Kinetik eines Systems von Massenpunkten

Zusammenfassung

Bisher haben wir uns nur mit der Bewegung eines einzelnen Massenpunktes befasst. Wir wollen nun die im 1. Kapitel hergeleiteten Begriffe und Gesetzmäßigkeiten wie zum Beispiel Impuls, Drehimpuls, Momentensatz, Energiesatz auf die Bewegung eines Systems von Massenpunkten erweitern. Die Studierenden sollen lernen, wie man die Bewegung solcher Systeme untersucht und wie man die Gesetzmäßigkeiten bei konkreten Aufgaben formuliert.

Zusammenfassung

• Die Bewegungen der einzelnen Massenpunkte kann man wie folgt ermitteln:

  • Aufstellen der Bewegungsgleichungen für jeden (freigeschnittenen) Massenpunkt $m_{i}$.

  • Formulierung der kinematischen Beziehungen (Bindungsgleichungen).

• Schwerpunktsatz:  $m\,\vec{a}_{s}=\vec{F}$,

  $$\begin{gathered}\displaystyle\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle\vec{a}_{s}&\displaystyle&\displaystyle\text{Beschleunigung des Schwerpunkts des Systems,}\\ \displaystyle&\displaystyle\vec{F}&\displaystyle&\displaystyle\text{Summe der am System angreifenden {\"a}u{\ss}eren Kr{\"a}fte.}\end{aligned}\end{gathered}$$

• Impulserhaltungssatz:  $\vec{p}=m\,\vec{v}_{s}=\sum_{i}m_{i}\vec{v}_{i}=\text{const}$,

  $$\begin{gathered}\displaystyle\vec{v}_{s}\quad\text{Geschwindigkeit des Schwerpunkts des Systems.}\end{gathered}$$

  Beachte: es wirken keine äußeren Kräfte auf das System.

• Drehimpulssatz:  $\dot{\vec{L}}^{(0)}=\vec{M}^{(0)}$,

  $$\begin{gathered}\displaystyle\vec{L}^{(0)}=\sum_{i}(\vec{r}_{i}\times m_{i}\,\vec{v}_{i})\quad\text{Drehimpuls bez{\"u}glich 0.}\end{gathered}$$

• Arbeitssatz:  $E_{k}-E_{k0}=W^{(a)}+W^{(i)}$,

  $$\begin{gathered}\displaystyle\text{bei starren Bindungen gilt}\quad W^{(i)}=0\,.\end{gathered}$$

• Energiesatz:  $E_{k}+E_{p}^{(a)}+E_{p}^{(i)}=\text{const}$,

  $$\begin{gathered}\displaystyle\text{bei starren Bindungen gilt}\quad E_{k}+E_{p}^{(a)}=\text{const}.\end{gathered}$$

• Stoßvorgänge können wie folgt behandelt werden:

  • Festlegung des Koordinatensytems durch Stoßnormale ($x$) und Tangente ($y$).

  • Aufstellen der Impulssätze für jeden Massenpunkt.

  • Anwendung der Stoßbedingung $e=-\frac{\bar{v}_{1x}-\bar{v}_{2x}}{v_{1x}-v_{2x}}$.

• Bewegungsgesetz bei veränderlicher Masse:  $m\,\vec{a}=\vec{F}+\vec{S}$,

  $$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle\vec{S}=-\mu\,\vec{w}=\dot{m}\,\vec{w}\quad\text{Schubkraft,}\\ \displaystyle&\displaystyle\vec{w}\quad\text{Aussto{\ss}geschwindigkeit.}\end{aligned}$$