Grundbegriffe mehrdimensionaler Funktionen*

Zusammenfassung

Dieses Kapitel enthält eine Reihe grundlegender Begriffe für mehrdimensionale Funktionen und insbesondere für Funktionen mehrerer Veränderlicher, die beim Studium von Kap. 5 vorausgesetzt werden. Sofern du mit diesen Begriffen vertraut bist, hat dieses Kapitel nur wiederholenden Charakter. Andernfalls empfiehlt es sich, Kap. 6 vor Kap. 5 zu lesen oder zumindest zu überfliegen und bei Bedarf darauf zurückzugreifen.

Übungsaufgaben

A6.1

Wir betrachten den Raum $\mathbb{R}^{3}$ mit dem gewöhnlichen euklidischen Abstand, d. h., für ${\boldsymbol{x}}=(x_{1},x_{2},x_{3})$ und ${\boldsymbol{y}}=(y_{1},y_{2},y_{3})\in\mathbb{R}^{3}$ gilt

$$\begin{gathered}\displaystyle d({\boldsymbol{x}},{\boldsymbol{y}})=|{\boldsymbol{x}}-{\boldsymbol{y}}|=\sqrt{\sum_{i=1}^{3}(x_{i}-y_{i})^{2}}.\end{gathered}$$

Gegeben sind die Punkte ${\boldsymbol{a}}=(1,-1,2)$, ${\boldsymbol{b}}_{1}=(1,-1,3)$, ${\boldsymbol{b}}_{2}=(0,0,2)$, ${\boldsymbol{b}}_{3}=(1.1,-1.1,2.1)$ und ${\boldsymbol{b}}_{4}=(1.001,-1.001,2.001)$.

a) Wie groß sind die Abstände des Punkts ${\boldsymbol{a}}$ von den Punkten ${\boldsymbol{b}}_{i}$, $i=1,2,3,4$?

b) Welche der Punkte ${\boldsymbol{b}}_{i}$ liegen in der offenen Kugel $K_{r}({\boldsymbol{a}})=\big\{{\boldsymbol{x}}\in\mathbb{R}^{3}\big|\,|{\boldsymbol{x}}-{\boldsymbol{a}}|<r\big\}$ mit dem Radius $r=0.1$?

c) Gib zwei punktfremde Umgebungen der Punkte ${\boldsymbol{a}}$ und ${\boldsymbol{b}}_{4}$ an.

A6.2

a) Gib in den Räumen $\mathbb{R}$, $\mathbb{R}^{2}$ und $\mathbb{R}^{3}$ jeweils ein Beispiel für eine offene Teilmenge und ein Beispiel für eine abgeschlossene Teilmenge an.

b) Ist die Menge $[0,1[\,\subset\mathbb{R}$ offen? Ist sie abgeschlossen? Ist sie beschränkt? Ist sie kompakt? Warum (nicht)?

c) Gib eine Teilmenge $G\subset\mathbb{R}^{3}$ an, die weder offen noch abgeschlossen ist.

A6.3

Gegeben sind die folgenden beiden Kurven:

$$\begin{gathered}\displaystyle\begin{aligned}\displaystyle{\boldsymbol{x}}:\mathbb{R}&\displaystyle\rightarrow\mathbb{R}^{2}&\displaystyle&\displaystyle\text{mit}&\displaystyle t&\displaystyle\mapsto\left(2t,t^{2}-1\right)\\ \displaystyle{\boldsymbol{y}}:\mathbb{R}&\displaystyle\rightarrow\mathbb{R}^{2}&\displaystyle&\displaystyle\text{mit}&\displaystyle s&\displaystyle\mapsto\left(16s^{2},s-1\right).\end{aligned}\end{gathered}$$

a) Welcher Kurvenpunkt wird von ${\boldsymbol{x}}$ und ${\boldsymbol{y}}$ jeweils für den Parameterwert 1 angenommen?

b) Berechne die Lage der Schnittpunkte der Kurven ${\boldsymbol{x}}$ und ${\boldsymbol{y}}$. Wie lauten dort die Parameterwerte $t$ und $s$ der beiden Kurven?

c) Unter welchem Winkel schneiden sich die Kurven? Zur Beantwortung der Frage reicht es aus, den Cosinus des Schnittwinkels anzugeben.

A6.4

Wir betrachten die logarithmische Spirale

$$\begin{gathered}\displaystyle{\boldsymbol{x}}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{2}\quad\text{mit}\quad t\mapsto(x,y)=\left(\mathrm{e}^{t/2\pi}\cos t,\mathrm{e}^{t/2\pi}\sin t\right).\end{gathered}$$

a) Welche Punkte der $xy$-Ebene sind den Parameterwerten $t_{1}=0$ und $t_{2}=\pi$ zugeordnet? Wie lauten die Tangentenvektoren in diesen Punkten?

b) Skizziere den Verlauf der Spirale für $t\in[-2\pi,2\pi]$ und berechne ihre Länge für diesen Parameterbereich.

A6.5

Ein Satellit umkreise die Erde (Erdradius $R_{\mathrm{E}}=6370\,\mathrm{km}$) auf einer kreisförmigen Umlaufbahn in 1720 km Höhe und benötige für einen Umlauf 2 h. Seine Bahn befinde sich in der Äquatorebene.

a) Gib den Ort des Satelliten in Abhängigkeit von der Zeit an, d. h., ermittle seine Ortskurve ${\boldsymbol{x}}(t)$. Wähle dazu ein kartesisches Koordinatensystem mit Ursprung im Erdmittelpunkt, dessen $z$-Achse mit der Erdachse übereinstimmt, und nimm an, dass der Satellit zur Zeit $t=0$ die $x$-Achse passiert.

b) Wie schnell ist der Satellit auf seiner Bahn? Wie lautet sein Geschwindigkeitsvektor?

c) Ein zweiter Satellit befinde sich auf derselben Umlaufbahn und folge dem ersten Satelliten in einem zeitlichen Abstand von 10 min. Wie lautet die Ortskurve ${\boldsymbol{x}}_{2}(t)$ dieses zweiten Satelliten?

d) Beide Satelliten stehen über Funk miteinander in Verbindung (Lichtgeschwindigkeit $c=300\,000\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$). Wie groß ist die Laufzeit eines Signals von einem Satelliten zum anderen? (Gehe der Einfachheit halber davon aus, dass die Satelliten während der Signallaufzeit ihre Position nicht ändern. Verwende zur Ermittlung des Endergebnisses einen Taschenrechner.)

A6.6

Sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch? Begründe jeweils deine Antwort.

• (I) Da eine Kurve im $\mathbb{R}^{n}$ per Definition stetig ist, besitzt sie in jedem Punkt eine eindeutige Tangente.

• (II) Eine Kurve im $\mathbb{R}^{3}$ kann als ein zeitabhängiger Ortsvektor aufgefasst werden.

• (III) Im Schnittpunkt zweier Kurven müssen die Kurvenparameter denselben Wert besitzen.

• (IV) Besitzt eine Kurve im $\mathbb{R}^{n}$ einen singulären Punkt, so ist sie dort nicht differenzierbar.

• (V) Eine Kurve im $\mathbb{R}^{n}$ kann auch eine Gerade sein.

• (VI) Ein Kreis ist die einzige Kurve, die eine konstante Krümmung besitzt.

A6.7

Wir betrachten die Funktion

$$\begin{gathered}\displaystyle f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}\quad\text{mit}\quad f(x,y,z)=3z\exp\left(-\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)\sin(kx).\end{gathered}$$

a) Berechne die Funktionswerte $f(1,2,-3)$ und $f\left(\frac{\pi}{2k},0,1\right)$.

b) Bilde die folgenden partiellen Ableitungen:

$$\begin{gathered}\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x},\quad\frac{\partial f}{\partial y},\quad\frac{\partial f}{\partial z},\quad\frac{\partial^{2}f}{\partial x\,\partial z},\quad\frac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}},\quad\frac{\partial^{3}f}{\partial x\,\partial z^{2}}.\quad\end{gathered}$$

A6.8

Zeige, dass die Funktion $u$ mit

$$\begin{gathered}\displaystyle u(t,{\boldsymbol{x}})=u(t,x,y,z)=u_{0}\sin(\omega t-{\boldsymbol{k}}\cdot{\boldsymbol{x}}+\varphi_{0})\quad\text{und }{\boldsymbol{k}}=(k_{x},k_{y},k_{z})=\text{const.}\end{gathered}$$

eine Gleichung der Form

$$\begin{gathered}\displaystyle\Delta u=\left(\partial_{x}^{2}+\partial_{y}^{2}+\partial_{z}^{2}\right)u=a\,\partial_{t}^{2}u\end{gathered}$$

erfüllt. Welchen Wert hat die Konstante $a$?

A6.9

Gegeben ist die von den Ortskoordinaten abhängende Funktionsvorschrift

$$\begin{gathered}\displaystyle V({\boldsymbol{x}})=V(x,y,z)=\frac{c}{|{\boldsymbol{x}}|}\quad\text{mit }c=\text{const.}\end{gathered}$$

Berechne die folgenden aus partiellen Ableitungen gebildeten Ausdrücke:

a) den Vektor ${\boldsymbol{F}}=-{\boldsymbol{\nabla}}V=-\left(\partial_{x}V,\partial_{y}V,\partial_{z}V\right)$.

b) den Skalar $\varrho=\Delta V=\partial_{x}^{2}V+\partial_{y}^{2}V+\partial_{z}^{2}V$.

A6.10

Wir betrachten die Funktion

$$\begin{gathered}\displaystyle f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}\quad\text{mit}\quad f(x,y,z)=\sin(xy)\mathrm{e}^{1-z^{2}}\left(y^{2}+z^{2}\right).\end{gathered}$$

a) Berechne den Gradienten der Funktion an der Stelle ${\boldsymbol{x}}_{0}=(\frac{\pi}{6},1,-1)$.

b) Verwende das Ergebnis von Aufgabenteil a), um die lineare Näherung der Funktion $f$ um den Punkt ${\boldsymbol{x}}_{0}$ anzugeben.

c) Ermittle unter Verwendung eines Taschenrechners den Funktionswert von $f$ an der Stelle ${\boldsymbol{x}}_{0}+\Delta{\boldsymbol{x}}$ mit $\Delta{\boldsymbol{x}}=(0.1,0.1,0.1)$ und vergleiche ihn mit dem Wert, den die lineare Näherung für diese Stelle ergibt.

A6.11

Gegeben ist die Funktion

$$\begin{gathered}\displaystyle f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}\quad\text{mit}\quad f(x,y)=\frac{\mathrm{e}^{x+y}}{x^{2}+2}.\end{gathered}$$

a) In welcher Richtung steigt die Funktion $f$ im Punkt $(2,-1)$ am stärksten an? Welche maximale Steigung erreicht sie hier?

b) Wie groß ist die Steigung im Punkt $(2,-1)$ mit Blickrichtung auf den Ursprung der $xy$-Ebene?

A6.12

Wir betrachten die Funktion $f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$ mit

$$\begin{gathered}\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}-6x+2y+6.\end{gathered}$$

a) Wie lautet der Funktionswert von $f$ an der Stelle $(\frac{1}{2},\frac{1}{3})$?

b) Ermittle sämtliche stationären Punkte der Funktion $f$.

c) Besitzt die Funktion $f$ ein lokales Minimum oder Maximum? Wenn ja, wie groß ist der Funktionswert an dieser extremalen Stelle?

A6.13

Gegeben ist die Funktion $f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$ mit

$$\begin{gathered}\displaystyle f(x,y)=(4x^{2}+y^{2})\mathrm{e}^{-x^{2}-4y^{2}}.\end{gathered}$$

a) Bestimme die fünf stationären Punkte der Funktion $f$.

b) Ermittle die lokalen Extrema der Funktion $f$.

A6.14

Sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch? Begründe jeweils deine Antwort.

• (I) Die Funktion $f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$ mit $f(x,y)=(x^{2}+y^{2}-2)/2$ besitzt keine Nullstellen.

• (II) Besitzt eine Funktion keine stationären Punkte, so kann sie auch keine isolierten lokalen Extrema besitzen.

• (III) Die Hesse-Matrix einer Funktion $g:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}$ ist die Matrix der zweiten partiellen Ableitungen und besitzt $n$ Spalten.

• (IV) Die Funktion $h:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$ mit $h(x,y)=xy$ besitzt unendlich viele Nullstellen.

• (V) Die Funktion $h:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$ mit $h(x,y)=xy$ besitzt unendlich viele stationäre Punkte.

• (VI) Die Funktion $h:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$ mit $h(x,y)=xy$ besitzt im Punkt $(0,0)$ ein lokales Extremum.