Introduction

Résumé

Le théme central de cet ouvrage est la notion de recollement que l’on formalise au chapitre II en termes de champs sur un site. Pour cela, il faut disposer d’une notion de localisation: les topologies de Grothendieck; les résultats fondamentaux et les principales constructions les concernant sont rappelés au chapitre 0. En gros, un champ sur un site X est un faisceau de catégories F, á deux différences près: au lieu de se donner, pour toute flèche f: T → S de X un foncteur restriction F(f): F(S) → F(T), on suppose que F est une catégorie fibrée, ce qui assure seulement l’existence d’un tel foncteur, unique á isomorphisme unique prés, l’habituelle condition de transitivité n’étant satisfaite qu’á isomorphisme prés; par ailleurs, la condition de recollement pour une famille couvrante (X_i; → X) fait aussi intervenir les produits fibrés triples des X_i; → X. Ceci introduit quelques complications au chapitre II où l’on traite l’analogue pour les champs des constructions indispensables en théorie des faisceaux: faisceau associé á un préfaisceau, image directe et inverse par un morphisme de sites, d’autant que l’on s’est astreint á ne pas supposer l’existence de produits fibrés dans le site de base. Pour surmonter ces difficultés, on a rassemblé au chapitre I un certain nombre de constructions sur les catégories fibrées, traitant en quelque sorte les mêmes problémes dans le cas où il n’y a pas de topologie.