Freie Gruppen *

Zusammenfassung

In einer Gruppe G mit Erzeugendensystem S ist nach dem Darstellungssatz 3.2 jedes Gruppenelement darstellbar als endliches Produkt von (nicht notwendig verschiedenen) Elementen aus $S \cup S^{-1}$.

Aufgaben

12.1 $\bullet$

Man zeige, dass die Gruppen ${\mathbb {Z}}\times {\mathbb {Z}}$, ${\mathbb R}^\times$, $S_n$ mit $n \in {\mathbb N}$ und ${\mathbb Q}$ nicht frei sind.

12.2 $\bullet \bullet$

Begründen Sie die folgende projektive Eigenschaft freier Gruppen: Gegeben seien eine freie Gruppe F, zwei weitere Gruppen $G, \, H$ und ein Homomorphismus $\alpha : F \rightarrow H$ sowie ein Epimorphismus $\beta : G \rightarrow H$. Dann existiert ein Homomorphismus $\gamma : F \rightarrow G$ mit $\alpha = \beta \, \gamma$.

12.3 $\bullet$

Die unendliche Diedergruppe. Begründen Sie, warum die Gruppe

$$\begin{aligned} G = Gp\, \langle x, \, y \, \vert \, x^2 = 1 , \ x \, y \, x^{-1} = y^{-1} \rangle \end{aligned}$$

unendlich ist.

12.4 ${\bullet }{\bullet }{\bullet }$

In dieser Aufgabe geben wir eine alternative Konstruktion der über X freien Gruppe F an. Mit F bezeichnen wir die Menge der reduzierten Wörter über $X\cup X'$. Für jedes $x \in X$ und $\varepsilon \in \{1, \, -1\}$ sei die Abbildung $\overline{x^\varepsilon }: F \rightarrow F$ erklärt durch

$$\begin{aligned} \overline{x^\varepsilon }: \left\{ \begin{array}{ccc}1 \not = x_1^{\varepsilon _1} \cdots x_r^{\varepsilon _r} &{} \mapsto &{} \left\{ \begin{array}{cl} x^{\varepsilon } x_1^{\varepsilon _1} \cdots x_r^{\varepsilon _r} , &{} \text { wenn } x^\varepsilon \not = x_1^{-\varepsilon _1} \\ x_2^{\varepsilon _2} \cdots x_r^{\varepsilon _r} , &{} \text { wenn } x^\varepsilon = x_1^{-\varepsilon _1} \end{array} \right. \\ 1 &{} \mapsto &{} x^{\varepsilon } \end{array}\right. \end{aligned}$$

mit der Vereinbarung $x_2^{\varepsilon _2} \cdots x_r^{\varepsilon _r} = 1$, wenn $r = 1$.

• (a) Zeigen Sie, dass die Untergruppe $\overline{F} := \langle \{\overline{x} \, \vert \, x \in X\}\rangle$ der symmetrischen Gruppe $S_F$ frei über $\overline{X} := \{ \overline{x} \, \vert \, x \in X\}$ ist.

• (b) Zeigen Sie, dass die Abbildung

  $$\begin{aligned} \pi : \left\{ \begin{array}{ccc} F \setminus \{1\} &{} \rightarrow &{} \overline{F}\setminus \{{\text {Id}}_F\} \\ x_{1}^{\varepsilon _{1}} \cdots x_{r}^{\varepsilon _{r}} &{} \mapsto &{} \overline{x_{1}^{\varepsilon _1}} \cdots \overline{x_{r}^{\varepsilon _r}} \end{array} \right. \quad \text {und} \quad \pi (1) = {\text {Id}}\end{aligned}$$

  eine Bijektion ist.

• (c) Zeigen Sie, dass $(F, \circ )$ mit $\circ : F \times F \rightarrow F$, definiert durch

  $$\begin{aligned} v \circ w := \pi ^{-1}(\pi (v) \cdot \pi (w)) \quad \text {f}\ddot{\mathrm{{u}}}\text {r} \quad v, \, w \in F \end{aligned}$$

  eine über X freie Gruppe ist.

• (d) Folgern Sie: Zu jeder Menge X gibt es eine über X freie Gruppe.