Zusammenfassung
Bei Strömungen viskoser Fluide untersucht man die Auswirkungen von Prozessen mit Energiedissipation auf die Strömung. Aufgrund der inneren Reibung (\(=\) Viskosität) und der Wärmeleitfähigkeit wird die Strömung thermodynamisch irreversibel.
Die Navier-Stokes-Gleichungen treten dann an die Stelle der Euler’schen Gleichungen. Die dissipativen Effekte werden durch Viskositäts- und Zähigkeitskoeffizienten beschrieben, die im Allgemeinen Funktionen von Druck und Temperatur sind, jedoch oft näherungsweise konstant gesetzt werden können. Die Energiedissipation in einem Fluid bewirkt eine Abnahme der mechanischen Energie. Beispiel einer viskosen Strömung ist die stationäre Strömung einer inkompressiblen, zähen Flüssigkeit durch ein Rohr, bei der sich das Geschwindigkeitsprofil und die Durchflussmenge (Hagen-Poiseuille’sches Gesetz) aus den Grundgleichungen berechnen lassen. Ein wichtiges Kriterium für die Entstehung von Turbulenz liefert die Reynold’sche Zahl; bei kleinen Werten vereinfachen sich die Navier-Stokes’schen Gleichungen und die Stokes’sche Formel für den Strömungswiderstand kann abgeleitet werden. Die Strömung im Bereich des laminaren Nachlaufs lässt sich in der Oseen’schen Näherung der Grundgleichungen berechnen.
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Notes
- 1.
Die Gleichungen wurden von Claude-Louis Navier (*1785 Dijon, †1836 Paris) im Jahr 1822 aufgestellt und von George Gabriel Stokes (*1819 Skreen, County Sligo, †1903 Cambridge) im Jahr 1845 hergeleitet.
- 2.
Die Euler-Gleichungen könnten eine Randbedingung \(v_{\perp}=v_{\parallel}=0\) gar nicht erfüllen, weil die räumlichen Ableitungen dort von erster Ordnung sind. In den Navier-Stokes-Gleichungen sind sie wegen des Viskositätsterms von zweiter Ordnung.
- 3.
Das Gesetz haben Gotthilf H. L. Hagen (*1797 Königsberg, †1884 Berlin) und Jean L. M. Poiseuille (*1797 Paris, †1869 Paris) in den Jahren 1839 bzw. 1840 empirisch gefunden (\(Q\propto R^{4}\)). Die hier dargestellte Herleitung hat 1845 George G. Stokes gegeben.
- 4.
Entwickelt von Osbourne Reynolds (*1842 Belfast, †1912 Watchet) im Jahr 1883.
- 5.
Carl Wilhelm Oseen (*1879 Lund, †1944 Uppsala) war Direktor des Nobel-Instituts in Stockholm. Er fand die nach ihm benannte Gleichung im Jahr 1910.
- 6.
Theodore von Kármán (*1881 Budapest, †1963 Aachen) entwickelte diese Lösung 1921.
Literatur
Navier, C. L. M. H.: Mémoire sur les lois de movement des fluides. Mem. Acad. R. Sci. Paris 6, 389 (1823)
Stokes, G. G.: On the theories of the internal friction of fluids in motion. Trans. Camb. Phil. Soc. 8, 287 (1845)
http://de.wikipedia.org/wiki/Navier-Stokes-Gleichungen (2015)
Jackson, J.D.: Klassische Elektrodynamik. de Gruyter (2014). zweite Umschlagseite
Lamb, H.: Hydrodynamics. Cambridge University Press (1924)
von Kármán, T.: Über laminare und turbulente Reibung. Z. angew. Math. Mech. 1, 233 (1921)
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Wolschin, G. (2021). Viskose Fluide. In: Hydrodynamik. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-64144-6_3
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-64144-6_3
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Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
Print ISBN: 978-3-662-64143-9
Online ISBN: 978-3-662-64144-6
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