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Bewegungen

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Erste Schritte in die Theoretische Physik
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Zusammenfassung

Das erste Kapitel zum Thema Bewegungen knüpft unmittelbar an das in der Schule erworbene Wissen zu Kreis- und Drehbewegungen sowie harmonischen Schwingungen und Wellen aus dem Gegenstandsbereich der Newton’schen Mechanik an. Die Erweiterung dieser Kenntnisse erfolgt insbesondere durch die in der Theoretischen Physik übliche Verwendung eines Systems von Koordinatengleichungen für eine Vektorgleichung, die Einführung eines Tensors sowie die Betrachtung von Wellenpaketen, auf die in den folgenden Kapiteln zurückgegriffen wird. Von einem Differenzial- bzw. Integralprinzip ausgehend werden mit der Lagrange’schen und Hamilton’schen Mechanik alternative Modellierungen mechanischer Sachverhalte thematisiert. Der dabei erreichte Abstraktionsgrad führt zu neuen Einsichten in die Modellierung mechanischer Vorgänge und erweitert die Palette lösbarer Aufgabenstellungen erheblich.

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Notes

  1. 1.

    Die Ausführungen orientieren sich an folgender Quelle der TU München: Gross, R.: Vorlesungsskript Physik IV. http://www.wmi.badw.de/teaching/Lecturenotes/Physik4/Physik4_Kapitel1.pdf (2003). Zugegriffen: 25.09.2018.

  2. 2.

    Ein Nachweis befindet sich z. B. in folgender Quelle: Griffiths, David J.: Quantenmechanik. Pearson (2012).

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Corresponding author

Correspondence to Jürgen Wagner .

Appendices

Anhang 1.1 Trägheitsmoment einer Kugel

Wir betrachten ein Masseelement, das sich in einem inneren Punkt P einer Kugel mit dem Radius R befindet. Um die Position des Punkts P angeben zu können, führen wir ein kartesisches Koordinatensystem und ein Kugelkoordinatensystem so ein, wie in Abb. 1.48 dargestellt (von der Kugel wurden nur der Schwerpunkt S und der innere Punkt P eingezeichnet). Zwischen den kartesischen Koordinaten \(P\left( {x\left| {y\left| z \right.} \right.} \right)\) und den Kugelkoordinaten \(P\left( {r\left| {\vartheta \left| \varphi \right.} \right.} \right)\) des Punkts P bestehen folgende Beziehungen:

$$ x = r \cdot \sin \vartheta \cdot \cos \varphi ,\;y = r \cdot \sin \vartheta \cdot \sin \varphi ,\;z = r \cdot \cos \vartheta . $$
Abb. 1.48
figure 48

Kartesische Koordinaten und Kugelkoordinaten sowie Liniendifferenziale in Kugelkoordinaten für einen Punkt P

Mit diesen Koordinatenbeziehungen ergibt sich der Ortsvektor \(\overrightarrow {x}\) des Punkts P:

$$ \begin{aligned} & \overrightarrow {x} \left( {r,\;\vartheta ,\;\varphi } \right) = x\left( {r,\;\vartheta ,\;\varphi } \right) \cdot \overrightarrow {{e_{1} }} + y\left( {r,\;\vartheta ,\;\varphi } \right) \cdot \overrightarrow {{e_{2} }} + z\left( {r,\;\vartheta ,\;\varphi } \right) \cdot \overrightarrow {{e_{3} }} , \\ & \overrightarrow {x} \left( {r,\;\vartheta ,\;\varphi } \right) = r \cdot \sin \vartheta \cdot \cos \varphi \cdot \overrightarrow {{e_{1} }} + r \cdot \sin \vartheta \cdot \sin \varphi \cdot \overrightarrow {{e_{2} }} + r \cdot \cos \vartheta \cdot \overrightarrow {{e_{3} }} .\\ \end{aligned} $$
(1.197)

Das Volumendifferenzial \({\text{d}}V\) in Kugelkoordinaten berechnen wir wie beim Kreiszylinder als Volumen des von den Liniendifferenzialen \({\text{d}}\overrightarrow {{x_{r} }}\), \({\text{d}}\overrightarrow {{x_{\vartheta } }}\) und \({\text{d}}\overrightarrow {{x_{\varphi } }}\) gebildeten Spats mithilfe des Spatprodukts, d. h. analog zu (1.49):

$$ {\text{d}}V = \left( {{\text{d}}\overrightarrow {{x_{r} }} \times {\text{d}}\overrightarrow {{x_{\vartheta } }} } \right) {\scriptstyle{\bullet}} {\text{d}}\overrightarrow {{x_{\varphi } }} . $$
(1.198)

Die Liniendifferenziale erhalten wir mit (1.197) aus dem totalen Differenzial des Ortsvektors:

$$ {\text{d}}\overrightarrow {x} \left( {r,\;\vartheta ,\;\varphi } \right) = \frac{{\partial \overrightarrow {x} \left( {r,\;\vartheta ,\;\varphi } \right)}}{\partial r} \cdot {\text{d}}r + \frac{{\partial \overrightarrow {x} \left( {r,\;\vartheta ,\;\varphi } \right)}}{\partial \vartheta } \cdot {\text{d}}\vartheta + \frac{{\partial \overrightarrow {x} \left( {r,\;\vartheta ,\;\varphi } \right)}}{\partial \varphi } \cdot {\text{d}}\varphi , $$
$$ {\text{d}}\overrightarrow {x} \left( {r,\;\vartheta ,\;\varphi } \right) = \overrightarrow {{g_{r} }} \cdot {\text{d}}r + \overrightarrow {{g_{\vartheta } }} \cdot {\text{d}}\vartheta + \overrightarrow {{g_{\varphi } }} \cdot {\text{d}}\varphi = {\text{d}}\overrightarrow {{x_{r} }} + {\text{d}}\overrightarrow {{x_{\vartheta } }} + {\text{d}}\overrightarrow {{x_{\varphi } }} , $$
$$ \begin{aligned} &{\text{d}}\overrightarrow {x} \left( {r,\;\vartheta ,\;\varphi } \right) = \left( {\sin \vartheta \cdot \cos \varphi \cdot \overrightarrow {{e_{1} }} + \sin \vartheta \cdot \sin \varphi \cdot \overrightarrow {{e_{2} }} + \cos \vartheta \cdot \overrightarrow {{e_{3} }} } \right) \cdot {\text{d}}r \\ & + \left( {r \cdot \cos \vartheta \cdot \cos \varphi \cdot \overrightarrow {{e_{1} }} + r \cdot \cos \vartheta \cdot \sin \varphi \cdot \overrightarrow {{e_{2} }} - r \cdot \sin \vartheta \cdot \overrightarrow {{e_{3} }} } \right) \cdot {\text{d}}\vartheta \\ & + \left( { - r \cdot \sin \vartheta \cdot \sin \varphi \cdot \overrightarrow {{e_{1} }} + r \cdot \sin \vartheta \cdot \cos \varphi \cdot \overrightarrow {{e_{2} }} } \right) \cdot {\text{d}}\varphi , \\ \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} {\text{d}}\overrightarrow {x} \left( {r,\;\vartheta ,\;\varphi } \right) & = \left( {\sin \vartheta \cdot \cos \varphi \cdot {\text{d}}r \cdot \overrightarrow {{e_{1} }} + \sin \vartheta \cdot \sin \varphi \cdot {\text{d}}r \cdot \overrightarrow {{e_{2} }} + \cos \vartheta \cdot {\text{d}}r \cdot \overrightarrow {{e_{3} }} } \right) \\ & + \left( {r \cdot \cos \vartheta \cdot \cos \varphi \cdot {\text{d}}\vartheta \cdot \overrightarrow {{e_{1} }} + r \cdot \cos \vartheta \cdot \sin \varphi \cdot {\text{d}}\vartheta \cdot \overrightarrow {{e_{2} }} - r \cdot \sin \vartheta \cdot {\text{d}}\vartheta \cdot \overrightarrow {{e_{3} }} } \right) \\ & + \left( { - r \cdot \sin \vartheta \cdot \sin \varphi \cdot {\text{d}}\varphi \cdot \overrightarrow {{e_{1} }} + r \cdot \sin \vartheta \cdot \cos \varphi \cdot {\text{d}}\varphi \cdot \overrightarrow {{e_{2} }} } \right). \\ \end{aligned} $$

Aus den Liniendifferenzialen

$$ \begin{aligned} & {\text{d}}\overrightarrow {{x_{r} }} = \sin \vartheta \cdot \cos \varphi \cdot {\text{d}}r \cdot \overrightarrow {{e_{1} }} + \sin \vartheta \cdot \sin \varphi \cdot {\text{d}}r \cdot \overrightarrow {{e_{2} }} + \cos \vartheta \cdot {\text{d}}r \cdot \overrightarrow {{e_{3} }} , \\ & {\text{d}}\overrightarrow {{x_{\vartheta } }} = r \cdot \cos \vartheta \cdot \cos \varphi \cdot {\text{d}}\vartheta \cdot \overrightarrow {{e_{1} }} + r \cdot \cos \vartheta \cdot \sin \varphi \cdot {\text{d}}\vartheta \cdot \overrightarrow {{e_{2} }} - r \cdot \sin \vartheta \cdot {\text{d}}\vartheta \cdot \overrightarrow {{e_{3} }} \;{\text{und}} \\ & {\text{d}}\overrightarrow {{x_{\varphi } }} = - r \cdot \sin \vartheta \cdot \sin \varphi \cdot {\text{d}}\varphi \cdot \overrightarrow {{e_{1} }} + r \cdot \sin \vartheta \cdot \cos \varphi \cdot {\text{d}}\varphi \cdot \overrightarrow {{e_{2} }} \\ \end{aligned} $$

berechnen wir das Spatprodukt (1.198) mithilfe einer Determinante. Dabei nutzen wir die Regel zur Multiplikation einer Determinante mit einem Faktor:

$$ \begin{aligned} & {\text{d}}V = \left| {\begin{array}{*{20}c} {\sin \vartheta \cdot \cos \varphi \cdot {\text{d}}r} & {\sin \vartheta \cdot \sin \varphi \cdot {\text{d}}r} & {\cos \vartheta \cdot {\text{d}}r} \\ {r \cdot \cos \vartheta \cdot \cos \varphi \cdot {\text{d}}\vartheta } & {r \cdot \cos \vartheta \cdot \sin \varphi \cdot {\text{d}}\vartheta } & { - r \cdot \sin \vartheta \cdot {\text{d}}\vartheta } \\ { - r \cdot \sin \vartheta \cdot \sin \varphi \cdot {\text{d}}\varphi } & {r \cdot \sin \vartheta \cdot \cos \varphi \cdot {\text{d}}\varphi } & 0 \\ \end{array} } \right|, \\ & {\text{d}}V = \left| {\begin{array}{*{20}c} {\sin \vartheta \cdot \cos \varphi } & {\sin \vartheta \cdot \sin \varphi } & {\cos \vartheta } \\ {\cos \vartheta \cdot \cos \varphi } & {\cos \vartheta \cdot \sin \varphi } & { - \sin \vartheta } \\ { - \sin \varphi } & {\cos \varphi } & 0 \\ \end{array} } \right| \cdot r^{2} \cdot \sin \vartheta \cdot {\text{d}}r \cdot {\text{d}}\vartheta \cdot {\text{d}}\varphi , \\ & {\text{d}}V = \left( { - \sin \varphi \cdot \left( { - \sin^{2} \vartheta \cdot \sin \varphi - \cos^{2} \vartheta \cdot \sin \varphi } \right) - \cos \varphi \cdot \left( { - \sin^{2} \vartheta \cdot \cos \varphi - \cos^{2} \vartheta \cdot \cos \varphi } \right)} \right) \cdot r^{2} \cdot \sin \vartheta \cdot {\text{d}}r \cdot {\text{d}}\vartheta \cdot {\text{d}}\varphi , \\ & {\text{d}}V = \left( {\sin^{2} \varphi \cdot \left( {\sin^{2} \vartheta + \cos^{2} \vartheta } \right) + \cos^{2} \varphi \cdot \left( {\sin^{2} \vartheta + \cos^{2} \vartheta } \right)} \right) \cdot r^{2} \cdot \sin \vartheta \cdot {\text{d}}r \cdot {\text{d}}\vartheta \cdot {\text{d}}\varphi , \\ & {\text{d}}V = r^{2} \cdot \sin \vartheta \cdot {\text{d}}r \cdot {\text{d}}\vartheta \cdot {\text{d}}\varphi . \\ \end{aligned} $$
(1.199)

Im letzten Schritt wurde mehrfach der „trigonometrische Pythagoras“ \(\sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha = 1\) genutzt.

Bemerkung

Da die Liniendifferenziale orthogonal zueinander verlaufen (Nachweis mithilfe von Skalarprodukten), stellt das Spat einen Quader dar. Deshalb kann die Berechnung des Volumendifferenzials vereinfacht werden zu \({\text{d}}V = \left| {{\text{d}}\overrightarrow {{x_{r} }} } \right| \cdot \left| {{\text{d}}\overrightarrow {{x_{\vartheta } }} } \right| \cdot \left| {{\text{d}}\overrightarrow {{x_{\varphi } }} } \right| = {\text{d}}r \cdot \left( {r \cdot {\text{d}}\vartheta } \right) \cdot \left( {r \cdot \sin \vartheta \cdot {\text{d}}\varphi } \right) = r^{2} \cdot \sin \vartheta \cdot {\text{d}}r \cdot {\text{d}}\vartheta \cdot {\text{d}}\varphi .\)

Die Berechnung des Trägheitsmoments einer Kugel wird sehr einfach, wenn wir den beim Kreiszylinder im Lösungsweg 2 vorgestellten Trick benutzen.

Wegen \(J_{{\text{x,S}}} = J_{{\text{y,S}}} = J_{{\text{z,S}}}\) gilt:

$$ J_{{\text{x,S}}} = J_{{\text{y,S}}} = J_{{\text{z,S}}} = \frac{1}{3} \cdot \left( {J_{{\text{x,S}}} + J_{{\text{y,S}}} + J_{{\text{z,S}}} } \right). $$

Nun verwenden wir (1.44) und (1.46):

$$ \begin{aligned} & J_{{\text{x,S}}} = \frac{1}{3} \cdot \left( {\rho \cdot \int {r_{{ \bot {\text{x}}}}^{2} } \cdot {\text{d}}V + \rho \cdot \int {r_{{ \bot {\text{y}}}}^{2} } \cdot {\text{d}}V + \rho \cdot \int {r_{{ \bot {\text{z}}}}^{2} } \cdot {\text{d}}V} \right), \\ & J_{{\text{x,S}}} = \frac{1}{3} \cdot \left( {\rho \cdot \int {\left( {y^{2} + z^{2} } \right) \cdot {\text{d}}V} + \rho \cdot \int {\left( {x^{2} + z^{2} } \right) \cdot {\text{d}}V + \rho \cdot \int {\left( {x^{2} + y^{2} } \right) \cdot {\text{d}}V} } } \right), \\ & J_{{\text{x,S}}} = \frac{2}{3} \cdot \rho \cdot \int {\left( {x^{2} + y^{2} + z^{2} } \right) \cdot {\text{d}}V} = \frac{2}{3} \cdot \rho \cdot \int {r^{2} } \cdot {\text{d}}V. \\ \end{aligned} $$

Mit (1.199) und \(m = \rho \cdot \frac{4}{3} \cdot\uppi \cdot R^{3}\) ergibt sich weiter

$$ \begin{aligned} & J_{{\text{x,S}}} = \frac{2}{3} \cdot \rho \cdot \int {r^{2} } \cdot r^{2} \cdot \sin \vartheta \cdot {\text{d}}r \cdot {\text{d}}\vartheta \cdot {\text{d}}\varphi , \\ & J_{{\text{x,S}}} = \frac{2}{3} \cdot \rho \cdot \int\limits_{0}^{R} {r^{4} \cdot {\text{d}}r} \cdot \int\limits_{0}^{\uppi } {\sin \vartheta \cdot {\text{d}}\vartheta } \cdot \int\limits_{0}^{{2 \cdot\uppi }} {{\text{d}}\varphi } = \frac{2}{3} \cdot \rho \cdot \frac{{R^{5} }}{5} \cdot \left[ { - \,\cos \vartheta } \right]_{0}^{\uppi } \cdot 2 \cdot {\uppi ,} \\ & J_{{\text{x,S}}} = \frac{8}{15} \cdot \rho \cdot {\uppi } \cdot R^{5} = \left( {\rho \cdot \frac{4}{3} \cdot {\uppi } \cdot R^{3} } \right) \cdot \frac{2}{5} \cdot R^{2} . \\ & J_{{\text{x,S}}} = J_{{\text{y,S}}} = J_{{\text{z,S}}} = \frac{2}{5} \cdot m \cdot R^{2} . \\ \end{aligned} $$
(1.200)

Bemerkung

Unter Ausnutzung der Symmetrie können wir auch bei der Kugel die Berechnung vereinfachen, wenn wir als infinitesimales Volumenelement eine Hohlkugel als Kugelschale durch P mit der Dicke \({\text{d}}r\) wählen, deren Volumen \({\text{d}}V = 4 \cdot\uppi \cdot r^{2} \cdot {\text{d}}r\) beträgt:

$$ \begin{aligned} & J_{{\text{x,S}}} = \frac{2}{3} \cdot \rho \cdot \int {r^{2} } \cdot {\text{d}}V = \frac{2}{3} \cdot \rho \cdot \int {r^{2} } \cdot 4 \cdot\uppi \cdot r^{2} \cdot {\text{d}}r, \\ & J_{{\text{x,S}}} = \frac{8}{3} \cdot\uppi \cdot \rho \cdot \int\limits_{0}^{R} {r^{4} \cdot {\text{d}}r} = \frac{8}{3} \cdot\uppi \cdot \rho \cdot \frac{{R^{5} }}{5}. \\ \end{aligned} $$

Anhang 1.2 Anwendung des d’Alembert’schen Prinzips für statische Berechnungen

Wir haben in Abschn. 1.2.1 aus dem d’Alembert’schen Prinzip (1.131) durch eine komplizierte Berechnung die Bewegungsgleichungen der Lagrange’schen Mechanik hergeleitet. Es ist anzunehmen, dass sich für den Sonderfall eines im statischen Gleichgewicht befindlichen Systems eine einfachere Beziehung als (1.131) ergibt.

Wenn sich das System im statischen Gleichgewicht befindet, dann besitzen alle seine Elemente (z. B. Teilchen, Bauelemente) die Beschleunigung null, d. h. es gilt \(\overrightarrow {{\ddot{x}_{i} }} = 0\) für alle N Elemente des Systems. Damit gelten unter der Voraussetzung zeitlich unveränderlicher Massen für jedes Element des Systems auch die folgenden Beziehungen für die beschleunigende Kraft und deren virtuelle Arbeit:

$$ m_{i} \cdot \overrightarrow {{\ddot{x}_{i} }} = \frac{{\text{d}}}{{{\text{d}}t}}\left( {m_{i} \cdot \overrightarrow {{\dot{x}_{i} }} } \right) = \frac{{\text{d}}}{{{\text{d}}t}}\overrightarrow {{p_{i} }} = \overrightarrow {{\dot{p}_{i} }} = \overrightarrow {{F_{i} }} = \overrightarrow {0} \;{\text{und}}\;\overrightarrow {{\dot{p}_{i} }} {\scriptstyle{\bullet}} \delta \overrightarrow {{r_{i} }} = \delta W_{i} = 0. $$

Da die letztgenannte Gleichung für jedes Element des Systems gilt, ist auch die Summe dieser Terme null: \(\sum\limits_{i = 1}^{N} {\overrightarrow {{\dot{p}_{i} }} {\scriptstyle{\bullet}} \delta \overrightarrow {{r_{i} }} } = 0\). Wir erkennen, dass deshalb die Beziehung (1.131), die wir für das d’Alembert’sche Prinzip erhalten haben, für ein System im statischen Gleichgewicht tatsächlich in einen Sonderfall übergeht:

$$ \begin{aligned} & 0 = \sum\limits_{i = 1}^{N} {\left( {\overrightarrow {{F_{i}^{e} }} - \overrightarrow {{\dot{p}_{i} }} } \right) {\scriptstyle{\bullet}} \delta \overrightarrow {{r_{i} }} } = \sum\limits_{i = 1}^{N} {\overrightarrow {{F_{i}^{e} }} {\scriptstyle{\bullet}} \delta \overrightarrow {{r_{i} }} } - \underbrace {{\sum\limits_{i = 1}^{N} {\overrightarrow {{\dot{p}_{i} }} {\scriptstyle{\bullet}} \delta \overrightarrow {{r_{i} }} } }}_{0}, \\ & \sum\limits_{i = 1}^{N} {\overrightarrow {{F_{i}^{e} }} {\scriptstyle{\bullet}} \delta \overrightarrow {{r_{i} }} } = 0. \\ \end{aligned} $$
(1.201)

Die letztgenannte Gleichung ermöglicht folgende Interpretationen:

  • Die gesamte von den eingeprägten Kräften verrichtete virtuelle Arbeit ist null.

  • Da sich für konservative eingeprägte Kräfte mit (1.21) die Beziehung \(0 = \sum\limits_{i = 1}^{N} {\left( { - \frac{{\partial V_{i} \left( {\overrightarrow {{r_{i} }} } \right)}}{{\partial \overrightarrow {{r_{i} }} }}} \right) {\scriptstyle{\bullet}} \delta \overrightarrow {{r_{i} }} } = - \sum\limits_{i = 1}^{N} {\delta V_{i} \left( {\overrightarrow {{r_{i} }} } \right)} = - \delta \sum\limits_{i = 1}^{N} {V_{i} \left( {\overrightarrow {{r_{i} }} } \right)} = - \delta V\) ergibt, ist die gesamte potenzielle Energie des Systems extremal (in der Regel minimal).

Bei Systemen im statischen Gleichgewicht befinden sich außer den Kräften auch die Drehmomente im Gleichgewicht.

Um die Bedingung des Momentengleichgewichts zu erfüllen, wird der Gedankengang, der zu (1.201) geführt hat, analog auf Momente bei virtuellen Verdrehungen übertragen:

  • Bei virtuellen Verdrehungen ist die gesamte von den Zwangsmomenten verrichtete virtuelle Arbeit null.

  • Im Momentengleichgewicht ist die gesamte von den eingeprägten Momenten verrichtete virtuelle Arbeit null.

Bei Verwendung generalisierter Koordinaten können die beiden Bedingungen einzeln oder gemeinsam betrachtet werden, da diese Koordinaten unabhängig voneinander sind. Wir verwenden im anschließend vorgestellten Beispiel 1.19 folgende spezielle Fassung des d’Alembert’schen Prinzips für Systeme im Gleichgewicht:

Im Gleichgewicht ist die gesamte von den eingeprägten Kräften und Momenten verrichtete virtuelle Arbeit null:

$$ 0 = \sum\limits_{i = 1}^{N} {\left( {\overrightarrow {{F_{i}^{e} }} {\scriptstyle{\bullet}} \delta \overrightarrow {{r_{i} }} + \overrightarrow {{M_{i}^{e} }} {\scriptstyle{\bullet}} \delta \overrightarrow {{\varphi_{i} }} } \right)} . $$
(1.202)

Dabei geben wir die Verschiebungen und Verdrehungen in Abhängigkeit der generalisierten Koordinaten und der Zeit an, um analog zu (1.129) die virtuellen Verschiebungen und die virtuellen Verdrehungen für alle \(i \in \left\{ {1, \ldots ,N} \right\}\) zu bestimmen:

Verschiebungen: \(\overrightarrow {{r_{i} }} = \overrightarrow {{r_{i} }} \left( {q_{1} ,\; \ldots ,\;q_{s} ,\;t} \right)\),

Verdrehungen: \(\overrightarrow {{\varphi_{i} }} = \overrightarrow {{\varphi_{i} }} \left( {q_{1} ,\; \ldots ,\;q_{s} ,\;t} \right)\),

virtuelle Verschiebungen: \(\delta \overrightarrow {{r_{i} }} = \sum\limits_{j = 1}^{s} {\frac{{\partial \overrightarrow {{r_{i} }} }}{{\partial q_{j} }} \cdot \delta q_{j} } + \frac{{\partial \overrightarrow {{r_{i} }} }}{\partial t} \cdot \delta t = \sum\limits_{j = 1}^{s} {\frac{{\partial \overrightarrow {{r_{i} }} }}{{\partial q_{j} }} \cdot \delta q_{j} }\),

virtuelle Verdrehungen: \(\delta \overrightarrow {{\varphi_{i} }} = \sum\limits_{j = 1}^{s} {\frac{{\partial \overrightarrow {{\varphi_{i} }} }}{{\partial q_{j} }} \cdot \delta q_{j} } + \frac{{\partial \overrightarrow {{\varphi_{i} }} }}{\partial t} \cdot \delta t = \sum\limits_{j = 1}^{s} {\frac{{\partial \overrightarrow {{\varphi_{i} }} }}{{\partial q_{j} }} \cdot \delta q_{j} }\).

Beispiel 1.19

Der im oberen Teil der Abb. 1.49 dargestellte Hebel ist im Punkt A gelagert und auf ihn wirken ein Moment M im Punkt A sowie eine Kraft im Punkt B ein. Berechnen Sie die Lagerreaktionen und die Kraft im Punkt C so, dass sich der Hebel im Gleichgewicht befindet.

Gegeben: M, \(\overrightarrow {{F_{{{\text{By}}}} }} ,\ell_{1} ,\ell_{2}\).

Gesucht: \(\overrightarrow {{F_{{{\text{Cy}}}} }} ,\overrightarrow {{F_{{{\text{Ax}}}} }} ,\overrightarrow {{F_{{{\text{Ay}}}} }}\).

Abb. 1.49
figure 49

Hebel im statischen Gleichgewicht

Lösung:

Um alle auf den Hebel wirkenden Kräfte und Momente darstellen zu können, wenden wir das Schnittprinzip an, d. h., wir schneiden den Hebel gedanklich von seiner Umgebung frei. Dazu ist im vorliegenden Beispiel ein Schnitt durch das Festlager bereits ausreichend. Durch Einzeichnen der Lagerkräfte auf den freigeschnittenen Hebel im Punkt A erhalten wir den mittleren Teil der Abb. 1.49. Auf die Darstellung des Koordinatensystems wurde verzichtet. Die x- bzw. y-Achse liegen wie üblich waagerecht bzw. senkrecht in der Zeichenebene. Der freigeschnittene Hebel besitzt drei Freiheitsgrade: Er kann in x- und y-Richtung verschoben sowie im Punkt A um einen Winkel \(\varphi\) gedreht werden. Die virtuellen Verschiebungen und die virtuelle Verdrehung wurden im unteren Teil der Abb. 1.49 dargestellt.

Wir verwenden die generalisierten Koordinaten \(q_{1} = x\,,\;q_{2} = y\) und \(q_{3} = \varphi\). Zur Berechnung der virtuellen Arbeit verwenden wir die virtuellen Verschiebungen \(\delta q_{1} = \delta x\) und \(\delta q_{2} = \delta y\) sowie die virtuelle Verdrehung \(\delta q_{3} = \delta \varphi\). Aus (1.202) erhalten wir unter Verwendung von (1.65) und (1.37)

$$ 0 = \delta W = F_{{{\text{Ax}}}} \cdot \delta x + \left( {F_{{{\text{Ay}}}} - F_{{{\text{By}}}} + F_{{{\text{Cy}}}} } \right) \cdot \delta y + \left( { - F_{{{\text{By}}}} \cdot \ell_{1} + F_{{{\text{Cy}}}} \cdot \left( {\ell_{1} + \ell_{2} } \right) - M} \right) \cdot \delta \varphi . $$
(1.203)

Da generalisierte Koordinaten voneinander unabhängig sind, ist (1.203) nur erfüllbar, wenn alle vor den virtuellen Verschiebungen bzw. der virtuellen Verdrehung stehenden Faktoren null sind. Diese Aussage können wir folgendermaßen begründen:

  • Wegen der Unabhängigkeit der generalisierten Koordinaten dürfen wir jeweils zwei von ihnen null setzen. Daraus erhalten wir das Zwischenergebnis, dass alle drei vorkommenden Produkte null ergeben müssen.

  • Die virtuellen Verschiebungen bzw. die virtuelle Verdrehung sind infinitesimal und mit den Zwangsbedingungen verträglich, aber ansonsten beliebig. Deshalb können die drei vorkommenden Produkte nur dann null ergeben, wenn die vor den virtuellen Verschiebungen bzw. der virtuellen Verdrehung stehenden Faktoren null sind.

Wir erhalten aus (1.203) folgende Gleichgewichtsbedingungen:

$$ F_{{{\text{Ax}}}} = 0,F_{{{\text{Ay}}}} - F_{{{\text{By}}}} + F_{{{\text{Cy}}}} = 0\;{\text{und}}\; - F_{{{\text{By}}}} \cdot \ell_{1} + F_{{{\text{Cy}}}} \cdot \left( {\ell_{1} + \ell_{2} } \right) - M = 0. $$
(1.204)

Die gesuchten Stücke erhalten wir aus der ersten, dritten und zweiten Gleichung:

$$ F_{{{\text{Ax}}}} = 0,\;F_{{{\text{Cy}}}} = \frac{{M + F_{{{\text{By}}}} \cdot \ell_{1} }}{{\ell_{1} + \ell_{2} }},F_{{{\text{Ay}}}} = F_{{{\text{By}}}} - F_{{{\text{Cy}}}} = F_{{{\text{By}}}} - \frac{{M + F_{{{\text{By}}}} \cdot \ell_{1} }}{{\ell_{1} + \ell_{2} }} = \frac{{F_{{{\text{By}}}} \cdot \ell_{2} - M}}{{\ell_{1} + \ell_{2} }}. $$

Bemerkung

In der Technischen Mechanik wird meist auf den Ansatz (1.203) verzichtet, indem sofort die Gleichgewichtsbedingungen für die waagerecht und senkrecht wirkenden Kräfte sowie die Momente formuliert werden, die wir in (1.204) angegeben haben. Ich wählte den etwas ausführlicheren Lösungsweg, um die Anwendung des d’Alembert’schen Prinzips auf Systeme im Gleichgewicht exemplarisch verdeutlichen zu können.

Anhang 1.3 Generalisierte Kräfte in einem System zweier Massepunkte

In diesem Anhang weisen wir an einem Beispiel nach, dass die Gl. (1.140) und (1.142) gelten, d. h., dass mit \(\sum\limits_{i = 1}^{N} {V_{i} \left( {\overrightarrow {{r_{i} }} } \right)} = \sum\limits_{i = 1}^{N} {V_{i} \left( {\overrightarrow {{r_{i} }} \left( {q_{1} , \ldots ,q_{s} ,t} \right)} \right)} = V\left( {q_{1} , \ldots ,q_{s} ,t} \right)\) folgende Beziehung gilt:

$$ Q_{j} = \sum\limits_{i = 1}^{N} {\overrightarrow {{F_{i}^{e} }} {\scriptstyle{\bullet}} \frac{{\partial \overrightarrow {{r_{i} }} }}{{\partial q_{j} }}} = - \sum\limits_{i = 1}^{N} {\frac{{\partial V_{i} \left( {\overrightarrow {{r_{i} }} } \right)}}{{\partial \overrightarrow {{r_{i} }} }} {\scriptstyle{\bullet}} \frac{{\partial \overrightarrow {{r_{i} }} }}{{\partial q_{j} }}} = - \frac{{\partial V\left( {q_{1} , \ldots ,q_{s} ,\;t} \right)}}{{\partial q_{j} }}. $$
(1.205)

Für diesen exemplarischen Nachweis verwenden wir ein System aus zwei Massepunkten mit der Masse \(m_{1}\) bzw. \(m_{2}\), die sich im Gravitationsfeld einer Masse M bewegen.

Wir haben diese Konstellation gewählt, da wir das Potenzial \(\Phi\) des Gravitationsfeldes sowie die potenziellen Energien \(V_{1} \left( {\overrightarrow {{r_{1} }} } \right)\) und \(V_{2} \left( {\overrightarrow {{r_{2} }} } \right)\) der Massepunkte kennen, denn mit (1.14) und (1.17) gelten:

$$ \Phi \left( {\overrightarrow {r} } \right) = - \frac{G \cdot M}{{\left| {\overrightarrow {r} } \right|}} = - G \cdot M \cdot \left( {\overrightarrow {r}^{2} } \right)^{{ - \frac{1}{2}}} , $$
(1.206)
$$ V_{i} \left( {\overrightarrow {{r_{i} }} } \right) = m_{i} \cdot \Phi \left( {\overrightarrow {{r_{i} }} } \right) = - G \cdot M \cdot m_{i} \cdot \left( {\overrightarrow {{r_{i} }}^{2} } \right)^{{ - \frac{1}{2}}} \quad i \in \left\{ {1,2} \right\}. $$
(1.207)

Da das System keinen Zwängen unterliegt, besitzt es sechs Freiheitsgrade und kann mit sechs generalisierten Koordinaten vollständig beschrieben werden (ich verzichte auf die Kennzeichnung der Zeitabhängigkeit der Koordinaten, da sie bei den folgenden Berechnungen nicht benötigt wird):

\(q_{1}\), \(q_{2}\), \(q_{3}\)\(x_{1}\)-, \(x_{2}\)- bzw. \(x_{3}\)-Koordinate des ersten Massepunkts,

\(q_{4}\), \(q_{5}\), \(q_{6}\)\(x_{1}\)-,\(x_{2}\)- bzw. \(x_{3}\)-Koordinate des zweiten Massepunkts.

Mit dieser Zuordnung können wir die beiden Massepunkte in den Formeln unterscheiden, denn für die jeweiligen Ortsvektoren gilt:

$$ \begin{aligned} \overrightarrow {{r_{1} }} = \overrightarrow {{r_{1} }} \left( {q_{1} ,\;q_{2} ,\;q_{3} } \right) &= \overrightarrow {{e_{1} }} \cdot q_{1} + \overrightarrow {{e_{2} }} \cdot q_{2} + \overrightarrow {{e_{3} }} \cdot q_{3} \ldots\\&\qquad {\text{Ortsvektor}}\;{\text{des}}\;{\text{ersten}}\;{\text{Massepunkts}}, \end{aligned}$$
(1.208)
$$ \begin{aligned}\overrightarrow {{r_{2} }} = \overrightarrow {{r_{2} }} \left( {q_{4} ,\;q_{5} ,\;q_{6} } \right) &= \overrightarrow {{e_{1} }} \cdot q_{4} + \overrightarrow {{e_{2} }} \cdot q_{5} + \overrightarrow {{e_{3} }} \cdot q_{6} \ldots \\&\qquad{\text{Ortsvektor}}\;{\text{des}}\;{\text{zweiten}}\;{\text{Massepunkts}}{.} \end{aligned}$$
(1.209)

Trotz der vorliegenden Kugelsymmetrie wurden den generalisierten Koordinaten \(q_{i}\) kartesische Koordinaten zugeordnet, da wir für diese Koordinaten die Nabla-Operatoren sehr einfach ermitteln können, s. Abschn. 6.5.1.

Um \(\nabla_{1}\) aus dem formalen Ansatz \({\text{d}}V_{1} = {\text{d}}\overrightarrow {{r_{1} }} {\scriptstyle{\bullet}} \nabla_{1} V_{1}\) zu bestimmen, ermitteln wir die vorkommenden totalen Differenziale:

$$ {\text{d}}V_{1} \left( {q_{1} ,\;q_{2} ,\;q_{3} } \right) = \frac{{\partial V_{1} }}{{\partial q_{1} }} \cdot {\text{d}}q_{1} + \frac{{\partial V_{1} }}{{\partial q_{2} }} \cdot {\text{d}}q_{2} + \frac{{\partial V_{1} }}{{\partial q_{3} }} \cdot {\text{d}}q_{3} , $$
(1.210)
$$ {\text{d}}\overrightarrow {{r_{1} }} \left( {q_{1} ,\;q_{2} ,\;q_{3} } \right) = \frac{{\partial \overrightarrow {{r_{1} }} }}{{\partial q_{1} }} \cdot {\text{d}}q_{1} + \frac{{\partial \overrightarrow {{r_{1} }} }}{{\partial q_{2} }} \cdot {\text{d}}q_{2} + \frac{{\partial \overrightarrow {{r_{1} }} }}{{\partial q_{3} }} \cdot {\text{d}}q_{3} . $$
(1.211)

Wegen der Unabhängigkeit der generalisierten Koordinaten und der Konstanz der Einheitsvektoren bei Verwendung kartesischer Koordinaten lässt sich die letztgenannte Beziehung mit (1.208) vereinfachen:

$$ {\text{d}}\overrightarrow {{r_{1} }} \left( {q_{1} ,\;q_{2} ,\;q_{3} } \right) = \overrightarrow {{e_{1} }} \cdot {\text{d}}q_{1} + \overrightarrow {{e_{2} }} \cdot {\text{d}}q_{2} + \overrightarrow {{e_{3} }} \cdot {\text{d}}q_{3}.$$

Damit ergibt sich für den Ansatz

$$ \begin{aligned} & {\text{d}}V_{1} = {\text{d}}\overrightarrow {{r_{1} }} {\scriptstyle{\bullet}} \nabla_{1} V_{1} = \left( {\overrightarrow {{e_{1} }} \cdot {\text{d}}q_{1} + \overrightarrow {{e_{2} }} \cdot {\text{d}}q_{2} + \overrightarrow {{e_{3} }} \cdot {\text{d}}q_{3} } \right) {\scriptstyle{\bullet}} \left( {\overrightarrow {{e_{1} }} \cdot \frac{\partial }{{\partial q_{1} }} + \overrightarrow {{e_{2} }} \cdot \frac{\partial }{{\partial q_{2} }} + \overrightarrow {{e_{3} }} \cdot \frac{\partial }{{\partial q_{3} }}} \right)V_{1} ,\;{\text{d}}.\;{\text{h}}. \\ & \nabla_{1} = \overrightarrow {{e_{1} }} \cdot \frac{\partial }{{\partial q_{1} }} + \overrightarrow {{e_{2} }} \cdot \frac{\partial }{{\partial q_{2} }} + \overrightarrow {{e_{3} }} \cdot \frac{\partial }{{\partial q_{3} }}. \\ \end{aligned} $$
(1.212)

Analog ergibt sich aus dem Ansatz \({\text{d}}V_{2} = {\text{d}}\overrightarrow {{r_{2} }} {\scriptstyle{\bullet}} \nabla_{2} V_{2}\) die Beziehung

$$ \nabla_{2} = \overrightarrow {{e_{1} }} \cdot \frac{\partial }{{\partial q_{4} }} + \overrightarrow {{e_{2} }} \cdot \frac{\partial }{{\partial q_{5} }} + \overrightarrow {{e_{3} }} \cdot \frac{\partial }{{\partial q_{6} }}. $$
(1.213)

Bei den Berechnungen werden wir auch folgende formale Schreibweise verwenden:

$$ \nabla_{i} V_{i} = \frac{{{\text{d}}V_{i} }}{{{\text{d}}\overrightarrow {{r_{i} }} }} = \frac{{\partial V_{i} }}{{\partial \overrightarrow {{r_{i} }} }}\;{\text{bzw}}.\;\nabla_{i} = \frac{\partial }{{\partial \overrightarrow {{r_{i} }} }}\quad i \in \left\{ {1,2} \right\}. $$
(1.214)

Der Übergang von der totalen zur partiellen Ableitung ist möglich, da \(V_{1}\) ausschließlich von \(\overrightarrow {{r_{1} }}\) und \(V_{2}\) ausschließlich von \(\overrightarrow {{r_{2} }}\) abhängt.

1.3.1 Berechnung der eingeprägten Kräfte aus den potenziellen Energien

Wir berechnen die eingeprägten Kräfte aus den potenziellen Energien mithilfe der Beziehung (1.21), die wir bereits unter Berücksichtigung von (1.214) in (1.205) beachtet haben:

$$ \overrightarrow {{F_{i}^{e} }} = - \frac{{\partial V_{i} \left( {\overrightarrow {{r_{i} }} } \right)}}{{\partial \overrightarrow {{r_{i} }} }}\quad i \in \left\{ {1,2} \right\}. $$
(1.215)

Dabei verwenden wir im Lösungsweg 1 generalisierte Koordinaten und im Lösungsweg 2 die formale Schreibweise.

Lösungsweg 1: Verwendung der generalisierten Koordinaten

Mit (1.212), (1.207) und (1.208) erhalten wir

$$ \begin{aligned} & \overrightarrow {{F_{1}^{e} }} = - \frac{{\partial V_{1} \left( {\overrightarrow {{r_{1} }} } \right)}}{{\partial \overrightarrow {{r_{1} }} }} = - \left( {\overrightarrow {{e_{1} }} \cdot \frac{\partial }{{\partial q_{1} }} + \overrightarrow {{e_{2} }} \cdot \frac{\partial }{{\partial q_{2} }} + \overrightarrow {{e_{3} }} \cdot \frac{\partial }{{\partial q_{3} }}} \right)\left( { - G \cdot M \cdot m_{1} \cdot \left( {\overrightarrow {{r_{1} }}^{2} } \right)^{{ - \frac{1}{2}}} } \right), \\ & \overrightarrow {{F_{1}^{e} }} = - \left( {\overrightarrow {{e_{1} }} \cdot \frac{\partial }{{\partial q_{1} }} + \overrightarrow {{e_{2} }} \cdot \frac{\partial }{{\partial q_{2} }} + \overrightarrow {{e_{3} }} \cdot \frac{\partial }{{\partial q_{3} }}} \right)\left( { - G \cdot M \cdot m_{1} \cdot \left( {q_{1}^{2} + q_{2}^{2} + q_{3}^{2} } \right)^{{ - \frac{1}{2}}} } \right), \\ & \overrightarrow {{F_{1}^{e} }} = G \cdot M \cdot m_{1} \cdot \left( { - \overrightarrow {{e_{1} }} \cdot \left( {q_{1}^{2} + q_{2}^{2} + q_{3}^{2} } \right)^{{ - \frac{3}{2}}} \cdot q_{1} - \overrightarrow {{e_{2} }} \cdot \left( {q_{1}^{2} + q_{2}^{2} + q_{3}^{2} } \right)^{{ - \frac{3}{2}}} \cdot q_{2} - \overrightarrow {{e_{3} }} \cdot \left( {q_{1}^{2} + q_{2}^{2} + q_{3}^{2} } \right)^{{ - \frac{3}{2}}} \cdot q_{3} } \right). \\ \end{aligned} $$

Nach (1.208) gilt \(\left( {q_{1}^{2} + q_{2}^{2} + q_{3}^{2} } \right) = r_{1}^{2}\); damit formen wir um:

$$ \begin{aligned} & \overrightarrow {{F_{1}^{e} }} = - G \cdot M \cdot m_{1} \cdot \frac{{\overrightarrow {{e_{1} }} \cdot q_{1} + \overrightarrow {{e_{2} }} \cdot q_{2} + \overrightarrow {{e_{3} }} \cdot q_{3} }}{{r_{1}^{3} }}, \\ & \overrightarrow {{F_{1}^{e} }} = - G \cdot M \cdot m_{1} \cdot \frac{{\overrightarrow {{r_{1} }} }}{{r_{1}^{3} }} = - \frac{{G \cdot M \cdot m_{1} }}{{r_{1}^{2} }} \cdot \frac{{\overrightarrow {{r_{1} }} }}{{r_{1} }}. \\ \end{aligned} $$

Ergebnis:

Wir haben die auf den Massepunkt 1 wirkende Gravitationskraft korrekt ermittelt und damit gezeigt, dass der in Abschn. 1.1.1 realisierte Gedankengang umkehrbar ist.

Lösungsweg 2: Verwendung der formalen Schreibweise

Die auf den Massepunkt 2 wirkende Gravitationskraft berechnen wir sehr effektiv direkt aus (1.215) unter Nutzung von (1.207):

$$ \overrightarrow {{F_{2}^{e} }} = - \frac{{\partial V_{2} \left( {\overrightarrow {{r_{2} }} } \right)}}{{\partial \overrightarrow {{r_{2} }} }} = G \cdot M \cdot m_{2} \cdot \frac{{\partial \left( {\overrightarrow {{r_{2} }}^{2} } \right)^{{ - \frac{1}{2}}} }}{{\partial \overrightarrow {{r_{2} }} }} = - G \cdot M \cdot m_{2} \cdot \left( {\overrightarrow {{r_{2} }}^{2} } \right)^{{ - \frac{3}{2}}} \cdot \overrightarrow {{r_{2} }} = - \frac{{G \cdot M \cdot m_{2} }}{{r_{2}^{2} }} \cdot \frac{{\overrightarrow {{r_{2} }} }}{{r_{2} }}. $$

Auch für die eingeprägte Kraft auf den Massepunkt 2 erhalten wir das erwartete Ergebnis, das mit dem Gravitationsgesetz verträglich ist.

1.3.2 Berechnung einer generalisierten Kraft

Lösungsweg 1: Verwendung der Beziehung \(Q_{j} = - \sum\limits_{i = 1}^{N} {\frac{{\partial V_{i} \left( {\overrightarrow {{r_{i} }} } \right)}}{{\partial \overrightarrow {{r_{i} }} }} {\scriptstyle{\bullet}} \frac{{\partial \overrightarrow {{r_{i} }} }}{{\partial q_{j} }}}\)

Wir berechnen \(Q_{1} = - \sum\limits_{i = 1}^{2} {\frac{{\partial V_{i} \left( {\overrightarrow {{r_{i} }} } \right)}}{{\partial \overrightarrow {{r_{i} }} }} {\scriptstyle{\bullet}} \frac{{\partial \overrightarrow {{r_{i} }} }}{{\partial q_{1} }}} = - \frac{{\partial V_{1} \left( {\overrightarrow {{r_{1} }} } \right)}}{{\partial \overrightarrow {{r_{1} }} }} {\scriptstyle{\bullet}} \frac{{\partial \overrightarrow {{r_{1} }} }}{{\partial q_{1} }} - \frac{{\partial V_{2} \left( {\overrightarrow {{r_{2} }} } \right)}}{{\partial \overrightarrow {{r_{2} }} }} {\scriptstyle{\bullet}} \frac{{\partial \overrightarrow {{r_{2} }} }}{{\partial q_{1} }}\). Aus (1.208) und (1.209) erhalten wir \(\frac{{\partial \overrightarrow {{r_{1} }} }}{{\partial q_{1} }} = \overrightarrow {{e_{1} }}\) bzw. \(\frac{{\partial \overrightarrow {{r_{2} }} }}{{\partial q_{1} }} = \overrightarrow {0}\). Durch Einsetzen ergibt sich mit \(\overrightarrow {{F_{1}^{e} }} = - \frac{{\partial V_{1} \left( {\overrightarrow {{r_{1} }} } \right)}}{{\partial \overrightarrow {{r_{1} }} }}\):

$$ Q_{1} = \overrightarrow {{F_{1}^{e} }} {\scriptstyle{\bullet}} \overrightarrow {{e_{1} }} = \left( {\overrightarrow {{F_{1}^{e} }} } \right)_{1} . $$
(1.216)

Interpretation: \(Q_{1}\) ist die \(x_{1}\)-Komponente der eingeprägten Kraft auf den Massepunkt 1.

Lösungsweg 2: Verwendung der Beziehung \(Q_{j} = - \frac{{\partial V\left( {q_{1} , \ldots ,q_{s} ,t} \right)}}{{\partial q_{j} }}\)

Mit (1.141) sowie (1.207) bis (1.209) erhalten wir

$$ \begin{aligned} & \sum\limits_{i = 1}^{2} {V_{i} \left( {\overrightarrow {{r_{i} }} } \right)} = V_{1} \left( {\overrightarrow {{r_{1} }} \left( {q_{1} ,\;q_{2} ,\;q_{3} } \right)} \right) + V_{2} \left( {\overrightarrow {{r_{2} }} \left( {q_{4} ,\;q_{5} ,\;q_{6} } \right)} \right) = V\left( {q_{1} , \ldots ,q_{6} } \right), \\ & V\left( {q_{1} , \ldots ,q_{6} } \right) = - G \cdot M \cdot m_{1} \cdot \left( {\overrightarrow {{r_{1} }}^{2} \left( {q_{1} ,\;q_{2} ,\;q_{3} } \right)} \right)^{{ - \frac{1}{2}}} - G \cdot M \cdot m_{2} \cdot \left( {\overrightarrow {{r_{2} }}^{2} \left( {q_{4} ,\;q_{5} ,\;q_{6} } \right)} \right)^{{ - \frac{1}{2}}} , \\ & V\left( {q_{1} , \ldots ,q_{6} } \right) = - G \cdot M \cdot m_{1} \cdot \left( {q_{1}^{2} + q_{2}^{2} + q_{3}^{2} } \right)^{{ - \frac{1}{2}}} - G \cdot M \cdot m_{2} \cdot \left( {q_{4}^{2} + q_{5}^{2} + q_{6}^{2} } \right)^{{ - \frac{1}{2}}} . \\ \end{aligned} $$

Damit berechnen wir \(Q_{1}\):

$$ Q_{1} = - \frac{\partial }{{\partial q_{1} }}\left( { - G \cdot M \cdot m_{1} \cdot \left( {q_{1}^{2} + q_{2}^{2} + q_{3}^{2} } \right)^{{ - \frac{1}{2}}} - G \cdot M \cdot m_{2} \cdot \left( {q_{4}^{2} + q_{5}^{2} + q_{6}^{2} } \right)^{{ - \frac{1}{2}}} } \right), $$
$$ Q_{1} = G \cdot M \cdot m_{1} \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) \cdot \left( {q_{1}^{2} + q_{2}^{2} + q_{3}^{2} } \right)^{{ - \frac{3}{2}}} \cdot \left( {2 \cdot q_{1} } \right) = - \frac{{G \cdot M \cdot m_{1} \cdot q_{1} }}{{r_{1}^{3} }}. $$

Die letzte Gleichung formen wir mithilfe von (1.208) um, indem wir \(q_{1}\) substituieren:

$$ q_{1} = \left( {\overrightarrow {{e_{1} }} \cdot q_{1} + \overrightarrow {{e_{2} }} \cdot q_{2} + \overrightarrow {{e_{3} }} \cdot q_{3} } \right) {\scriptstyle{\bullet}} \overrightarrow {{e_{1} }} = \overrightarrow {{r_{1} }} {\scriptstyle{\bullet}} \overrightarrow {{e_{1} }} . $$

Damit erhalten wir

$$ Q_{1} = - \frac{{G \cdot M \cdot m_{1} \cdot \overrightarrow {{r_{1} }} {\scriptstyle{\bullet}} \overrightarrow {{e_{1} }} }}{{r_{1}^{3} }} = \overrightarrow {{F_{1}^{e} }} {\scriptstyle{\bullet}} \overrightarrow {{e_{1} }} = \left( {\overrightarrow {{F_{1}^{e} }} } \right)_{1} . $$

Auch mit diesem Lösungsweg erhalten wir (1.216).

Da analoge Zusammenhänge für alle \(Q_{i}\) gelten, haben wir den exemplarischen Nachweis erbracht, dass die Gl. (1.140) und (1.142) gelten.

Bemerkung

Bei der Wahl kartesischer Koordinaten für die generalisierten Koordinaten erhalten wir im vorstehenden Beispiel für jede der sechs generalisierten Kräfte \(Q_{i}\) jeweils eine Komponente einer eingeprägten Kraft. Verwenden wir dagegen einen Winkel als generalisierte Koordinate, dann ergibt sich für die zugehörige generalisierte Kraft eine andere physikalische Größe. Wir verdeutlichen diese Aussage mithilfe der Bewegung eines Massepunkts, die durch Zwangskräfte entlang einer ebenen Kurve erfolgt. Diese Bewegung können wir durch zwei generalisierte Koordinaten beschreiben, da das System zwei Freiheitsgrade besitzt. In Abb. 1.50 wurden die Bahnkurve dargestellt sowie ein kartesisches Koordinatensystem und ein Polarkoordinatensystem eingezeichnet. Das kartesische Koordinatensystem liegt in der Ebene der Bahnkurve. Das Polarkoordinatensystem wurde so positioniert, dass sein Pol im Ursprung und seine Polarachse auf der \(x_{1}\)-Achse des kartesischen Koordinatensystems liegen.

Abb. 1.50
figure 50

Bewegung entlang einer ebenen Kurve

Ein beliebiger Punkt der ebenen Bahnkurve kann durch \(P\left( {x_{1} \,\left| {\,x_{2} } \right.} \right)\) in kartesischen Koordinaten oder durch \(P\left( {r\,\left| {\,\varphi } \right.} \right)\) in Polarkoordinaten beschrieben werden. Für den Ortsvektor erhalten wir aus Abb. 1.50

$$ \begin{aligned} & \overrightarrow {r} \left( {x_{1} ,\;x_{2} } \right) = \overrightarrow {{e_{1} }} \cdot x_{1} + \overrightarrow {{e_{2} }} \cdot x_{2} \;{\text{bzw}}. \\ & \overrightarrow {r} \left( {r,\;\varphi } \right) = \overrightarrow {{e_{1} }} \cdot r \cdot \cos \varphi + \overrightarrow {{e_{2} }} \cdot r \cdot \sin \varphi . \\ \end{aligned} $$
(1.217)

Bei Wahl von Polarkoordinaten für die generalisierten Koordinaten, d. h. für \(q_{1} = r\) und \(q_{2} = \varphi\), erhalten wir mit \(N = 1\) aus (1.133):

$$ Q_{2} = \overrightarrow {{F^{e} }} {\scriptstyle{\bullet}} \frac{{\partial \overrightarrow {r} }}{\partial \varphi } = \overrightarrow {{F^{e} }} {\scriptstyle{\bullet}} \left( { - \overrightarrow {{e_{1} }} \cdot r \cdot \sin \varphi + \overrightarrow {{e_{2} }} \cdot r \cdot \cos \varphi } \right) = \overrightarrow {{F^{e} }} {\scriptstyle{\bullet}} \left( { - \overrightarrow {{e_{1} }} \cdot x_{2} + \overrightarrow {{e_{2} }} \cdot x_{1} } \right), $$
(1.218)
$$ Q_{2} = - \left( {F^{e} } \right)_{1} \cdot x_{2} + \left( {F^{e} } \right)_{2} \cdot x_{1} . $$
(1.219)

Zur Interpretation der letztgenannten Gleichung ergänzen wir die kartesische Darstellung der vorkommenden Vektoren durch eine dritte Komponente, die wir null setzen. Durch Nachrechnen überzeugen wir uns von der Gültigkeit folgender Beziehung:

$$ \overrightarrow {r} \times \overrightarrow {{F^{e} }} = \left( {\begin{array}{*{20}c} {x_{1} } \\ {x_{2} } \\ 0 \\ \end{array} } \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}c} {\left( {F^{e} } \right)_{1} } \\ {\left( {F^{e} } \right)_{2} } \\ 0 \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 \\ 0 \\ {x_{1} \cdot \left( {F^{e} } \right)_{2} - x_{2} \cdot \left( {F^{e} } \right)_{1} } \\ \end{array} } \right). $$

Damit erhalten wir aus (1.219):

$$ Q_{2} = \left( {\overrightarrow {r} \times \overrightarrow {{F^{e} }} } \right)_{3} . $$

Die Korrektheit der eingangs genannten Behauptung ergibt sich durch Interpretation von \(Q_{2}\) als die dritte Komponente des Drehmoments der eingeprägten Kraft im Punkt P bezüglich der \(x_{3}\)-Achse als Drehachse.

Ergänzend bestimmen wir auch \(Q_{1}\):

$$ Q_{1} = \overrightarrow {{F^{e} }} {\scriptstyle{\bullet}} \frac{{\partial \overrightarrow {r} }}{\partial r} = \overrightarrow {{F^{e} }} {\scriptstyle{\bullet}} \left( {\overrightarrow {{e_{1} }} \cdot \cos \varphi + \overrightarrow {{e_{2} }} \cdot \sin \varphi } \right) = \frac{{\overrightarrow {{F^{e} }} {\scriptstyle{\bullet}} \overrightarrow {r} }}{r} = \overrightarrow {{F^{e} }} {\scriptstyle{\bullet}} \overrightarrow {{e_{r} }} . $$
(1.220)

Wir können \(Q_{1}\) interpretieren als Komponente der eingeprägten Kraft im Punkt P in Richtung des Einheitsvektors des Ortsvektors.

Am Rande weise ich darauf hin, dass (1.218) eine Mischform darstellt, da wir die Basisvektoren des kartesischen Koordinatensystems und die Koordinaten des Polarkoordinatensystems gemeinsam verwendet haben. Dagegen taucht in (1.220) ein natürlicher Basisvektor des Polarkoordinatensystems auf, der sich folgendermaßen ergibt:

$$ \overrightarrow {{e_{r} }} = \overrightarrow {{g_{r} }} = \overrightarrow {{e_{1} }} \cdot \cos \varphi + \overrightarrow {{e_{2} }} \cdot \sin \varphi = \frac{{\partial \left( {\overrightarrow {{e_{1} }} \cdot r \cdot \cos \varphi + \overrightarrow {{e_{2} }} \cdot r \cdot \sin \varphi } \right)}}{\partial r} = \frac{{\partial \overrightarrow {r} \left( {r,\;\varphi } \right)}}{\partial r}. $$

Analog erhalten wir den zweiten natürlichen Basisvektor des Polarkoordinatensystems:

$$ \begin{aligned}\overrightarrow {{g_{\varphi } }}& = \frac{{\partial \overrightarrow {r} \left( {r,\;\varphi } \right)}}{\partial \varphi } = \frac{{\partial \left( {\overrightarrow {{e_{1} }} \cdot r \cdot \cos \varphi + \overrightarrow {{e_{2} }} \cdot r \cdot \sin \varphi } \right)}}{\partial \varphi } \\ &= - \overrightarrow {{e_{1} }} \cdot r \cdot \sin \varphi + \overrightarrow {{e_{2} }} \cdot r \cdot \cos \varphi = r \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} { - \sin \varphi } \\ {\cos \varphi } \\ \end{array} } \right). \end{aligned}$$

Für die natürlichen Basisvektoren des Polarkoordinatensystems wurden neue Symbole eingeführt, da es sich bei \(\overrightarrow {{g_{\varphi } }}\) nur im Fall \(r = 1\) um einen Einheitsvektor handelt. In der Allgemeinen Relativitätstheorie werden lokale natürliche Basisvektoren verwendet, die sich als partielle Ableitungen der Koordinatenfunktionen für jeden Punkt des Raums ergeben (dabei existieren für unterschiedliche Punkte verschiedene natürliche Basisvektoren). Da wir an dieser Stelle nicht weiter mit natürlichen Basisvektoren arbeiten werden, können wir diese kleine Nebenbetrachtung beenden.

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Wagner, J. (2022). Bewegungen. In: Erste Schritte in die Theoretische Physik . Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-64251-1_1

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