Gesamtschritt-, Einzelschritt- und Relaxationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme

Zusammenfassung

Bei der Lösung großer linearer und eventuell dünn besetzter Gleichungssysteme ist der Einsatz iterativer Verfahren effizienter als die Verwendung direkter Verfahren, zu denen z.B. der Gauß-Algorithmus gehört. Drei solcher Iterationsverfahren werden in diesem Kapitel vorgestellt: das Gesamtschritt-, das Einzelschritt- und die Relaxationsverfahren. Nach einigen allgemeinen Betrachtungen zu stationären Fixpunktiterationen werden für jedes der drei genannten Iterationsverfahren hinreichende Konvergenzkriterien hergeleitet, was auch die Frage der Konvergenzgeschwindigkeit einschließt. Hilfsmittel hierfür sind die Begriffe irreduzibel diagonaldominante Matrizen, konsistent geordnete Matrizen und M-Matrizen, die ebenfalls umfassend untersucht werden.