Optimale Geschwindigkeiten und optimale Funktionen – Optimierungen und Variationen

Zusammenfassung

Dieses Kapitel beginnt mit einem Optimierungsproblem für den Autoverkehr: Welche Geschwindigkeit soll vorgeschrieben werden, damit in dichten Verkehrssituationen der höchste Verkehrsfluss erzielt wird. Ausgehend von der Frage, woher die Physiker wussten, dass Ketten sich wie eine hyperbolische Funktion aufhängen, werden Optimierungsprobleme von Funktionen auf Funktionale übertragen: Die Kettenlinie wird als Minimerer der Lageenergie unter der Nebenbedingung konstanter Länge identifiziert. Allgemein werden Variationsprinzipien eingeführt und die Euler-Lagrange-Gleichungen hergeleitet, sowie Extrema unter Nebenbedingungen behandelt. Es wird die Frage aufgeworfen, ob es ein „Wunder“ ist, dass die physikalische Realität der Mathematik folgt, oder ob das an der Auswahl des Realitätsausschnitts liegt, der durch Mathematik modelliert wird.

Aufgaben

2.1 Der Bremsweg

Zeigen Sie, dass ein Auto, dessen Geschwindigkeit linear mit der Beschleunigungskonstante a zunimmt, vom Beschleunigen aus dem Stand bis zur Geschwindigkeit v die Strecke $s=\frac{v^2}{2a}$ zurücklegt.

2.2 Varianten des Modells „Anhalteweg“

• a) Variieren  Sie das Modell aus Abschn. 2.1.2 so, dass sich die Autofahrerin nicht an ihrer direkten Vorgängerin, sondern an ihrer Vorvorgängerin orientiert. Berechnen Sie die optimale Geschwindigkeit und den zugehörigen Fluss.

• b) Implementieren Sie das Modell „Anhalteweg“ in einem TK oder DGS, sodass die Bremsbeschleunigung, die minimale Fahrzeuglänge, die durchschnittliche Fahrzeuglänge, die Länge der Schrecksekunde eingegeben werden können und die optimierte Geschwindigkeit und der zugehörige Fluss ausgegeben werden.

2.3 Minimierung von Wegzeiten bei unterschiedlichen Geschwindigkeiten

Horst-Hugo zeltet am Rhein-Herne-Kanal (ein stehendes Gewässer). Um kurz vor acht Uhr bemerkt er, dass sein Getränkevorrat sich dem Ende zuneigt. Auf der gegenüberliegenden Uferseite liegt ein Büdchen, das er so schnell wie möglich erreichen möchte. Da keine Brücke in der Nähe ist, beschließt er zu schwimmen. Wie die meisten Menschen kann sich Horst-Hugo an Land schneller vorwärts bewegen als im Wasser.

• a) Modellieren Sie die Situation so allgemein wie möglich unter der Fragestellung, welche Stelle am gegenüberliegenden Ufer Horst-Hugo beim Schwimmen anvisieren muss, um das Büdchen möglichst schnell zu erreichen. Führen Sie eine passende Entdimensionalisierung durch.

• b) Implementieren Sie Ihre Modellierung in einem DGS oder TK so, dass die Parameterwerte eingegeben werden können und die anzuvisierende Stelle und die benötigte Zeit zum Büdchen ausgegeben werden.

• c) Erweitern Sie das Modell so, dass auch fließende Gewässer mit umfasst werden. Implementieren Sie auch dieses Modell in einem TK oder DGS.

2.4 Ein Markt mit zwei Anbietern

Als Schulaufgabe ist folgendes Modell zur Simulation der Marktsituation bei zwei Anbietern konzipiert: Für Anbieter 1 sei die Nachfragefunktion

$$\begin{aligned} f_1(x_1, \,x_2)=70-x_1+\delta x_2 \end{aligned}$$

gegeben. Hierbei ist 70 die Grundnachfrage, $x_1$ der Preis bei Anbieter 1 und $x_2$ der Preis bei Anbieter 2. Analog gilt für die Nachfrage bei Anbieter 2:

$$\begin{aligned} f_2(x_1,\,x_2)=70-x_2+\delta x_1 \end{aligned}$$

Hieraus ergeben sich die Gewinnfunktionen

$$\begin{aligned} g_1(x_1,\,x_2)=f_1(x_1,\,x_2) \cdot (x_1 - 20) \quad \text {und} \quad g_2(x_1,\,x_2)=f_2(x_1,\,x_2) \cdot (x_2 - 20), \end{aligned}$$

wobei 20 die Herstellungskosten beider Anbieter darstellt. Lösen Sie zunächst folgende Aufgaben:

• a) Anbieter 1 unterliegt einer Preisbindung und ist verpflichtet,  sein Produkt zu einem festen Preis von $\bar{x}_1$ Euro anzubieten. Bei welchem Preis erzielt Anbieter 2 den höchsten Gewinn?

• b) Bei welchen Preisen $(\bar{x}_1,\bar{x}_2)$ erzielen beide den maximalen Gewinn, wenn der jeweils andere Preis als fix betrachtet wird?  (Man spricht dann von einem Nash-Gleichgewicht: Beide würden ihren Gewinn verringern, wenn sie ihren Preis aus diesem Gleichgewichtspunkt verändern würden.)

• c) Die beiden Anbieter treffen illegale Kartellabsprachen.  Welche Möglichkeiten gibt es, den Gesamtgewinn zu maximieren?

• d) Welche Werte für $\delta$ sind in diesem Modell sinnvoll?

Die oben verwendeten Formeln ergeben, betrachtet man die Dimensionen, keinen Sinn. Wir ziehen daher die folgende Form vor:

$$\begin{aligned} f_1(x_1,\,x_2)=n-\alpha x_1+\beta x_2 \quad \text {und} \quad g_1(x_1,\,x_2)=f_1(x_1,\,x_2)(x_1-k) \end{aligned}$$

mit beliebiger Grundnachfrage n und beliebigen Herstellungskosten k. Für Anbieter 2 gilt dies analog.

$[f]=A$ ist eine Anzahl und $[x_1]=[x_2]=G/A$ eine Geldmenge pro Anzahl.

• e) Welche Dimension haben die Parameter n, $\alpha$, $\beta$, k bzw. der Gewinn g?

• f) Bringen Sie die Funktion $f_1$ durch geschickte Entdimensionalisierung von $f_1$, $x_1$ und $x_2$ auf die Form

  $$\begin{aligned} \varphi _1(y_1,\,y_2)=1-y_1+\gamma y_2. \end{aligned}$$

• g) Gibt es eine Möglichkeit, die Gewinnfunktion $g_1$ auf die Form

  $$\begin{aligned} \gamma _1(y_1,\,y_2)=\varphi _1(y_1,\,y_2)(y_1-\varepsilon ) \end{aligned}$$

  zu bringen?

• h) Bearbeiten Sie die Aufgaben a), b) und c) in verallgemeinerter Fassung mit den in f) und g) gefundenen Formeln.

2.5 Die Taylor-Formel im Mehrdimensionalen

In (2.7) wurde die die Taylor-Formel für eine Funktion mehrerer Variablen benutzt. Diese soll hier aus der Taylor-Formel für Funktionen einer Variablen hergeleitet werden soll.

• a) Es sei $\begin{array}{ccccc} f&:&\mathbb {R}^n\longrightarrow & {} \mathbb {R} \end{array}$ zweimal stetig differenzierbar, $x,h\in \mathbb {R}^n$. Zeigen Sie: Es gibt $\theta \in (\,0\,,\,1\,)$, sodass

  $$\begin{aligned} f(x+h) = f(x) +\sum _{i=1}^{n}\partial _i f(x)h_i+\frac{1}{2}\sum _{i, j=1}^n\partial _i\partial _jf(x+\theta h). \end{aligned}$$

  (2.19)

• b) Verallgemeinern Sie diese Formeln für Approximationen beliebiger Ordnungen und beweisen Sie diese.

2.6 Beweis des Fundamentallemmas der Variationsrechnung (stetige Version)

Beweisen Sie die folgende Version des Fundamentallemmas der Variationsrechnung durch einen Widerspruchsbeweis:

Sei $[a,b]\subset \mathbb {R}$ ein Intervall und $\begin{array}{ccccc} f&:&[a,b]\longrightarrow & {} \mathbb {R} \end{array}$ stetig. Ferner gelte für alle stetigen Funktionen $\begin{array}{ccccc} \varphi&:&[a, b]\longrightarrow & {} \mathbb {R} \end{array}$ mit $\varphi (a)=\varphi (b)=0$, dass

$$ \int _a^b f(x)\varphi (x)\,dx=0,$$

dann ist f die Nullfunktion auf [a, b].

2.7 Rechnungen zum Energiefunktional der hängenden Kette

• a) Rechnen Sie nach, dass ein Minimierer H des Energiefunktionals zur Lagrange-Dichte (2.11) die zugehörige die Euler-Lagrange-Gleichung (2.12) löst. Im Wesentlichen ist das eine Übung der Anwendung der Kettenregel.

• b) Rechnen Sie nach, dass die Gl. (2.12) nicht durch parabelförmige Höhenverläufe gelöst wird.

• c) Rechnen Sie nach, dass ein Minimierer H von $E-ghH_0L$ die Gleichung (2.16) löst.

2.8 Höhenlinien und Gradienten

In Abschn. 2.2.5 wird behauptet, dass Höhenlinien und Gradienten einer Funktion stets senkrecht zueinander stehen. Die Aussage soll in dieser Aufgabe mathematisch präzisiert und bewiesen werden. Zunächst einmal muss geklärt werden, was in diesem Zusammenhang überhaupt mit einem Winkel gemeint ist. Gemeinhin sind lediglich Winkel zwischen Vektoren über das Skalarprodukt definiert.

• a) Sei $\begin{array}{ccccc} \gamma&:&(\,-1\,,\,1\,)\longrightarrow & {} \mathbb {R}^2 \end{array}$ eine beliebige Kurve, die in einer Höhenlinie von $\begin{array}{ccccc} h&:&\mathbb {R}^2\longrightarrow & {} \mathbb {R} \end{array}$ verläuft. Zeigen Sie: Für alle $t\in (\,-1\,,\,1\,)$ gilt

  $$\begin{aligned} \dot{\gamma }(t)\cdot \nabla h(\gamma (t))=0. \end{aligned}$$

• b) Inwiefern liefert dieser Sachverhalt eine mathematische Präzisierung der Aussage „Höhenlinien und Gradienten sind senkrecht zueinander“?

2.9 Beweis der Methode der Lagrange’schen Multiplikatoren im zweidimensionalen Fall

Beweisen Sie Satz 2.3, indem Sie den Beweis aus Abschn. 2.2.7 geeignet modifizieren.

2.10 Der Kosinushyperbolicus ist kein kritischer Punkt des Bogenlängenfunktionals

Die Funktion $H(x)=k\cosh \big ( \frac{x-\bar{x}}{k}\big )+H_0$ ist kein kritischer Punkt des Bogenlängenfunktionals L!

• a) Machen Sie sich das anschaulich klar.

• b) Zeigen Sie das rigoros, indem Sie eine konkrete Testfunktion $\chi$ angeben und nachrechnen, dass $\delta L(H, \chi )\not =0$ gilt.

Vorschlag: Wir gehen zunächst einmal von $H_1=H_2$ aus. Betrachten Sie $\chi :=H_1-H$. Modifizieren Sie geeignet, um auf die Voraussetzung $H_1=H_2$ zu verzichten.

2.11 Wie hängt ein elastisches Kabel?

In den betrachteten Modellen wurde vorausgesetzt, dass das Kabel ein unveränderliche Länge habe. Tatsächlich sind aber Kabel in der Realität elastisch. Unter Zugspannung verlängern sie sich ein bisschen, unter Druck kann man sie etwas zusammenpressen. Das Verlängern oder Verkürzen erfordert Energie. Aus der Schule ist das Hooke’sche Gesetz  für elastische Federn bekannt. Demnach erfordert die Veränderung der Länge einer Feder eine Kraft F, die proportional zum Ausmaß der Verlängerung ist, $F= D (L-L_0)$ mit der „Ruhelänge“ $L_0$. Die Proportionalitätskonstante D wird üblicherweise als Federhärte bezeichnet. Eine ausgelenkte Feder speichert die Energie $\frac{1}{2}D(L-L_0)^2$ (das ist das „Arbeitsintegral“ $\int _{L_0}^L D(l-L_0)\,dl$).

• a) Stellen Sie ein Energiefunktional $\tilde{E}$ für den Höhenverlauf eines elastischen Kabels mit Konstante D auf, indem Sie diesen Energieanteil in Ihrem Energiefunktional berücksichtigen und dafür auf die Nebenbedingung der konstanten Kabellänge verzichten.

• b) Versuchen Sie die Ableitung der Funktion $s\mapsto \tilde{E}(H+s \varphi )$ zu berechnen. Welche Probleme treten auf?

2.12 Die Kurve zwischen zwei Punkten mit minimaler Bogenlänge

Gegeben seien die Punkte (0, 0) und $(\bar{x},\bar{y})$ mit $\bar{x}>0$. Bestimmen Sie mit Hilfe der Variationsrechnung diejenige Funktion

$$\begin{array}{ccccc} f&:&[0,\bar{x}]\longrightarrow & {} \mathbb {R} \end{array} \quad \text {mit}\quad f(0)=0 \quad \text {und}\quad f(\bar{x})=\bar{y},$$

welche die Bogenlänge minimiert. Denken Sie vorher eine Sekunde darüber nach, was wohl die Lösung sein muss.

2.13 Das Brachistochronenproblem

Ein klassisches Problem aus den Anfängen der Variationsrechnung besteht darin, zu zwei Punkten A und B, wobei A „höher“ liegt als B, diejenige Bahn zu finden, auf der sich eine Kugel nur unter dem Einfluss der Schwerkraft am schnellsten von A nach B bewegen würde. „Nur unter dem Einfluss der Schwerkraft“ bedeutet hier, dass die Kugel nicht durch Reibung an der Bahn Energie verliert und langsamer wird. Eine experimentelle Realisierung findet sich z. B. in der Elementa in Mannheim, siehe Abb. 2.4. Die Reibungsfreiheit kann natürlich nur näherungsweise realisiert werden, in dem Sinne, dass die auftretenden Reibungskräfte im Vergleich zur Schwerkraft sehr klein sind.

Abb. 2.4

(Foto: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Brachistochronerutschbahn.jpg#file)

Experimenteller Aufbau zur Demonstration der Laufzeiten unterschiedlicher Bahnkurven im Landesmuseum für Technik und Arbeit, Mannheim.

In dieser Aufgabe sollen Sie das zu minimierende Zeitfunktional aufstellen: Zu einer gegebenen Bahn $\begin{array}{ccccc} y&:&\left[ \,x_A\,,\,x_B\,\right]\longrightarrow & {} \mathbb {R} \end{array}$ mit $y(x_A)=y_A$ und $y(x_B)=y_B$ muss die Zeit T berechnet werden, die eine Kugel benötigt, um die Bahn rein unter dem Einfluss der Schwerkraft zurückzulegen. Dafür müssen Sie das funktionale Geflecht der Größen x, y der Zeit t und der Geschwindigkeit v geschickt organisieren. Gegeben ist die Höhe $y=y(x)$. Bekannt sind die folgenden Beziehungen:

• 1) Für die Ortskoordinaten x, y und die Geschwindigkeit v als Funktionen der Zeit, x(t), y(t) und v(t), gilt $\dot{x}^2(t)+\dot{y}^2(t)=v^2(t)$. Dabei steht (wie im gesamten Buch) der Punkt für Ableitungen nach der Zeit.

• 2) Die Bewegung erfolgt reibungsfrei. Damit bleibt die Summe aus potentieller und kinetischer Energie während der gesamten Bewegung erhalten: $\frac{1}{2}m v^2+mgy=cons=mgy_A$.

• 3) Für die benötigte Zeit T gilt $T=\int _0^T \, dt=\int _{x_A}^{x_B}t'(x) dx$.

Das Ziel ist also, das Integral über die Integrationsvariable der Zeit t durch ein Integral über die Integrationsvariable x in Termen von y(x) und $y'(x)$ auszudrücken.

Berechnen Sie in einem zweiten Schritt die zugehörigen Euler-Lagrange-Gleichungen.

2.14 Bewegungen als Minimierer von Wirkungen

Die  Physiker haben noch weitere Prinzipien, z. B. das Prinzip von der minimalen Wirkung (eigentlich müsste es Prinzip von der stationären Wirkung heißen). Es sagt aus, dass für die physikalisch realisierte Bewegung eines Körpers, die durch die Funktion $t\mapsto x(t)$ mathematisch dargestellt wird (x(t) gibt den Ort des Körpers zur Zeit t an), das folgende Prinzip gilt: Das sogenannte Wirkungsfunktional 

$$ S(x):=\int _{t_1}^{t_2}\mathcal {L}(x(t), \dot{x}(t))\, dt $$

ist für die realisierte Bewegung x(t) minimal (eigentlich stationär). Dabei ist $\mathcal {L}$ die Differenz aus der kinetischen Energie T und der potentiellen Energie  V des Körpers, $\dot{x}$ bezeichnet die Geschwindigkeit des Körpers, also die Zeitableitung.

In dieser Aufgabe sollen die aus der Schule bekannten Gleichungen für den senkrechten Wurf aus dem Prinzip der minimalen Wirkung hergeleitet werden.

Für die vertikale Bewegung im homogenen Schwerefeld der Erde (x(t) gibt also die Höhe über dem Boden zur Zeit t an) gilt

$$T(x,\dot{x})=\frac{1}{2}m\dot{x}^2 \quad \text {und}\quad V(x,\dot{x})=mgx,$$

dabei ist m die Masse des Körpers und g die Erdbeschleunigung.

Bestimmen Sie mit Hilfe der Variationsrechnung die Bewegungsgleichung für einen Körper, der zur Zeit $t=0$ mit der Geschwindigkeit $v_0$ senkrecht vom Boden in die Luft geschossen wird.