Schwingungen

Zusammenfassung

Schwingungen spielen in der Natur und Technik eine große Rolle. Wir wollen in diesem Kapitel das Verhalten von schwingungsfähigen Systemen mit einem bzw. zwei Freiheitsgraden untersuchen. Dabei beschränken wir uns auf Systeme, bei denen die Bewegungsgleichungen lineare Differentialgleichungen sind. Damit können bereits viele wichtige Erscheinungen bei Schwingungen beschrieben werden. Die Studierenden sollen lernen, wie man sowohl freie als auch erzwungene Schwingungen ohne bzw. mit Dämpfung analysiert.

Zusammenfassung

• Differentialgleichung der harmonischen Schwingung:

  $$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle\ddot{x}+\omega^{2}\,x=0\quad\rightarrow\quad x=C\cos(\omega t-\alpha)\,,\\ \displaystyle&\displaystyle\omega=2\pi/T=2\pi\,f\quad\text{Kreisfrequenz.}\end{aligned}$$

• Ersatzfedersteifigkeit bei Parallel- bzw. Reihenschaltung:

  $$\begin{gathered}\displaystyle c^{*}=\sum c_{j}\quad\text{bzw.}\quad\frac{1}{c^{*}}=\sum\frac{1}{c_{j}}\,.\end{gathered}$$

• Schwach gedämpfte freie Schwingung:

  $$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle\ddot{x}+2\delta\,\dot{x}+\omega^{2}\,x=0\quad\rightarrow\quad x=C\,\mathrm{e}^{-\delta t}\cos(\omega_{d}\,t-\alpha)\,,\\ \displaystyle&\displaystyle\delta\quad\text{Abklingkoeffizient,}\qquad\omega_{d}=\omega\sqrt{1-D^{2}}\quad\text{Kreisfrequenz,}\\ \displaystyle&\displaystyle D=\delta/\omega\quad\text{Lehrsches D{\"a}mpfungsma{\ss}.}\end{aligned}$$

• Ungedämpfte erzwungene Schwingung:

  $$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle\ddot{x}+\omega^{2}\,x=\omega^{2}x_{0}\cos\Omega t\quad\rightarrow\quad x_{p}=x_{0}\,V\cos\Omega t\,,\\ \displaystyle&\displaystyle\Omega\quad\text{Erregerfrequenz,}\qquad V=\frac{1}{1-\eta^{2}}\quad\text{Vergr{\"o}{\ss}erungsfunktion,}\\ \displaystyle&\displaystyle\eta=\frac{\Omega}{\omega}\quad\text{Abstimmung,}\qquad\text{Resonanz:}\quad\Omega=\omega\,,\quad V\rightarrow\infty\,.\end{aligned}$$

• Bei einer gedämpften erzwungenen Schwingung hängt die Vergrößerungsfunktion $V$ von der Art der Erregung (z. B. Krafterregung, Unwuchterregung) ab.

  Die Phasenverschiebung $\varphi$ ist unabhängig von der Erregerart.

• Ein System mit zwei Freiheitsgraden besitzt zwei Eigenfrequenzen: $\omega_{1}$, $\omega_{2}$.

• Hauptschwingungen bei einem System mit zwei Freiheitsgraden: In der ersten Eigenform schwingen beide Massen mit $\omega_{1}$ gleichphasig, in der zweiten Eigenform mit $\omega_{2}$ gegenphasig (Ausnahme: entartete Systeme).

• Schwingungstilger: bei gegebener Masse $m_{2}$ und Steifigkeit $c_{2}$ des Tilgers erfolgt eine Schwingungstilgung für die Erregerfrequenz $\Omega_{T}=\sqrt{c_{2}/m_{2}}$.