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Systeme von Massenpunkten. Stöße

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Experimentalphysik 1

Part of the book series: Springer-Lehrbuch ((SLB))

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Zusammenfassung

Hier wird das für Physik und Chemie wichtige Gebiet der elastischen, unelastischen und reaktiven Stöße zwischen Teilchen behandelt und deren Bedeutung für die Bestimmung der Wechselwirkung zwischen den Teilchen. Die Begriffe: Labor-System und Schwerpunkt-System werden erläutert und das für die Hochenergiephysik wichtige Problem der relativistischen Stöße wird kurz angeschnitten. Zum Schluss werden die verallgemeinerten Erhaltungssätze und ihre Herleitung aus Symmetrie-Prinzipien vorgestellt.

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Literatur

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Correspondence to Wolfgang Demtröder .

Appendices

Zusammenfassung

  • Der Massenschwerpunkt eines Systems von \(n\) Massenpunkten \(m_{i}\) mit Ortsvektoren \(\boldsymbol{r}_{i}\) hat den Ortsvektor

    $$\boldsymbol{r}_{\text{S}}=\frac{1}{\sum m_{i}}\sum m_{i}\boldsymbol{r}_{i}=\frac{1}{M}\sum m_{i}\boldsymbol{r}_{i}\;.$$
  • Das Koordinatensystem, dessen Nullpunkt im Schwerpunkt ruht, heißt Schwerpunktsystem.

  • Die Summe aller Impulse \(m_{i}\cdot\boldsymbol{v}_{i\text{S}}\) der Massen \(m_{i}\) im Schwerpunktsystem ist immer Null.

  • Die reduzierte Masse eines Systems von zwei Massen \(m_{i}\) ist

    $$\mu=\frac{m_{1}\cdot m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\;.$$
  • Die Relativbewegung zweier Teilchen unter dem Einfluss ihrer gegenseitigen Wechselwirkung \(\boldsymbol{F}_{12}=-\boldsymbol{F}_{21}\) kann reduziert werden auf die Bewegung eines Teilchens der reduzierten Masse \(\mu\), das sich mit der Relativgeschwindigkeit \(\boldsymbol{v}_{12}=\boldsymbol{v}_{1}-\boldsymbol{v}_{2}\) bewegt.

  • Ein System aus Massen \(m_{i}\), bei dem nur innere Wechselwirkungen, aber keine äußeren Kräfte auftreten, heißt abgeschlossen. Der Gesamtimpuls und Gesamtdrehimpuls eines abgeschlossenen Systems bleibt erhalten. (Impuls- bzw. Drehimpuls-Erhaltungssatz).

  • Bei elastischen Stößen zwischen zwei Teilchen bleiben Gesamtimpuls und kinetische Gesamtenergie der Stoßpartner erhalten. Bei inelastischen Stößen wird ein Teil der kinetischen Energie in innere Energie (z. B. potentielle Energie) der Stoßpartner umgewandelt. Der Gesamtimpuls bleibt jedoch auch hier erhalten.

  • Während bei elastischen Stößen sich im Laborsystem (bei Erhaltung der Gesamtenergie) die kinetische Energie jedes einzelnen Stoßpartners ändert, bleibt sie im Schwerpunktsystem erhalten.

  • Bei inelastischen Stößen kann höchstens die Energie \(\frac{1}{2}\mu v_{12}^{2}\) der Relativbewegung in innere Energie umgewandelt werden. Mindestens der Anteil \(\frac{1}{2}Mv_{\text{S}}^{2}\) der Schwerpunktsbewegung bleibt als kinetische Energie der Stoßpartner erhalten.

  • Die Untersuchung von elastischen Stoßprozessen gibt Informationen über die Wechselwirkungskräfte und damit das Wechselwirkungspotential zwischen den Stoßpartnern. Gemessen wird die Winkelverteilung der Stoßpartner nach dem Stoß bei bekannter Relativgeschwindigkeit vor dem Stoß.

  • Der Zweikörperstoß zwischen zwei Massen \(m_{1}\), \(m_{2}\) wird im Schwerpunktsystem zurückgeführt auf die Streuung eines Teilchens der Masse

    $$\mu=\frac{m_{1}\cdot m_{2}}{(m_{1}+m_{2})}$$

    an einem festen Target (unendliche Masse) im Schwerpunkt. Der Ablenkwinkel im Schwerpunktsystem hängt ab von Stoßparameter \(b\), reduzierter Masse \(\mu\), der kinetischen Anfangsenergie \(E_{\text{kin}}=\tfrac{1}{2}\mu v_{0}^{2}\) und dem Abstandsverlauf des Wechselwirkungspotentials \(V(r)\).

  • Bei Stößen mit relativistischen Geschwindigkeiten \(v\) muss die Zunahme der Masse mit \(v\) berücksichtigt werden. Dann gelten auch hier Energie- und Impulserhaltungssatz, wenn die Massenenergie \(E=mc^{2}\) einbezogen wird.

  • Die Erhaltungssätze für Impuls, Energie und Drehimpuls können auf allgemeine Symmetrie-Prinzipien zurückgeführt werden, nämlich auf die Homogenität des Raumes, die Homogenität der Zeit und die Isotropie des Raumes.

Aufgaben

4.1

Zwei Teilchen mit den Massen \(m_{1}=m\) und \(m_{2}=3m\) stoßen zentral zusammen. Wie groß sind ihre Geschwindigkeiten \(v_{1}^{\prime}\) und \(v_{2}^{\prime}\)

  1. a)

    nach einem vollkommen elastischen,

  2. b)

    nach einem vollkommen inelastischen Stoß, wenn beide Teilchen vor dem Stoß eine entgegengesetzt gleiche Geschwindigkeit \(v_{1}=-v_{2}=v\) hatten (siehe Abb. 4.34 und den Link zur Lösung)?

Abb. 4.34
figure 34

Besprechung von Aufgabe 4.1, Impulserhaltung (https://doi.org/10.1007/000-297)

4.2

An einem Faden der Länge \(L=1\,\mathrm{{m}}\) hängt ein Holzklotz mit der Masse \(m_{1}=1\,\mathrm{kg}\). Eine Kugel \((m_{2}=20\,\mathrm{g})\) wird mit der Geschwindigkeit \(v=100\,\mathrm{m/s}\) in den Klotz geschossen und bleibt dort stecken. Wie groß ist der maximale Auslenkwinkel des Klotzes?

4.3

Ein Proton bewegt sich mit der Geschwindigkeit \(\boldsymbol{v}_{1}\) und stößt völlig elastisch mit einem ruhenden Deuteron (\(=\) Kern aus Proton \(+\) Neutron) zusammen. Nach dem Stoß fliegt das Deuteron unter einem Winkel von \(45^{\circ}\) gegen \(\boldsymbol{v}_{1}\). Bestimmen Sie

  1. a)

    den Ablenkwinkel \(\theta_{1}\) des Protons,

  2. b)

    die Geschwindigkeit des Schwerpunktes,

  3. c)

    die Endgeschwindigkeiten \(\boldsymbol{v}_{1}^{\prime}\) und \(\boldsymbol{v}_{2}^{\prime}\) von Proton und Deuteron.

4.4

Ein Teilchen der Masse \(m_{1}=2\,\mathrm{kg}\) hat die Geschwindigkeit \(\boldsymbol{v}_{1}=(3\hat{\boldsymbol{e}}_{x}+2\hat{\boldsymbol{e}}_{y}-\hat{\boldsymbol{e}}_{z})\,\mathrm{m/s}\) und stößt vollkommen inelastisch mit einem Teilchen der Masse \(m_{2}=3\,\mathrm{kg}\) zusammen, dessen Geschwindigkeit \(\boldsymbol{v}_{2}=(-2\hat{\boldsymbol{e}}_{x}+2\hat{\boldsymbol{e}}_{y}+4\hat{\boldsymbol{e}}_{z})\,\mathrm{m/s}\) war. Wie groß sind

  1. a)

    die kinetischen Energien der beiden Teilchen vor dem Stoß im Labor- und Schwerpunktsystem?

  2. b)

    Geschwindigkeit und kinetische Energie des zusammengesetzten Teilchens \(m_{1}+m_{2}\)?

  3. c)

    Welcher Bruchteil der Anfangsenergie ist in innere Energie umgewandelt worden? Geben Sie diesen Bruchteil im Schwerpunkt- und im Laborsystem an.

4.5

Eine Masse \(m_{1}=1\,\mathrm{kg}\) mit der Geschwindigkeit \(v_{1}=4\,\mathrm{m/s}\) stößt mit einer Masse \(m_{2}=2\,\mathrm{kg}\) zusammen. Nach dem Stoß bewegt sich \(m_{1}\) mit \(v_{1}^{\prime}=2\sqrt{2}\mathrm{m/s}\) unter einem Winkel von \(45^{\circ}\) gegen \(\boldsymbol{v}_{1},\ m_{2}\) mit \(\boldsymbol{v}_{2}^{\prime}=1\cdot\sqrt{2}\mathrm{m/s}\) unter \(\theta_{2}=-45^{\circ}\) gegen \(\boldsymbol{v}_{1}.\)

  1. a)

    Wie groß ist \(\boldsymbol{v}_{2}\)?

  2. b)

    Wie groß ist der Bruchteil der Anfangsenergie im Schwerpunkt- und im Laborsystem, der in innere Energie umgewandelt wurde?

  3. c)

    Wie sehen die Ablenkwinkel \(\vartheta_{1}\) und \(\vartheta_{2}\) im Schwerpunktsystem aus?

4.6

Zwei Quader mit den Massen \(m_{1}\) und \(m_{2}\) \((m_{1}=1\,\mathrm{kg}> m_{2})\) gleiten reibungsfrei auf einer Luftkissenbahn, die an beiden Enden durch eine senkrechte Barriere abgeschlossen ist. Anfangs möge \(m_{1}\) ruhen und \(m_{2}\) mit konstanter Geschwindigkeit \(v_{2}=0{,}5\,\mathrm{m/s}\) nach links gleiten (Abb. 4.35). Nach dem Stoß mit \(m_{1}\) wird \(m_{2}\) nach rechts reflektiert, stößt gegen die Barriere \((m_{3}=\infty)\) und gleitet wieder nach links. Alle Stöße sollen völlig elastisch verlaufen.

  1. a)

    Wie groß muss das Verhältnis \(m_{1}/m_{2}\) sein, damit beide Massen schließlich mit gleicher Geschwindigkeit nach links gleiten?

  2. b)

    Wie groß muss \(m_{2}\) sein, damit \(m_{1}\) noch vor der linken Barriere von \(m_{2}\) eingeholt wird? (Die Ausdehnung der Quader soll vernachlässigt werden.)

  3. c)

    Wo treffen sich \(m_{1}\) und \(m_{2}\) bei ihrem zweiten Stoß für \(m_{2}=0{,}5\,\mathrm{kg}\)?

Abb. 4.35
figure 35

Zu Aufgabe 6

4.7

Eine Stahlkugel der Masse \(m_{1}=1\,\mathrm{kg}\) hängt an einem 1 m langen Faden direkt über der linken Kante einer ruhenden Masse \(m_{2}=5\ \mathrm{kg}\), die reibungsfrei auf einer Luftkissenbahn gleiten kann. Die Kugel wird um \(\varphi=90^{\circ}\) ausgelenkt (Abb. 4.36) und dann fallen gelassen. Sie stößt elastisch mit \(m_{2}\) zusammen. Welchen maximalen Winkel \(\varphi^{\prime}\) erreicht \(m_{1}\) nach dem Stoß?

Abb. 4.36
figure 36

Zu Aufgabe 7

4.8

Ein Aufzug steigt mit konstanter Geschwindigkeit \(v=2\,\mathrm{m/s}\). Wenn seine Decke noch 30 m vom oberen Punkt \(A\) des Aufzugsschachtes entfernt ist, wird von einem Punkt \(B\) 10 m unterhalb \(A\) aus ein Ball fallen gelassen, der elastisch auf die Aufzugsdecke trifft und dort wieder nach oben reflektiert wird.

  1. a)

    Wo trifft er die Aufzugsdecke?

  2. b)

    Wie hoch steigt er danach wieder?

  3. c)

    Wo trifft er die Aufzugsdecke ein zweites Mal?

4.9

Ein \(\alpha\)-Teilchen (He-Kern) stößt mit der Geschwindigkeit \(\boldsymbol{v}_{1}\) elastisch auf einen ruhenden Sauerstoffkern \((m_{2}=4m_{1})\). Das \(\alpha\)-Teilchen wird um \(64^{\circ}\) abgelenkt, der Sauerstoffkern um \(-51^{\circ}\) gegen \(\boldsymbol{v}_{1}\).

  1. a)

    Wie groß ist das Geschwindigkeitsverhältnis der beiden Teilchen nach dem Stoß?

  2. b)

    Wie teilen sich ihre kinetischen Energien auf?

4.10

Ein Teilchen hat in einem Bezugssystem \(S\) die Gesamtenergie \(6\,\mathrm{G}e{\mskip-2.0mu}V\) und den Impuls \(4\,\mathrm{G}e{\mskip-2.0mu}V/c\). Wie groß ist seine Energie in einem System \(S^{\prime}\), in dem sein Impuls zu \(5\,\mathrm{G}e{\mskip-2.0mu}V/c\) gemessen wird? Wie groß ist die Relativgeschwindigkeit von \(S^{\prime}\) gegen \(S\)?

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Demtröder, W. (2021). Systeme von Massenpunkten. Stöße. In: Experimentalphysik 1. Springer-Lehrbuch. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-62728-0_4

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