Versuchsplanung

Zusammenfassung

In Kapitel 4 wird die Versuchsplanung und deren Analyse vorgestellt. Zunächst werden die allgemeinen Prinzipien der Versuchsplanung betrachtet. Dies umfasst die Themen Vermengungen, Signal-Rausch-Verhältnis, Randomisierung und Blockbildung. Als nächstes werden die häufig anzutreffenden faktoriellen und teilffaktoriellen Versuchspläne im einzelnen analysiert. Sowohl die Analyse als auch der Entwurf von Versuchsplänen, einschließlich der Themen Modellbildung, Wiederholungen, Vermengungsbeziehungen und Lösungstyp, werden untersucht. Geeignete Methoden, einschließlich der Erzeugung orthogonaler und orthonormaler Grundlagen, für die computergestützte Analyse solcher Versuchspläne werden vorgestellt. Obwohl das Hauptaugenmerk auf der 2-faktoriellen Versuchsplanung liegt, werden auch Versuchspläne höherer Ordnung berücksichtigt und deren Analyse erläutert. Dazu werden ausführliche Beispiele angeführt. Des Weiteren werden Methoden zur Analyse von Krümmungen bzw. quadratische Terme in einem Modell unter Verwendung eines faktoriellen Versuchsplans mit Zentrumspunktwiederholungen untersucht. Abschließend wird kurz auf die Idee der Wirkungsflächenpläne, wie z.B. der zentral zusammengesetzte Versuchsplan und optimaler Entwurf, eingegangen. Es werden Beispiele aus einem breiten Spektrum unterschiedlichster Anwendungen betrachtet. Am Ende dieses Kapitels sollte der Leser in der Lage sein, faktorielle und teilfaktorielle Versuchspläne sowie Versuchspläne mit Krümmungen zu entwerfen und zu analysieren. Außerdem sollten grundlegende Wirkungsflächenpläne mithilfe computergetützter Methoden erstellt werden können.

4.1 Elektronisches Zusatzmaterial

Zusatzmaterial 1 (ZIP 18 kb)

Appendices

Weiterführende Literatur

Nachfolgend wird Literatur angegeben, die zusätzliche Informationen zum jeweiligen Thema bereitstellt:

• 1. Allgemeine Versuchsplanung: Die meisten dieser Referenzen enthalten Informationen über vollständige faktorielle Versuchspläne und teilfaktorielle Versuchspläne.

  • a) Toutenburg, H. (1994). Versuchsplanung und Modellwahl. Heidelberg, Deutschland: Physica-Verlag.

  • b) Box, G. E., Hunter, W. G., & Hunter, J. S. (1978). Statistics for Experimenters: An Introduction to Design, Data Analysis, and Model Building. New York, New York, Vereinigte Staaten von Amerika: John Wiley & Sons, Inc.

  • c) Hinkelmann, K., & Kempthorne, O. (2007). Design and Analysis of Experiments (Bände. I, II, III). Hoboken, New Jersey, Vereinigte Staaten von Amerika: John Wiley & Sons, Inc.

  • d) Montgomery, D. C. (1991). Design and Analysis of Experiments (3. Auflage). New York, New York, Vereinigte Staaten von Amerika: John Wiley & Sons, Inc.

  • e) Ljung, L. (1999). System Identification Theory for the User. Upper Saddle River, New Jersey, Vereinigte Staaten von Amerika: Prentice Hall, Inc.

• 2. Wirkungsflächen-Methode:

  • a) Myers, R. H. (1971). Response Surface Methodology. Boston, Massachusetts, Vereinigte Staaten von Amerika: Allyn and Bacon, Inc.

Aufgaben zum Kapitel

Die Aufgaben zum Kapitel bestehen aus drei verschiedenen Typen: a) Grundlegende Konzepte (Wahr/Falsch), die das Verständnis des Lesers zu den wesentlichen Inhalten des Kapitels überprüfen; b) Übungsaufgaben, die darauf ausgelegt sind, die Fähigkeit des Lesers zu überprüfen, die erforderlichen Größen für einen unkomplizierten Datensatz mit einfachen oder ohne technische Hilfsmittel zu berechnen. In diesem Aufgabenkomplex sind auch Beweise von Lehrsätzen enthalten und c) Übungen mit Rechnerunterstützung, die nicht nur ein gründliches Verständnis der Grundlagen erfordern, sondern auch die Verwendung geeigneter Software zur schnellen Bearbeitung der gegebenen Datensätze.

4.2.1 Grundlagen

Stellen Sie fest, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind und geben Sie an, warum dies der Fall ist!

• 1. Die Vermengung von Faktoren bedeutet, dass $\left( {\mathcal{A}^{T} \mathcal{A}} \right)$ nicht invertierbar ist.

• 2. Die Randomisierung ist wichtig, da sie den Einfluss unbekannter Größen auf die Regressionsergebnisse minimieren kann.

• 3. Mit der Blockbildung versucht man, den Einfluss unbekannter Größen auf die Regressionsergebnisse zu minimieren.

• 4. Ein mittels Energiebilanz definiertes Modell ist ein Black-Box-Modell des Systems.

• 5. Ein Modell, dass zur Analyse des Systems entwickelt worden ist, kann immer verwendet werden, um das zukünftige Verhalten des Systems unter neuen Bedingungen vorherzusagen.

• 6. Ein vollfaktorieller Versuchsplan der Form 3⁴ hat vier Stufen und drei Faktoren.

• 7. Für einen faktoriellen Versuchsplan ohne Wiederholungen kann die Varianz bestimmt werden.

• 8. Wenn der Versuchsplan orthogonal ist, müssen die übrigen Parameter neu berechnet werden, nachdem ein Parameter entfernt worden ist.

• 9. Der Faktor $x_{1}x_{3}x_{4}$ ist eine Wechselwirkung dritter Ordnung.

• 10. Faktorielle Versuchspläne mit einer großen Anzahl von Stufen und Faktoren können zeit- und ressourcenintensiv bei der Durchführung sein.

• 11. Bei teilfaktoriellen Versuchsplänen kann es sinnvoll sein, wenn Wechselwirkungen höherer Ordnung vernachlässigbar sind.

• 12. Wenn die vollständige Definitionsbeziehung I = ABCD = ADE = ABF ist, dann ist der Lösungstyp dieses Versuchsplans IV.

• 13. Je mehr Buchstaben (Faktoren) in einer Definitionsbeziehung vorkommen, umso größer kann der mögliche Lösungstyp des Versuchsplans sein.

• 14. Zwei miteinander vermengte Wechselwirkungen können unabhängig voneinander geschätzt werden.

• 15. Wenn der Generator F = ABD ist, dann ist die Definitionsbeziehung für diesen Generator I = ABDF.

• 16. Das Hinzufügen von Zentrumspunkten zu einem faktoriellen Versuchsplan ermöglicht es, Krümmungen zu berücksichtigen (bzw. Terme zweiter Ordnung wie z. B. A²).

• 17. Wenn ein Modell für die Vorhersage verwendet werden soll, ist ein A-optimaler Entwurf am besten geeignet.

• 18. Wenn nur wenige Faktoren zu berücksichtigen sind, lohnt es sich, ein Screening-Experiment durchzuführen.

• 19. Die Wirkungsflächen-Methode ist ein iteratives Verfahren, das mehrere Experimente und Modellierungserfahrungen erfordert.

• 20. Ein drehbarer zentral zusammengesetzter Entwurf ist dann sinnvoll, wenn eine gleichbleibende Varianz für äquidistante Punkte gewünscht wird.

4.2.2 Übungsaufgaben

Diese Aufgaben sollen mit einem einfachen, nicht programmierbaren und nicht grafikfähigen Taschenrechner mithilfe von Stift und Papier gelöst werden.

• 21. Betrachten Sie das Problem der Anpassung des folgenden Modells:

  $$y_{t} = - \alpha_{1} y_{t - 1} + \beta_{1} u_{t - 1} + e_{t} ,$$

  (4.102)

  wobei α und β die zu bestimmenden Koeffizienten sind. Dazu ist t ein Index, der den Zeitpunkt der Messung darstellt, wobei t der aktuelle Zeitpunkt ist und t – 1 der vorhergehende Zeitpunkt. Für dieses Modell lässt sich zeigen, dass (Ljung 1999)

  $$\mathcal{A}^{T} \mathcal{A} = \left[ {\begin{array}{l}{{E\left( {y_{t} y_{t} } \right)}} \\ {{ - E\left( {y_{t} u_{t} } \right)}}\end{array}\begin{array}{l}{{ - E\left( {y_{t} u_{t} } \right)}}\\ {{E\left( {u_{t} u_{t} } \right)}}\end{array}} \right].$$

  (4.103)

  Um Parameterschätzungen zu erhalten, muss die durch Gl. (4.103) gegebene Matrix für alle Werte von α und β ungleich null invertierbar sein. Unter welchen Bedingungen kann der Prozess identifiziert werden, wenn das Eingangssignal die folgende Form hat:

  • a) $u_t=-{Ky}_t$.

  • b) $u_t = -{Ky}_{t - 2}$.

  (Weitere Informationen zur Anpassung solcher Prozesse kann man in Kap. 6 finden.)

• 22. Betrachten Sie den folgenden Versuchsplan, dessen Regressionsmatrix in Tab. 4.11 zu sehen ist. Bestimmen Sie Folgendes:

  • a) Was sind die unabhängigen Faktoren und was sind die abhängigen Faktoren?

  • b) Was sind die Generatoren?

  • c) Wie lautet die vollständige Definitionsbeziehung?

  • d) Was sind die Vermengungsbeziehungen für C und AF?

  • e) Um welchen Lösungstyp handelt es sich?

  • f) Um welche Form des Versuchsplans handelt es sich?

  Tab. 4.11 Entwurf eines teilfaktoriellen Versuchsplans (für Aufgabe 22)

• 23. Sie müssen Experiment durchführen, bei dem es jeweils sechs (A, B, C, D, E und F) Faktoren mit zwei verschiedenen Stufen gibt. Sie haben entschieden, dass ein 2⁶⁻²-teilfaktorieller Versuch mit den folgenden zwei Generatoren durchgeführt wird:

  $$\begin{aligned} & \text{D} = {\text{AC}} \hfill \\& \text{F} = {\text{CD}} \hfill \\ \end{aligned}$$

  Beantworten Sie folgende Aufgaben:

  • a) Wie lautet die vollständige Definitionsbeziehung?

  • b) Was sind die Vermengungsbeziehungen der Wechselwirkungen erster Ordnung (Haupteffekte)?

  • c) Um welchen Lösungstyp handelt es sich bei diesem Experiment?

  • d) Wenn der Lösungstyp IV gewünscht ist, wie können die zuvor genannten Generatoren geändert werden, um dies zu erreichen? Geben Sie die vollständige Definitionsbeziehung an, um zu beweisen, dass der Versuchsplan tatsächlich den Lösungstyp IV besitzt!

• 24. Sie haben einen vollständigen Versuchsplan der Form 4² durchgeführt. Da Sie sich nicht die Mühe machen wollten, eine orthogonale Basis für ein solches Experiment zu entwickeln, entschließen Sie sich, für dieses Experiment einen zweistufigen faktoriellen Versuchsplan zu verwenden. Lösen Sie die folgenden Aufgaben:

  • a) Welches Modell ist mit dem ursprünglichen 4² Experiment anzupassen?

  • b) Erläutern Sie genau, wie man dieses Experiment als zweistufigen Versuchsplan behandeln kann.

  • c) Können Sie mit dieser Art der Analyse das Originalmodell anpassen?

• 25. Als Anlageningenieur wurden Sie aufgefordert, die Leistungsfähigkeit eines chemischen Reaktors zu optimieren. Verwenden Sie die folgenden Informationen, um einen potenziellen Versuchsplan vorzuschlagen (einschließlich aller Definitionsbeziehungen, Generatoren, Lösungstyp und der Regressionsmatrix hinsichtlich der Faktoren). Begründen Sie Ihre Wahl eindeutig anhand der Anforderungen! Die Ausgangssituation sieht wie folgt aus:

  • a) Es gibt fünf Faktoren (A, B, C, D und E).

  • b) Sie haben es geschafft, das gesamte Experiment innerhalb von zwei Tagen (48 h) durchzuführen.

  • c) Jeder Lauf benötigt zwei Stunden, sodass die Zeit ausreicht, um 24 Läufe durchzuführen.

  • d) Alle Wechselwirkungen dritter und höherer Ordnung können vernachlässigt werden.

  • e) Es wird davon ausgegangen, dass nur einige der fünf Faktoren relevant sind.

  • f) Es ist erwünscht, einige der Läufe um die Zentrumspunkte durchzuführen, um die Krümmung und Variabilität der Ergebnisse zu untersuchen.

• 26. Betrachten Sie den folgenden 3³⁻¹-faktoriellen Versuchsplan mit dem Generator

  $$x_{3}^{2} = x_{1} x_{2}^{2} !$$

  Beantworten Sie folgende Aufgaben!

  • a) Wie lautet die vollständige Definitionsbeziehung für dieses Experiment?

  • b) Bestimmen Sie alle Vermengungsbeziehungen! (Hinweis: Es gibt 18 Beziehungen.)

  • c) Welche Art von Modell könnte man mit diesem Experiment anpassen? Geben Sie alle zu schätzenden Terme an!

• 27. Schlagen Sie ein 2⁶⁻²-faktorielles Experiment vor, sodass der Lösungstyp IV ist!

• 28. Bestimmen Sie einen geeigneten Versuchsplan für ein 3⁴⁻¹-faktorielles Experiment!

4.2.3 Übungen mit Rechnerunterstützung

Die folgenden Probleme sollen mithilfe eines Computers und entsprechender Softwarepakete, wie z. B. MATLAB^® oder Excel^®, gelöst werden.

• 29. Im Artikel „In the Soup: A Case Study to Identify Contributors to Filling Variability“, Hare (1988) geht es um das Problem, die Größen zu bestimmen, die die Befüllung von Beutelsuppen beeinflussen. Fünf verschiedene Variablen wurden berücksichtigt: (A) Anzahl der im Rührwerk verwendeten Füllöffnungen; (B) die Betriebstemperatur; (C) die Rührzeit in Sekunden; (D) das Füllgewicht in Pfund (lbs.) und (E) die Verzögerung zwischen Rühren und Verpacken. Die Betriebstemperatur wurde mit einem Kühlmantel sichergestellt: Entweder war der Kühlmantel eingeschaltet (gekennzeichnet durch C) oder der Prozess wurde bei Umgebungsbedingungen betrieben (gekennzeichnet durch A). Die Ergebnisse sind in Tab. 4.12 dargestellt. Lauf 7 stellt die normalen Betriebsbedingungen dar. Die Ergebnisse werden in der Reihenfolge ihrer Ausführung angegeben.

  • a) Bestimmen Sie eine geeignete Kodierung für dieses Experiment!

  • b) Wie lautet der Generator dieses Versuchsplans?

  • c) Was ist der Lösungstyp dieses Versuchsplans?

  • d) Bestimmen Sie die Faktoren! Welcher ist der relevanteste?

  • e) Analysieren Sie die Residuen unter Verwendung des reduzierten Modells und stellen Sie fest, ob die Anforderungen des Versuchsplans erfüllt werden!

  Tab. 4.12 Variabilität von Beutelsuppen (für Aufgabe 29)

• 30. Betrachten Sie das Problem, um zu ermitteln, welche Bedingungen die Lebensdauer (in Stunden) eine Werkzeugmaschine beeinflussen. Die zu untersuchenden Faktoren sind: Schnittgeschwindigkeit (A), Werkzeuggeometrie (B) und Schnittwinkel (C). Betrachten Sie den folgenden vollständigen Versuchsplan, dessen Regressionsmatrix und Ergebnisse in Tab. 4.13 dargestellt sind! Führen Sie alle Analysen mit dem 95 %-Vertrauensbereich durch und lösen Sie die folgenden Aufgaben:

  • a) Bestimmen Sie ein Modell für den vollfaktoriellen Versuchsplan!

  • b) Passen Sie das Modell an und ermitteln Sie die Vertrauensbereiche für die Parameterschätzungen! Legen Sie fest, welche Parameter beibehalten werden sollten!

  • c) Berechnen Sie den F-Wert für jede Parameterschätzung. Legen Sie fest, welche Parameter jetzt beibehalten werden sollten.

  • d) Sind die Ergebnisse von b) und c) identisch? Handelt es sich um ein zufallsbedingtes Ergebnis oder wird dies immer der Fall sein?

  • e) Welches Modell würden Sie, ausgehend von den Ergebnissen von b) und c), vorschlagen? Welche Wechselwirkungen sind signifikant und warum?

  • f) Überprüfen Sie die Residuen des vollständigen Modells und bestimmen Sie, ob es Probleme bei der Verteilung der Residuen gibt! (Hinweis: Zeichnen Sie die Residuen für jede Wiederholung in verschiedenen Farben oder in separaten Diagrammen.)

• 31. Betrachten Sie die Daten der Tab. 4.14, die zur Optimierung des Kristallwachstums dienen. Bei der Kristallzüchtung ist das Ziel, einen möglichst schweren Kristall herzustellen. Analysieren Sie mithilfe der in diesem und den vorangegangenen Kapiteln vorgestellten Konzepte die bereitgestellten Daten, um die folgenden Aufgaben zu lösen:

  • a) Welches ist das beste Modell für die gegebenen Daten?

  • b) Was ist der optimale Betriebspunkt des Prozesses?

  • c) Überprüfen Sie den Versuchsplan kritisch und schlagen Sie Verbesserungsmöglichkeiten vor!

Tab. 4.13 Lebensdauer einer Werkzeugmaschine (für Aufgabe 30)

Tab. 4.14 Optimierung der Kristallzüchtung (für Aufgabe 31)

Anhang C: Lösungen ohne Matrixdarstellung für die Analyse von 2^k-faktoriellen Experimenten

Es wird davon ausgegangen, dass ein 2^k-faktorielles Experiment mit $n_R$ Wiederholungen konzipiert wurde. Darüber hinaus wird davon ausgegangen, dass alle Faktoren so kodiert wurden, dass −1 und 1 die oberen bzw. unteren Stufen im Experiment darstellen. Es wird die gleiche Schreibweise wie in Kap. 4 verwendet. Anstatt Inverse und Transponierte zu berechnen, gelten für ein 2^k-faktorielles Experiment folgende Vereinfachungen:

$${\mathcal{A}}^{T} {\mathcal{A}} = 2^{k} {\mathcal{I}}_{k} ,$$

(4.104)

wobei ${\mathcal{I}}_{k}$ die k × k-Einheitsmatrix ist,

$$\left( {{\mathcal{A}}^{T} {\mathcal{A}}} \right)^{ - 1} = 2^{ - k} {\mathcal{I}}_{k} ,$$

(4.105)

$$\hat{\vec{\beta }} = 2^{ - k} {\mathcal{A}}^{T} \vec{y},$$

(4.106)

Wenn $\bar{\mathcal{A}}$ verwendet wird, dann lauten die Ergebnisse

$$\bar{\mathcal{A}}^{T} \bar{\mathcal{A}} = 2^{k} n_{R} {\mathcal{I}}_{k} ,$$

(4.107)

$$\left( {\bar{\mathcal{A}}^{T} \bar{\mathcal{A}}} \right)^{ - 1} = 2^{ - k} \left( {n_{R} } \right)^{ - 1} {\mathcal{I}}_{k} \,.$$

(4.108)

Die Residuen-Quadratsumme SSE kann mit der folgenden Formel berechnet werden:

$$SSE = \left( {n_{R} - 1} \right)\sum\limits_{i = 1}^{{2^{k} }} {s_{i}^{2} } ,$$

(4.109)

wobei $s_i$ die Standardabweichungen der Wiederholungen der Stufenwertkombination i ist. Damit kann die Standardabweichung $\hat{\sigma }$ wie folgt berechnet werden:

$$\hat{\sigma } = \sqrt {\frac{SSE}{{l^{k} \left( {n_{R} - 1} \right)}}} = \sqrt {\frac{{\sum\limits_{i = 1}^{{2^{k} }} {s_{i}^{2} } }}{{l^{k} }}} \,.$$

(4.110)

Der Effekt jeder Variable ergibt sich mit folgender Formel:

$${\text{Effekt}} = 2\widehat{\beta }.$$

(4.111)