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Reale feste und flüssige Körper

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Experimentalphysik 1

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Zusammenfassung

In diesem Kapitel beginnen wir mit der Beschreibung realer fester und flüssigen Körper. Die Frage, unter welchen Bedingungen die verschiedenen Phasen: fest, flüssig und gasförmig eingenommen werden, wird hier beantwortet. Die Verformung fester Körper und die Phänomene im flüssigen Zustand, wie Auftrieb, Schwimmen, Oberflächen-Spannung und Kapillarität werden diskutiert. Der letzte Abschnitt behandelt das für viel Bereiche der Technik wichtige Gebiet der Reibung und ihrer Verminderung.

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Correspondence to Wolfgang Demtröder .

Appendices

Zusammenfassung

  • Elastische Körper setzen einer Verformung Rückstellkräfte entgegen, die bei genügend kleinen Verformungen proportional zur Auslenkung aus der Ruhelage sind.

  • Für eine relative Längenänderung \(\varepsilon=\Updelta L/L\) eines Körpers der Länge \(L\) mit Querschnitt \(A\) und Elastizitätsmodul \(E\) braucht man die Zugspannung \(\sigma=F/A=E\cdot\varepsilon\) (Hooke’sches Gesetz).

  • Bei der Längenänderung \(\Updelta L\) tritt auch eine Querschnittsänderung \(\Updelta A\) auf. Die relative Volumenänderung eines Körpers

    $$\frac{\Updelta V}{V}=\frac{\sigma}{E}(1-2\mu)$$

    mit Länge \(L\) und quadratischem Querschnitt \(A=d^{2}\) wird durch Elastizitätsmodul \(E\) und Querkontraktionszahl \(\mu=-(\Updelta d/d)/(\Updelta L/L)\) bestimmt.

  • Unter allseitigem Druck \(p\) wird die relative Volumenänderung eines Körpers \(\Updelta V/V=-\kappa\cdot p\) durch die Kompressibilität \(\kappa\) gegeben. Es gilt die Relation \(\kappa=3/E(1-2\mu)\).

  • Eine tangential an der Seitenfläche eines Körpers angreifende Kraft \(F\) bewirkt eine Scherung (Torsion) des Körpers. Für einen Quader mit Seitenfläche \(d^{2}\) ist der Scherwinkel \(\alpha\) mit der Schubspannung \(\tau=F/d^{2}\) durch \(\tau=G\cdot\alpha\) verknüpft. \(G\) heißt Schubmodul.

  • Ein Balken der freien Länge \(L\), Querschnittshöhe \(d\) und Breite \(b\), der einseitig eingespannt ist, biegt sich am freien Ende, an dem die Kraft \(F\) nach unten wirkt, um die Strecke

    $$s=\frac{4L^{3}}{Ed^{3}b}F\;.$$
  • Wird der lineare Bereich des Hooke’schen Gesetzes überschritten, so treten plastische Verformungen auf. Bei periodisch wirkender Zugspannung \(\sigma\) wird im Diagramm \(\sigma(\varepsilon)\) eine geschlossene Hysteresekurve durchlaufen, deren umschlossene Fläche die bei der Verformung pro Zyklus in Wärme umgewandelte Energie angibt.

  • Im Inneren einer Flüssigkeit herrscht in gleicher Höhe überall der gleiche Druck. Infolge des Schweredrucks steigt der Druck linear mit der Flüssigkeitstiefe. In der Tiefe \(h\) unterhalb der horizontalen Oberfläche einer Flüssigkeit mit der Dichte \(\varrho\) herrscht der Druck \(p=p_{0}+\varrho\cdot g\cdot h\), wenn \(p_{0}\) der auf die Oberfläche wirkende äußere Druck (z. B. Luftdruck) ist.

  • Jeder Körper der Masse \(m\) in einer Flüssigkeit erfährt eine Auftriebskraft \(\boldsymbol{F}_{\text{A}}\) die entgegengesetzt gleich zur Gewichtskraft \(\boldsymbol{F}_{\text{G}}\) des vom Körper verdrängten Flüssigkeitsvolumens ist. Ist \(|\boldsymbol{F}_{\text{A}}|> m\cdot g\), so schwimmt der Körper, ist \(F_{\text{A}}=mg\), so schwebt er in der Flüssigkeit.

  • Auf Grund der Anziehungskräfte zwischen den Flüssigkeitsmolekülen muss man Arbeit aufwenden, um die Flüssigkeitsoberfläche zu vergrößern. Die spezifische Oberflächenenergie gibt die Arbeit pro Flächenvergrößerung an. Sie ist gleich der Oberflächenspannung.

  • Die Form der Oberfläche einer Flüssigkeit in einem Gefäß hängt ab von der Differenz der verschiedenen Oberflächenspannungen \(\sigma_{\text{fl{\"u}ssig--fest}}\), \(\sigma_{\text{fl{\"u}ssig--Gas}}\) und \(\sigma_{\text{Gas--fest}}\), sowie von der Schwerkraft. Die Oberfläche stellt sich so ein, dass die Gesamtenergie minimal wird.

  • Auf Grund der verschiedenen Oberflächenspannungen kann eine Flüssigkeit in einer Kapillare hochsteigen (benetzende Flüssigkeit) oder absinken (nicht benetzende Flüssigkeit).

  • Bei der Relativbewegung sich berührender Körper treten Reibungskräfte auf, die von der physikalischen Beschaffenheit der sich berührenden Oberflächen abhängt. Man unterscheidet zwischen Haftreibung, Gleitreibung und Rollreibung. Im Allgemeinen gilt für die entsprechenden Reibungskräfte \(|F_{\text{H}}|> |F_{\text{G}}|> |F_{\text{R}}|\).

  • Die Erde ist ein deformierbarer Körper, der durch die Gravitationskräfte von Mond und Sonne periodisch verformt wird (Gezeiten). Der nicht elastische Anteil dieser Verformung führt zur langsamen Abnahme der Rotationsenergie der Erde und zu einer Zunahme des Abstandes Erde–Mond.

Aufgaben

6.1

Welche Längenänderung erfährt ein Stahlseil der Länge \(L=9\,\mathrm{km}\), wenn es

  1. a)

    in einem senkrechten Schacht hängt?

  2. b)

    im Meer abgesenkt wird? Elastizitätsmodul \(E=2\cdot 10^{11}\,\mathrm{N/m^{2}}\), Dichten \(\varrho_{\text{St}}=7{,}7\cdot 10^{3}\,\mathrm{kg/m^{3}}\), \(\varrho_{\text{W}}=1{,}03\cdot 10^{3}\,\mathrm{kg/m^{3}}\)

  3. c)

    Wie lang darf das Seil im Schacht sein, damit es nicht reißt (siehe Abb. 6.65 und den Link zum Video)?

Abb. 6.65
figure 65

Besprechung von Aufgabe 6.1, Seildehnung (https://doi.org/10.1007/000-299)

6.2

Ein Stahlträger wird an einem Ende fest eingespannt und am anderen Ende im Abstand \(L=10\,\mathrm{m}\) durch die Kraft \(\boldsymbol{F}\) in \(z\)-Richtung belastet. Wie groß ist die Durchbiegung des freien Endes (Biegepfeil) für \(F=10^{3}\,\mathrm{N}\)?

  1. a)

    bei rechteckigem Querschnitt \(\Updelta z=d=0{,}1\,\mathrm{m}\), \(\Updelta y=b=d/2\)?

  2. b)

    bei einem Doppel-T-Profil nach Abb. 6.15 mit \(b_{1}=d_{1}=0{,}1\,\mathrm{m}\), \(b_{2}=d_{2}=0{,}05\,\mathrm{m}\)?

6.3

Der Tiefseetaucher Picard tauchte im Phillipinen-Graben in einer Stahlkugel von 3 m Außendurchmesser auf eine Meerestiefe von \(10\,000\,\mathrm{m}\) ab. Wie groß sind Druck und Gesamtkraft auf die Kugel? Um welchen Bruchteil ihres Volumens wird eine Stahlkugel aufgrund der Kompression kleiner,

  1. a)

    für eine Vollkugel,

  2. b)

    für eine Hohlkugel mit der Wandstärke 0,2 m?

6.4

Eine Turbine treibt über eine Stahlwelle mit Durchmesser \(D\) und Länge \(L\) einen Generator an. Um welchen Winkel \(\varphi\) verdrehen sich die Endflächen gegeneinander, wenn bei der Drehfrequenz \(\omega=2\pi\cdot 25\,\mathrm{s^{-1}}\) eine Leistung \(P=300\,\mathrm{kW}\) übertragen werden soll?

  1. a)

    Stahlwelle als Vollzylinder mit \(D=10\,\mathrm{cm}\), \(L=20\,\mathrm{m}\)

  2. b)

    als Hohlzylinder mit \(D_{\mathrm{i}}=5\,\mathrm{cm}\), \(D_{\text{a}}=10\,\mathrm{cm}\).

6.5

Wie groß ist die Dichte des Wassers in Aufg. 6.3, wenn die Kompressibilität von Wasser \(\kappa=\) \(4{,}8\cdot 10^{-10}\,\mathrm{m^{2}/N}\) beträgt?

6.6

Ein oben offener Hohlwürfel aus Stahl \((\varrho_{\text{St}}=7{,}8\cdot 10^{3}\,\mathrm{kg/m^{3}})\) mit Kantenlänge 1 m und Wandstärke \(d=2\) cm schwimmt im Wasser.

  1. a)

    Wie tief taucht er ein?

  2. b)

    Wo liegen Schwerpunkt und Metazentrum?

  3. c)

    Bis zu welchem Winkel gegen die Horizontale kann man ihn verkippen, bis er instabil wird?

6.7

Wie groß ist die Arbeit, die man aufwenden muss, um einen Vollwürfel aus Stahl mit der Kantenlänge \(a=0{,}4\,\mathrm{m}\) vom Boden eines Schwimmbades mit der Wassertiefe von 4 m anzuheben bis in eine Höhe, bei der die Unterseite gerade an der Wasseroberfläche ist?

6.8

Welche Kraft war bei dem Schauversuch von Guericke in Magdeburg notwendig, um die beiden Halbkugeln zu trennen, wenn ihr Durchmesser 60 cm war und die Druckdifferenz zwischen außen und innen \(\Updelta p=90\) kPa? Guericke hatte dazu 16 Pferde eingesetzt. Wie hätte man vorgehen müssen, um auch mit 8 Pferden auszukommen?

6.9

Um festzustellen, ob ein Goldbarren wirklich aus reinem Gold ist \((\varrho_{\text{G}}=19{,}3\,\mathrm{kg/dm^{3}})\), misst ein Goldschmied sein Gewicht in Luft und beim völligen Eintauchen in Wasser. Welches Verhältnis der beiden Messwerte muss sich ergeben

  1. a)

    bei reinem Gold?

  2. b)

    bei einer 20 %igen Beimischung von Kupfer \((\varrho_{\text{Cu}}=8{,}9\,\mathrm{kg/dm^{3}})\)?

  3. c)

    Wie groß muss die Messgenauigkeit sein, um noch eine Beimischung von 1 % zu bestimmen?

6.10

Ein runder Stab aus Holz \((L=1\,\mathrm{m},d=0{,}2\,\mathrm{m},\varrho=525\,\mathrm{kg/m^{3}})\) schwimmt in Wasser. Wie tief taucht er ein

  1. a)

    bei horizontaler Schwimmlage?

  2. b)

    wenn an einem Ende des Stabes eine Stahlkugel mit \(m=1\,\mathrm{kg}\) befestigt wird, sodass er vertikal steht?

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Demtröder, W. (2021). Reale feste und flüssige Körper. In: Experimentalphysik 1. Springer-Lehrbuch. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-62728-0_6

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