Prinzipien der Mechanik

Zusammenfassung

Bisher haben wir zur Beschreibung der Bewegung von Körpern die Newtonschen Axiome angewendet. Ihnen gleichwertig sind andere Grundgesetze, die Prinzipien der Mechanik genannt werden. Häufig ist es vorteilhaft, anstelle der Newtonschen Gesetze diese Prinzipien bei der Aufstellung von Bewegungsgleichungen zu verwenden. Mit einigen von ihnen wollen wir uns in diesem Kapitel beschäftigen und lernen, wie man sie anwendet.

Zusammenfassung

• Mit den d’Alembertschen Trägheitskräften (Scheinkraft $\vec{F}_{T}=-m\,\vec{a}$, Scheinmoment $M_{TS}=-\Theta_{S}\,\ddot{\varphi}$) kann man die Bewegung durch die (dynamischen) Gleichgewichtsbedingungen beschreiben. Sie lauten zum Beispiel für die ebene Bewegung des starren Körpers

  $$\begin{gathered}\displaystyle F_{x}+F_{Tx}=0\,,\quad F_{y}+F_{Ty}=0\,,\quad M_{S}+M_{TS}=0\,.\end{gathered}$$

• Prinzip von d’Alembert: Ein Massenpunkt bzw. ein starrer Körper bewegt sich so, dass bei einer virtuellen Verrückung die Summe der virtuellen Arbeiten der eingeprägten Kräfte und der Trägheitskräfte verschwindet:

  $$\begin{gathered}\displaystyle\delta W+\delta W_{T}=0\,.\end{gathered}$$

  Beachte: Zwangskräfte (Reaktionskräfte) verrichten keine Arbeit!

• Die Bewegungsgleichungen eines Systems mit $f$ Freiheitsgraden lassen sich mit Hilfe der Lagrangeschen Gleichungen 2. Art aufstellen. Für konservative Systeme lauten sie

  $$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_{j}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_{j}}=0\,,\quad j=1,\ldots,f\,,\\ \displaystyle&\displaystyle L=E_{k}-E_{p}\quad\text{Lagrange Funktion,}\\ \displaystyle&\displaystyle q_{j}\quad\text{generalisierte Koordinaten.}\end{aligned}$$