Systeme von Differenzialgleichungen

Zusammenfassung

Komplexere dynamische Systeme, wie in Serie geschaltete Schwingkreise oder Federsysteme, führen zu gekoppelten Differenzialgleichungen. Lineare, gekoppelte Differenzialgleichungen können mit der Methode von Duhamel zusammen mit der Matrix-Exponentialfunktion gelöst werden. Um die Matrix-Exponentialfunktion zu definieren, benötigt man Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizes. Mit den Eigenwerten kann zudem beurteilt werden, ob dynamische Systeme stabil oder instabil sind.

Ein gekoppeltes System mit zwei Tanks

Aufgaben

7.1

Gegeben sind zwei Tanks mit Volumen von je 100 L (siehe Abb. 7.9) Der erste Tank ist mit einer Salzlösung mit einer Konzentration von 0, 1 kg/L gefüllt. In diesen Tank fließt Wasser mit einer Rate von 2 L/min ein. Die entstehende fließt anschließend mit einer Rate von 2 L/min in den zweiten Tank, der mit 100 L Wasser gefüllt ist. Die Mischung im zweiten Tank wird verrührt und fließt über ein Rohr mit einer Rate von 2 L/min ab.

Abb. 7.9

Ausspülen eines ersten Tanks über einen zweiten Tank

• (a) Wie lautet das Cauchyproblem für die beiden Salzmengen $S_1=S_1(t)$ und $S_2=S_2(t)$ in den beiden Tanks? Sie erhalten ein gekoppeltes System 1. Ordnung. Überprüfen Sie die physikalischen Einheiten in den beiden Gleichungen.

• (b) Sind die Gleichungen aus (a) linear? Wenn ja, wie lautet die Systemmatrix?

• (c) Wie lautet das AWP für die Salzmengen $S_1=S_1(t)$, $S_2=S_2(t)$ und $S_3=S_3(t)$, wenn Sie noch einen dritten Tank mit 200 L Wasser in Serie schalten? Bestimmen Sie die Systemmatrix.

7.2

Die Abb. 7.10 zeigt ein System von drei Behältern, die mit Salzlösungen gefüllt sind. Dargestellt sind die Ein- und Ausflussraten. Die in die Behälter A und B einfließenden Salzkonzentrationen sind die Eingangsgrößen $x_1=c_A(t)$ und $x_2=c_B(t)$. Zum Zeitpunkt $t=0$ s befinden sich in den drei Tanks 1000 L Flüssigkeit. Der Behälter A hat zum Zeitpunkt $t=0$ s eine Salzmenge von 500 kg. Die Behälter B und C sind mit salzlosem Wasser gefüllt.

Abb. 7.10

Ein komplexes System von Behältern

• (a) Wie lautet das Cauchyproblem, das die Salzmengen $S_A=S_A(t)$, $S_B= S_B(t)$ und $S_C= S_C(t)$ modelliert? Überprüfen Sie die physikalischen Einheiten beim System.

• (b) Das Differenzialgleichungssystem ist linear. Schreiben Sie das System deshalb in Matrixform. Wie lautet die Systemmatrix A? Wie lautet der Störvektor?

7.3

Abb. 7.11 zeigt drei Räume, die aneinander gereiht sind. Im Raum A befindet sich eine Heizung, die die Temperatur des Raumes mit einer Rate von $5\,^\circ$C/h erhöht. Im Raum C ist eine Heizung, die die Temperatur des Raumes mit einer Rate von $3\,^\circ$C/h erhöht. Die Außentemperatur beträgt konstant $5\,^\circ$C. Wegen schwacher Isolation fließen Wärmemengen vom Raum A zu Raum B, vom Raum B zu Raum C und von den Räumen zur Außenumgebung. In der Skizze sind jeweils die Isolationskonstanten angegeben. Die Antwort des Systems auf die beiden Heizungen und die Außentemperatur sind die Temperaturen $T_A=T_A(t)$, $T_B=T_B(t)$ und $T_C=T_C(t)$ in den drei Räumen. Die Anfangstemperaturen seien $T_A(0\,\text {h})=T_C(0\,\text {h})= 16\,^\circ$C und $T_B(0\,\text {h})= 14\,^\circ$C.

Abb. 7.11

Drei aneinandergereihte Räume mit zwei Heizungen

• (a) Wie lautet das Differenzialgleichungssystem für die Temperaturen $T_A=T_A(t)$, $T_B=T_B(t)$ und $T_C=T_C(t)$, wenn Sie das Wärmegesetz von Fourier benutzen?

• (b) Schreiben Sie das System in Matrixform. Wie lauten die Systemmatrix und der Störvektor?

7.4

Gegeben ist ein dynamisches System 2. Ordnung für eine Antwort $y=y(t)$ mit der Eingangsgröße $x=x(t)$ durch die lineare Differenzialgleichung

$$ 4\cdot y''(t) + 2\cdot y'(t) + 50\cdot y(t) = 3\cdot x(t) + 4\cdot x'(t) $$

• (a) Schreiben Sie das System in ein gekoppeltes System 1. Ordnung für den Vektor $\mathbf {y}=\mathbf {y}(t)$ um. Die erste Komponente dieses Vektors soll $y_1(t)=y(t)$ und die zweite Komponente soll $y_2(t)=y'(t)$ lauten.

• (b) Notieren Sie das System in Matrixform. Bestimmen Sie die Systemmatrix und den Störvektor.

7.5

Gegeben ist ein dynamisches System 3. Ordnung für eine Antwort $y=y(t)$ mit der Eingangsgröße $x=x(t)$ durch die lineare Differenzialgleichung

$$ 2\cdot y'''(t) -1\cdot y''(t) + 5\cdot y'(t) +8\cdot y(t) =x'(t) -6\cdot x''(t) $$

• (a) Schreiben Sie das System in ein gekoppeltes System 1. Ordnung für einen Vektor $\mathbf {y}=\mathbf {y}(t)$ um.

• (b) Notieren Sie das System in Matrixform. Bestimmen Sie die Systemmatrix und den Störvektor.

7.6

Könnte man einen Tunnel vom Nordpol quer durch die Erdachse zum Südpol bauen, so könnte man am Nordpol einen Stein in den Tunnel fallen lassen. Mit dem Newton’schen Gesetz kann man zeigen, dass für die Entfernung x(t) des Steins vom Erdmittelpunkt die folgende Bewegungsgleichung gilt:

$$ \frac{\text {d}^2 x}{\text {d}t^2} + \frac{4\pi }{3}\cdot \gamma \cdot \rho \cdot x(t) =0 $$

(siehe [3]). In der Differenzialgleichung sind $\gamma = 6{,}67\cdot 10^{-11}$ Nm$^2$/kg$^2$ die Gravitationskonstante und $\rho =$ 5517 kg/m$^3$ die mittlere Erddichte.

• (a) Schreiben Sie das System in ein gekoppeltes System 1. Ordnung für einen Vektor $\mathbf {y}=\mathbf {y}(t)$ um. Wie lautet der Anfangsvektor $\mathbf {y}(0\,\text {s})$? (Tipp: Der Erdradius beträgt $6357\cdot 10^3\,$m.)

• (b) Notieren Sie das System in Matrixform. Bestimmen Sie die Systemmatrix und den Störvektor.

7.7

Zwei Wagen mit Massen $m_1$ und $m_2$ sind mit drei Federn gekoppelt. Die Federkonstanten lauten $k_1$, $k_2$ und $k_3$. Die Abb. 7.12 illustriert die Ruhe-Situation und zeigt die Positionen $x_1(t)$ und $x_2(t)$ der beiden Wagen. Es sei keine Reibung vorhanden. Die Auslenkung der Federn erfolge nach dem Gesetz von Hook.

• (a) Zeigen Sie mit dem Gesetz von Newton, dass für die Positionen $x_1=x_1(t)$ und $x_2=x_2(t)$ der beiden Wagen die folgenden Differenzialgleichungen gelten:

  $$\begin{aligned} m_1\cdot \frac{\text {d}^2 x_1}{\text {d}t^2}&= -k_1\cdot x_1(t) + k_2\cdot (x_2(t) -x_1(t))\\ m_2\cdot \frac{\text {d}^2 x_2}{\text {d}t^2}&= -k_2 \cdot (x_2(t) -x_1(t)) -k_3\cdot x_2(t) \end{aligned}$$

• (b) Wandeln Sie das System in ein Differenzialgleichungssystem 1. Ordnung für einen Vektor $\mathbf {y}=\mathbf {y}(t)$ mit vier Komponenten um. Wählen Sie dabei die folgenden Komponenten für $\mathbf {y}(t)$: $y_1(t) = x_1(t)$, $y_2(t) = x_2(t)$, $y_3(t) = x_1'(t)$ und $y_4(t) = x_2'(t)$.

• (c) Schreiben Sie das System in Matrixform. Bestimmen Sie die Systemmatrix. Wie lautet der Störvektor?

Abb. 7.12

Zwei gekoppelte Wagen

7.8

Führen Sie die gleichen Aufgaben wie bei der Aufgabe 7.7 aus, verwenden Sie diesmal drei Wagen.

7.9

Gegeben ist das dynamische System aus der Aufgabe 7.1.

• (a) Berechnen Sie die Eigenwerte der Systemmatrix. Ist das System stabil, instabil oder neutral stabil?

• (b) Berechnen Sie mit MATLAB oder mit Julia numerisch die Salzmengen $S_1=S_1(t)$ und $S_2=S_2(t)$. Stellen Sie die Resultate grafisch dar. Wie groß ist die maximale Salzkonzentration im zweiten Tank?

• (c) Berechnen Sie mit MATLAB oder mit Julia numerisch die Salzmengen bei drei Tanks. Visualisieren Sie die Resultate mit einer Grafik. Wie groß ist die maximale Salzkonzentration im dritten Tank?

7.10

Gegeben ist das dynamische System aus der Aufgabe 7.2 mit den Eingangsgrößen $x_1(t)=c_A(t) = 0{,}1$ kg/L und $x_2(t)=c_B(t) = 0{,}2\,\text {kg/L}\cdot \exp (- \alpha \cdot t)$ mit $\alpha = 0{,}01$ s$^{-1}$.

• (a) Berechnen Sie die Eigenwerte der Systemmatrix. Ist das System stabil, instabil oder neutral stabil?

• (b) Berechnen Sie mit MATLAB oder mit Julia numerisch die Salzmengen $S_A=S_A(t)$ und $S_B=S_B(t)$. Zeichnen Sie die Graphen der Salzmengen.

7.11

Betrachten Sie das dynamische System des Beispiels 7.1 für den Temperaturvektor $\mathbf {T}=\mathbf {T}(t)$.

• (a) Schreiben Sie das System in Matrixform. Bestimmen Sie die Systemmatrix und den Störvektor. Berechnen Sie die Eigenwerte der Systemmatrix. Ist das System stabil, instabil oder neutral stabil?

• (b) Berechnen Sie mit MATLAB oder mit Julia numerisch die Temperaturen $T_A=T_A(t)$ und $T_B=T_B(t)$. Die Anfangsbedingungen sind $T_A(0\,\text {h}) = 20\,^\circ$C und $T_B(0\,\text {h}) = 18\,^\circ$C. Für die Außentemperatur gelte $T_{\text{au}{\ss }\text{en}}(t) = 5\,^\circ$C. Sind die Zustände stabil?

• (c) Versuchen Sie die Temperaturen in den Zimmern A und B zu variieren, indem Sie mit der Heizleistung „spielen“.

• (d) Was passiert, wenn die Außentemperatur einer Schwingung mit der Schwingungsdauer 24 h folgt? Als Beispiel sei die Außentemperatur gegeben durch

  $$ T_{{\text{au}{\ss }\text{en}}}(t) = 10{,}0\,^\circ \text {C}\cdot \sin (\omega \cdot t) \quad \text { mit } \omega = 2\pi /24\;\text {h}^{-1} $$

  Kommentieren Sie das Resultat. Können Sie die Heizleistung so einstellen, dass die Temperatur in den Zimmern immer zwischen $16\,^\circ$C und $20\,^\circ$C bleibt?

7.12

Betrachten Sie das dynamische System aus der Aufgabe 7.3.

• (a) Ist das System stabil, instabil oder neutral stabil?

• (b) Berechnen Sie mit MATLAB oder mit Julia numerisch die Temperaturen $T_A=T_A(t)$, $T_B=T_B(t)$ und $T_C=T_C(t)$.

• (c) Berechnen Sie mit MATLAB oder mit Julia numerisch, wenn die Außentemperatur der folgenden harmonischen Schwingung mit Schwingungsdauer 24 h folgt:

  $$ T_{{\text{au}{\ss }\text{en}}}(t) = 5{,}0\,^\circ \text {C}+ 4{,}0\,^\circ \text {C}\cdot \sin (\omega \cdot t) \quad \text { mit } \omega = 2\pi /24\;\text {h}^{-1} $$

7.13

Bei der Aufgabe 7.6 modelliert man die Entfernung x(t) eines Steins, der durch einen Tunnel vom Nordpol zum Südpol fällt. Berechnen Sie die Eigenwerte der Systemmatrix von Hand. Ist das System stabil, instabil oder neutral stabil? Erreicht der Stein den Südpol? Wenn ja, wie lang braucht er dazu?

7.14

Berechnen Sie bei der Aufgabe 7.7 die Eigenwerte der Systemmatrix. Dabei sind die Federkonstanten $k_1=k_2 = k_3 = 90\,\text {N/m}$ und die Massen $m_1=m_2 = 100\,\text {kg}$. Ist das System stabil, instabil oder neutral stabil? Der rechte Wagen wird zum Zeitpunkt $t=0$ s um $2\,$m nach rechts verschoben. Die Anfangsbedingungen für das System lauten damit

$$ x_1(0\,\text {s})=0\,\text {m}, \quad x_1'(0\,\text {s})=0\,\text {m/s}, \quad x_2(0\,\text {s})=2\,\text {m}, \quad x_2'(0\,\text {s})=0\,\text {m/s} $$

Bestimmen Sie die Positionen der Wagen numerisch mit MATLAB oder mit Julia. Stellen Sie anschließend die Positionen $x_1=x_1(t)$ und $x_2=x_2(t)$ grafisch dar. Dabei befindet sich in der Abb. 7.12 die Position $x_2$ 10 m rechts der Position $x_1$.

7.15

Führen Sie die gleichen Aufgaben wie bei der Aufgabe 7.14 aus, diesmal mit drei Wagen. Simulieren Sie mit MATLAB oder mit Julia einen Zug mit vier bis fünf durch Federn gekoppelten Wagen. Sie können versuchen, auch Reibungswiderstände einzubauen. Die Anfangsbedingungen könnten sein: (a) Anfangsimpuls für die Lokomotive mit $x_{\text {Loki}}(0\,\text {s}) = 0$ m und $x_{\text {Loki}}'(0\,\text {s}) = 5\,\text {m/s}$, (b) Wagen in Ruhe, jeweils um 10 m versetzt: $x_{i\text {-ter Wagen}_i}(0\,\text {s})=0$ m und $x_{i\text {-ter Wagen}_i}'(0\,\text {s})= 0\,\text {m/s}$.

7.16

Beim Beispiel 7.6 interessiert man sich für die Auslenkung $\varphi = \varphi (t)$ eines Stabpendels mit Masse m und Länge L. Gezeigt wurde, dass

$$ m\cdot L \cdot \frac{\text {d}^2 \varphi }{\text {d}t^2} = - m\cdot g\cdot \sin (\varphi (t)) $$

gilt. Dabei ist $g=9{,}81$ m/s$^2$ die Erdbeschleunigung. Die Masse der Pendel-Kugel sei $m=5{,}0$ kg. Die Länge des Stabs sei $L=1{,}3$ m.

• (a) Wandeln Sie die Differenzialgleichung 2. Ordnung für den Auslenkungswinkel $\varphi =\varphi (t)$ in ein System 1. Ordnung für $\varphi =\varphi (t)$ und $\omega =\text {d}\varphi / \text {d}t$ um.

• (b) Berechnen Sie numerisch mit MATLAB oder mit Julia den Auslenkungswinkel $\varphi =\varphi (t)$ des Pendels, wenn $\varphi (0\,\text {s})= \pi /2$ und $\omega (0\,\text {s})=0$ s$^{-1}$ sind. Zeichnen Sie den Graph des Auslenkungswinkels. Erhalten Sie eine harmonische Schwingung?

• (c) Wenn der Auslenkungswinkel klein ist, so ist $\sin (\varphi ) \approx \varphi$. Mit dieser Approximation wird die Differenzialgleichung linear. Wie lautet in diesem Fall die Systemmatrix? Beurteilen Sie mit der Systemmatrix, ob das System stabil, neutral stabil oder instabil ist. Berechnen Sie numerisch mit MATLAB oder mit Julia den Auslenkungswinkel $\varphi =\varphi (t)$ des Pendels, wenn $\varphi (0\,\text {s})= \pi /8$ und $\omega (0\,\text {s})=0$ s$^{-1}$ sind. Tun Sie dies einmal mit dem nichtlinearen und einmal mit dem linearisierten Modell. Vergleichen Sie die beiden Lösungen grafisch.

Abb. 7.13

Bahn eines springenden Balls, mit Luftwiderstand

7.17

Die Abb. 7.13 zeigt den Verlauf eines springenden Balls mit Masse $m=1$ kg, der in einer Höhe von 1 m abgeworfen wird und auf dem Boden ($y=0$ m) aufspringt. Wir modellieren die Bahn $(x(t)\,|\,y(t))$ des Balls mit dem Gesetz von Newton. Die Luftwiderstandskraft soll proportional zur Geschwindigkeit im Quadrat sein (siehe das Beispiel 6.4). Dann gelten die folgenden Differenzialgleichungen:

$$\begin{aligned} \text {Horizontalbewegung: } \quad&m\cdot x''(t)= -c\cdot v(t)\cdot x'(t) \\ \text {Vertikalbewegung: } \quad&m\cdot y''(t) = -c\cdot v(t)\cdot y'(t) -g\cdot m, \end{aligned}$$

Die in den Gleichungen vorkommenden Größen sind die Ballgeschwindigkeit $v=v(t) = \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2}$, die Widerstandskonstante $c = 0{,}01$ m$^{-1}$ und die Erdbeschleunigung $g=9{,}81$ m/s$^2$. Der Stoßfaktor spielt beim Aufprall des Balls auf den Boden eine Rolle. Ist $t^*$ ein erster Zeitpunkt mit $y(t^*)=0$ m, so findet ein erster Aufprall des Balls statt. Das Vorzeichen der Vertikalgeschwindigkeit wird geändert. Das System wird ab diesem Zeitpunkt „neu“gestartet und zwar mit der Anfangsbedingung

$$ y'(t^*)_\text {neu} = -\epsilon _S\cdot y'(t^*)_\text {alt} $$

Der hier auftretende Stoßfaktor des Bodens sei $\epsilon _S = 0{,}9$.

• (a) Handelt es sich um lineare Differenzialgleichungen? Wandeln Sie das System in ein System 1. Ordnung für einen Vektor $\mathbf {y}=\mathbf {y}(t)$ um, der vier Komponenten hat.

• (b) Berechnen Sie numerisch mit MATLAB oder mit Julia die Position $(x(t)\,| \,y(t))$ des Balls. Die Anfangsbedingungen seien: Abwurfhöhe 1 m, Abwurfwinkel $\alpha =15^\circ$ und Abwurfgeschwindigkeit $v_0 = 25$ m/s.

• (c) Visualisieren Sie den Sprungverlauf des Balls dynamisch mit einem MATLAB- oder einem Julia-Film (siehe dazu die Homepage www.baettig.one).