot v_{1} - \frac{Q \cdot U}{d} = 0. $$

(2.187)

Die Bilanz der Kräfte beim gleichförmigen Sinken des Öltröpfchens mit dem Betrag $v_{2}$ der Geschwindigkeit lautet:

$$ - \frac{4}{3} \cdot\uppi \cdot r^{3} \cdot \rho \cdot g + \frac{4}{3} \cdot\uppi \cdot r^{3} \cdot \rho_{{\text{L}}} \cdot g + 6 \cdot\uppi \cdot \eta \cdot r \cdot v_{2} - \frac{Q \cdot U}{d} = 0, $$

$$ \frac{4}{3} \cdot\uppi \cdot r^{3} \cdot g \cdot \left( {\rho - \rho_{{\text{L}}} } \right) - 6 \cdot\uppi \cdot \eta \cdot r \cdot v_{2} + \frac{Q \cdot U}{d} = 0. $$

(2.188)

Den Radius r des Öltröpfchens bestimmen wir aus der Summe der Gl. (2.187) und (2.188):

$$ \frac{8}{3} \cdot\uppi \cdot r^{3} \cdot g \cdot \left( {\rho - \rho_{{\text{L}}} } \right) + 6 \cdot\uppi \cdot \eta \cdot r \cdot \left( {v_{1} - v_{2} } \right) = 0, $$

$$ r^{2} = \frac{{9 \cdot \eta \cdot \left( {v_{2} - v_{1} } \right)}}{{4 \cdot g \cdot \left( {\rho - \rho_{{\text{L}}} } \right)}}, $$

$$ r = \frac{3}{2} \cdot \sqrt {\frac{{\eta \cdot \left( {v_{2} - v_{1} } \right)}}{{g \cdot \left( {\rho - \rho_{{\text{L}}} } \right)}}} . $$

(2.189)

Aus der Differenz der Gl. (2.187) und (2.188) ermitteln wir unter Berücksichtigung von (2.189) die Ladung Q des Öltröpfchens:

$$ 6 \cdot\uppi \cdot \eta \cdot r \cdot \left( {v_{1} + v_{2} } \right) - \frac{2 \cdot Q \cdot U}{d} = 0, $$

$$ Q = \frac{{3 \cdot\uppi \cdot \eta \cdot r \cdot \left( {v_{1} + v_{2} } \right) \cdot d}}{U}, $$

$$ Q = \frac{{3 \cdot\uppi \cdot \eta \cdot \left( {v_{1} + v_{2} } \right) \cdot d}}{U} \cdot \frac{3}{2} \cdot \sqrt {\frac{{\eta \cdot \left( {v_{2} - v_{1} } \right)}}{{g \cdot \left( {\rho - \rho_{{\text{L}}} } \right)}}} , $$

$$ Q = \frac{{9 \cdot\uppi \cdot d \cdot \left( {v_{1} + v_{2} } \right)}}{2 \cdot U} \cdot \sqrt {\frac{{\eta^{3} \cdot \left( {v_{2} - v_{1} } \right)}}{{g \cdot \left( {\rho - \rho_{{\text{L}}} } \right)}}} . $$

(2.190)

Aus der Messung von $v_{1}$, $v_{2}$ (jeweils aus dem in der gestoppten Zeit zurückgelegten Weg) und U sowie der Kenntnis von $\eta$, $\rho$, $\rho_{{\text{L}}}$, d und g kann die Ladung Q des Öltröpfchens ermittelt werden.

Die Auswertung des Experiments ergibt, dass die Ladungen Q der Öltröpfchen ganzzahlige Vielfache der Elementarladung e sind mit

$$ e = 1{,}602 \cdot 10^{ - 19} \;{\text{C}}{.} $$

(2.191)

Zur Erhöhung der Genauigkeit kann die verwendete Näherungsformel von Stokes zur Berechnung der Reibungskraft $\overrightarrow {{F_{{\text{R}}} }}$ eines kugelförmigen Öltröpfchens bei gleichförmiger Bewegung in Luft durch eine genauere Beziehung ersetzt werden. Darauf gehen wir nicht näher ein, da es heute präzisere Methoden zur Bestimmung der Elementarladung gibt. Es ging hier um das Prinzip der 1910 von Millikan und Fletcher realisierten Messung einer fundamentalen Naturkonstante.

Bemerkung

(2.191) gibt nicht nur den Betrag der negativen Ladung eines Elektrons an, da wegen der Modellannahmen vom Aufbau eines Atoms jedes Proton dieselbe positive Ladung trägt (sonst wäre das Atom nach außen nicht elektrisch neutral). Deshalb ist die Bezeichnung Elementarladung für die betrachtete fundamentale Naturkonstante zweckmäßig.

Seit dem 20. Mai 2019 ist die Elementarladung e eine Konstante, deren exakter Wert folgendermaßen festgelegt wurde:

$$ e = 1{,}602\;176\;634 \cdot 10^{ - 19} \;{\text{C}}{.} $$

Anhang 2.2 Driftgeschwindigkeit von Ladungen im Leiter

Bei den in einem Leiter frei beweglichen Ladungsträgern handelt es sich um Elektronen (s. Tolman-Versuch), von denen jedes eine Elementarladung e trägt. Wir gehen davon aus, dass jedes Atom des Leiters ein Elektron abgegeben hat und dass der Leiter eine zylindrische oder prismatische Form mit der Querschnittsfläche A besitzt. Nach Anlegen einer elektrischen Spannung U (bzw. eines elektrischen Feldes E) bewegen sich die frei beweglichen Elektronen während der Zeit t mit der durchschnittlichen Driftgeschwindigkeit v um die Strecke s entlang der Höhe des Zylinders bzw. Prismas und rufen dadurch die Stromstärke I hervor. Wenn sich in dem Volumen $V = A \cdot s$ des Leiters N Atome und damit auch N frei bewegliche Elektronen befinden, dann bewegen sich diese N Elektronen in der Zeit t durch die Querschnittsfläche A des Leiters. Diese Annahmen führen uns auf folgenden Ansatz:

$$\begin{aligned} I &= \frac{Q}{t} = \frac{N \cdot e}{t}\quad \quad \left| {t = \frac{s}{v}} \right., \\ I &= \frac{N \cdot e \cdot v}{s}, \\ v &= \frac{I \cdot s}{{N \cdot e}}. \end{aligned}$$

(2.192)

Zur Bestimmung der Anzahl N der Atome und damit der frei beweglichen Elektronen im Volumen V des Leiters benutzen wir eine Beziehung für die Stoffmenge n, in der die nach Lorenzo Romano Amadeo Carlo Avogadro benannte Avogadro-Konstante $N_{{\text{A}}}$, die Masse m (die wir mithilfe der Massendichte $\rho$ ausdrücken) und die molare Masse M vorkommen:

$$ n = \frac{N}{{N_{{\text{A}}} }} = \frac{m}{M} = \frac{\rho \cdot V}{M} = \frac{\rho \cdot A \cdot s}{M}, $$

$$ N = \frac{{\rho \cdot N_{{\text{A}}} \cdot A \cdot s}}{M}. $$

(2.193)

Durch Einsetzen von (2.193) in (2.192) erhalten wir die Beziehung zur Abschätzung der Driftgeschwindigkeit v:

$$ v = \frac{M \cdot I \cdot s}{{\rho \cdot N_{{\text{A}}} \cdot A \cdot s \cdot e}} = \frac{M \cdot I}{{\rho \cdot N_{{\text{A}}} \cdot e \cdot A}}. $$

(2.194)

Beispiel 2.8

Berechnen Sie die Driftgeschwindigkeit der frei beweglichen Elektronen in einem Kupferdraht mit der Querschnittsfläche $1\;{\text{mm}}^{2}$ bei der Stromstärke 1 A.

Gegeben:

Leiter aus Kupfer mit $\rho = 8{,}96\;{\text{g}} \cdot {\text{cm}}^{ - 3}$ und $M = 63{,}55\;{\text{g}} \cdot {\text{mol}}^{ - 1}$,

$N_{{\text{A}}} = 6{,}022 \cdot 10^{23} \;{\text{mol}}^{ - 1}$ (Konstante mit festem Wert, hier gerundet),

$e = 1{,}602 \cdot 10^{ - 19} \;{\text{C}}$ (Konstante mit festem Wert, hier gerundet),

$$ I = 1\;{\text{A,}} $$

$$ A = 1\;{\text{mm}}^{2} . $$

Gesucht: v.

Lösung:

$$\begin{aligned} v &= \frac{M \cdot I}{{\rho \cdot N_{{\text{A}}} \cdot e \cdot A}}, \\ v &= \frac{63{,}55 \cdot 1}{{8{,}96 \cdot 6{,}022 \cdot 10^{23} \cdot 1{,}602 \cdot 10^{ - 19} \cdot 1}} \cdot \frac{{{\text{g}} \cdot {\text{mol}}^{ - 1} \cdot {\text{A}}}}{{{\text{g}} \cdot {\text{cm}}^{ - 3} \cdot {\text{mol}}^{ - 1} \cdot {\text{C}} \cdot {\text{mm}}^{2} }}\quad \quad \left| {1\;{\text{C}} = 1} \right.{\text{ As,}} \\ v &= 7{,}35 \cdot 10^{ - 5} \cdot \frac{{{\text{cm}}^{3} }}{{{\text{mm}}^{2} \cdot {\text{s}}}}\quad \quad \left| {1\;{\text{cm}}^{3} = 10^{3} \,{\text{mm}}^{3} } \right., \\ v &= 7{,}35 \cdot 10^{ - 2} \;\frac{{{\text{mm}}}}{{\text{s}}} \approx 0{,}1\;\frac{{{\text{mm}}}}{{\text{s}}}.\end{aligned}$$

Ergebnis: Die Driftgeschwindigkeit der frei beweglichen Elektronen ist erstaunlich niedrig. Für praktische Anwendungen ist entscheidend, dass sich das elektrische Feld mit einer sehr großen Geschwindigkeit ausbreitet und deshalb nach sehr kurzer Zeit seine Wirkung hervorruft.

Bemerkung

Eine Abschätzung der Avogadro-Konstante kann mit dem Ölfleckversuch erfolgen. Interessierten Lesern wird eine Recherche zu diesem Stichwort empfohlen.