Vektorräume – von Basen und Dimensionen

Appendices

Aufgaben

Gelegentlich enthalten die Aufgaben mehr Angaben, als für die Lösung erforderlich sind. Bei einigen anderen dagegen werden Daten aus dem Allgemeinwissen, aus anderen Quellen oder sinnvolle Schätzungen benötigt.

•	einfache Aufgaben mit wenigen Rechenschritten
••	mittelschwere Aufgaben, die etwas Denkarbeit und unter Umständen die Kombination verschiedener Konzepte erfordern
•••	anspruchsvolle Aufgaben, die fortgeschrittene Konzepte (unter Umständen auch aus späteren Kapiteln) oder eigene mathematische Modellbildung benötigen

4.1.1 Verständnisfragen

4.1 • 

Gelten in einem Vektorraum $V$ die folgenden Aussagen?

• (a) Ist eine Basis von $V$ unendlich, so sind alle Basen von $V$ unendlich.

• (b) Ist eine Basis von $V$ endlich, so sind alle Basen von $V$ endlich.

• (c) Hat $V$ ein unendliches Erzeugendensystem, so sind alle Basen von $V$ unendlich.

• (d) Ist eine linear unabhängige Menge von $V$ endlich, so ist es jede.

4.2 • 

Gegeben sind ein Untervektorraum $U$ eines $\mathbb{K}$-Vektorraums $V$ und Elemente $\boldsymbol{u},\boldsymbol{w}\in V$. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

• (a) Sind $\boldsymbol{u}$ und $\boldsymbol{w}$ nicht in $U$, so ist auch $\boldsymbol{u}+\boldsymbol{w}$ nicht in $U$.

• (b) Sind $\boldsymbol{u}$ und $\boldsymbol{w}$ nicht in $U$, so ist $\boldsymbol{u}+\boldsymbol{w}$ in $U$.

• (c) Ist $\boldsymbol{u}$ in $U$, nicht aber $\boldsymbol{w}$, so ist $\boldsymbol{u}+\boldsymbol{w}$ nicht in $U$.

4.3 • 

Folgt aus der linearen Unabhängigkeit von $\boldsymbol{u}$ und $\boldsymbol{v}$ eines $\mathbb{K}$-Vektorraums auch die linearen Unabhängigkeit von $\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}$ und $\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}$?

4.4 • 

Folgt aus der linearen Unabhängigkeit der drei Vektoren $\boldsymbol{u},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}$ eines $\mathbb{K}$-Vektorraums auch die lineare Unabhängigkeit der drei Vektoren $\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w},\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v},\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w}$?

4.5 • 

Geben Sie zu folgenden Teilmengen des $\mathbb{R}$-Vektorraums $\mathbb{R}^{3}$ an, ob sie Untervektorräume sind, und begründen Sie dies:

• (a) $U_{1}=\left\{\begin{pmatrix}v_{1}\\ v_{2}\\ v_{3}\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{3}\,|\,v_{1}+v_{2}=2\right\}$

• (b) $U_{2}=\left\{\begin{pmatrix}v_{1}\\ v_{2}\\ v_{3}\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{3}\,|\,v_{1}+v_{2}=v_{3}\right\}$

• (c) $U_{3}=\left\{\begin{pmatrix}v_{1}\\ v_{2}\\ v_{3}\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{3}\,|\,v_{1}\,v_{2}=v_{3}\right\}$

• (d) $U_{4}=\left\{\begin{pmatrix}v_{1}\\ v_{2}\\ v_{3}\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{3}\,|\,v_{1}=v_{2}\text{ oder }v_{1}=v_{3}\right\}$

4.6 •• 

Welche der folgenden Teilmengen des $\mathbb{R}$-Vektorraums $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ sind Untervektorräume? Begründen Sie Ihre Aussagen.

• (a) $U_{1}=\{f\in\mathbb{R}^{\mathbb{R}}\,|\,f(1)=0\}$

• (b) $U_{2}=\{f\in\mathbb{R}^{\mathbb{R}}\,|\,f(0)=1\}$

• (c) $U_{3}=\{f\in\mathbb{R}^{\mathbb{R}}\,|\,f$ hat höchstens endlich viele Nullstellen$\}$

• (d) $U_{4}=\{f\in\mathbb{R}^{\mathbb{R}}\,|\,$ für höchstens endlich viele $x\in\mathbb{R}$ ist $f(x)\neq 0\}$

• (e) $U_{5}=\{f\in\mathbb{R}^{\mathbb{R}}\,|\,f$ ist monoton wachsend$\}$

• (f) $U_{6}=\{f\in\mathbb{R}^{\mathbb{R}}\,|\,$ die Abbildung $g\in\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ mit $g(x)=f(x)-f(x-1)$ liegt in $U\}$, wobei $U\subseteq\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ ein vorgegebener Untervektorraum ist.

4.7 •• 

Gibt es für jede natürliche Zahl $n$ eine Menge $A$ mit $n+1$ verschiedenen Vektoren $\boldsymbol{v}_{1},\ldots,\boldsymbol{v}_{n+1}\in\mathbb{R}^{n}$, sodass je $n$ Elemente von $A$ linear unabhängig sind? Geben Sie eventuell für ein festes $n$ eine solche an.

4.8 •• 

Da $\dim(U+V)=\dim U+\dim V-\dim(U\cap V)$ gilt, gilt doch sicher auch analog zu Mengen $\dim(U+V+W)=\dim U+\dim V+\dim W-\dim(U\cap V)-\dim(U\cap W)-\dim(V\cap W)+\dim(U\cap V\cap W)$? Beweisen oder widerlegen Sie die Formel für $\dim(U+V+W)$!

4.1.2 Rechenaufgaben

4.9 • 

Wir betrachten im $\mathbb{R}^{2}$ die drei Untervektorräume $U_{1}=\left\langle\begin{pmatrix}1\\ 2\end{pmatrix}\right\rangle$, $U_{2}=\left\langle\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\ -2\end{pmatrix}\right\rangle$ und $U_{3}=\left\langle\begin{pmatrix}1\\ -3\end{pmatrix}\right\rangle$. Welche der folgenden Aussagen ist richtig?

• (a) Es ist $\left\{\begin{pmatrix}-2\\ -4\end{pmatrix}\right\}$ ein Erzeugendensystem von $U_{1}\cap U_{2}$.

• (b) Die leere Menge $\emptyset$ ist eine Basis von $U_{1}\cap U_{3}$.

• (c) Es ist $\left\{\begin{pmatrix}1\\ 4\end{pmatrix}\right\}$ eine linear unabhängige Teilmenge von $U_{2}$.

• (d) Es gilt $\left\langle U_{1}\cup U_{3}\right\rangle=\mathbb{R}^{2}$.

4.10 •• 

Prüfen Sie, ob die Menge

$$\begin{aligned}\displaystyle B=\Bigg\{&\displaystyle\boldsymbol{v}_{1}=\begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix},\ \boldsymbol{v}_{2}=\begin{pmatrix}1&1\\ 0&0\end{pmatrix},\\ \displaystyle&\displaystyle\boldsymbol{v}_{3}=\begin{pmatrix}0&1\\ -1&0\end{pmatrix},\ \boldsymbol{v}_{4}=\begin{pmatrix}0&0\\ 1&0\end{pmatrix}\Bigg\}\subseteq\mathbb{R}^{2\times 2}\end{aligned}$$

eine Basis des $\mathbb{R}^{2\times 2}$ bildet.

4.11 •• 

Bestimmen Sie eine Basis des von der Menge

$$\begin{aligned}\displaystyle X\,{=}\left\{ \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\\ -1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1\\ -2\end{pmatrix} , \begin{pmatrix}-1\\ -2\\ 0\\ 1\end{pmatrix} , \begin{pmatrix}-1\\ 0\\ 1\\ 0\end{pmatrix} , \begin{pmatrix}1\\ 0\\ -1\\ -1\end{pmatrix} , \begin{pmatrix}2\\ 0\\ -1\\ 0\end{pmatrix} \right\}\end{aligned}$$

erzeugten Untervektorraums $U=\left\langle X\right\rangle$ des $\mathbb{R}^{4}$.

4.12 •• 

Begründen Sie, dass für jedes $n\in\mathbb{N}$ die Menge

$$\begin{gathered}\displaystyle U=\left\{\boldsymbol{u}=\begin{pmatrix}u_{1}\\ \vdots\\ u_{n}\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{n}\,|\,u_{1}+\cdots+u_{n}=0\right\}\end{gathered}$$

einen $\mathbb{R}$-Vektorraum bildet, und bestimmen Sie eine Basis und die Dimension von $U$.

4.13 •• 

Bestimmen Sie die Dimension des Vektorraums

$$\begin{gathered}\displaystyle\left\langle f_{1},f_{2},f_{3}\right\rangle\subseteq\mathbb{R}^{\mathbb{R}}\,.\end{gathered}$$

mit

$$\begin{aligned}\displaystyle f_{1}&\displaystyle\colon\ x\mapsto\sin(x),\\ \displaystyle f_{2}&\displaystyle\colon\ x\mapsto\sin(2x),\\ \displaystyle f_{3}&\displaystyle\colon\ x\mapsto\sin(3x).\end{aligned}$$

4.14 •• 

Es seien $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ verschiedene, linear unabhängige Elemente eines $\mathbb{K}$-Vektorraums $V$. Wir setzen für Skalare $\lambda,\mu,\nu,\sigma\in\mathbb{K}$:

$$\begin{aligned}\displaystyle\boldsymbol{c}&\displaystyle=\lambda\,\boldsymbol{a}+\mu\,\boldsymbol{b}\quad\text{und}\\ \displaystyle\boldsymbol{d}&\displaystyle=\nu\,\boldsymbol{a}+\sigma\,\boldsymbol{b}.\end{aligned}$$

Unter welcher Bedingung an $\lambda,\mu,\nu,\sigma\in\mathbb{K}$ sind $\boldsymbol{c},\boldsymbol{d}$ linear unabhängig?

4.1.3 Beweisaufgaben

4.15 •• 

Begründen Sie, dass sich die Kommutativität der Vektoraddition aus den restlichen Axiomen folgern lässt.

4.16 • 

Es seien $U_{1},U_{2},U_{3}$ Untervektorräume eines $\mathbb{K}$-Vektorraums $V$. Weiter gelte

$$\begin{gathered}\displaystyle U_{1}+U_{3}=U_{2}+U_{3},U_{1}\cap U_{3}=U_{2}\cap U_{3}\text{ und }U_{1}\subseteq U_{2}\,.\end{gathered}$$

Zeigen Sie $U_{1}=U_{2}$.

4.17 •• 

Eine Funktion $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ heißt gerade (bzw. ungerade), falls $f(x)=f(-x)$ für alle $x\in\mathbb{R}$ (bzw. $f(x)=-f(-x)$ für alle $x\in\mathbb{R}$). Die Menge der geraden (bzw. ungeraden) Funktionen werde mit $G$ (bzw. $U$) bezeichnet. Beweisen Sie: Es sind $G$ und $U$ Untervektorräume von $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$, und es gilt $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}=G\oplus U$.

4.18 ••• 

Es seien $\mathbb{K}$ ein Körper mit $|\mathbb{K}|=\infty$ und $V$ ein $\mathbb{K}$-Vektorraum. Ferner seien $n\in\mathbb{N}$ und $U_{1},\dots,U_{n}$ Untervektorräume von $V$ mit $U_{i}\neq V$ für $i=1,\ldots,n$. Zeigen Sie:

$$\begin{gathered}\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n}U_{i}\neq V.\end{gathered}$$

(Anders formuliert: Ist $|\mathbb{K}|=\infty$, so lässt sich $V$ nicht als Vereinigung endlich vieler echter Untervektorräume schreiben.)

Antworten zu den Selbstfragen

Antwort 4.1

Für alle $\boldsymbol{u},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}$ aus $V$ gilt:

• (AG1) $\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w}\in V$ (Abgeschlossenheit).

• (AG2) $(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v})+\boldsymbol{w}=\boldsymbol{u}+(\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w})$ (Assoziativität).

• (AG3) Es gibt ein Element $\mathbf{0}\in V$ mit $\boldsymbol{v}+\mathbf{0}=\boldsymbol{v}$ (Existenz eines neutralen Elements).

• (AG4) Es gibt ein $\boldsymbol{v}^{\prime}\in V$ mit $\boldsymbol{v}+\boldsymbol{v}^{\prime}=\mathbf{0}$ (Existenz eines entgegengesetzten Elements).

• (AG5) $\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w}=\boldsymbol{w}+\boldsymbol{v}$ (Kommutativität).

Antwort 4.2

Da Matrizen Abbildungen sind, sind diese genau dann gleich, wenn sie dieselbe Definitions- und Wertemenge und dieselben Bilder haben: Zwei $m\times n$-Matrizen $\boldsymbol{A}=(a_{ij})$ und $\boldsymbol{B}=(b_{ij})$ über $\mathbb{K}$ sind also genau dann gleich, wenn $a_{ij}=b_{ij}$ für alle $i,j$ gilt.

Antwort 4.3

Natürlich ist auch für jeden Körper $\mathbb{K}$ die Menge $\mathbb{K}^{\emptyset}$ ein $\mathbb{K}$-Vektorraum, obiger Beweis gilt für jede Menge $M$. Die Menge $\mathbb{K}^{\emptyset}$ besteht aber nur aus einem Element, nämlich der leeren Menge – es ist $\emptyset$ die einzige existierende Abbildung von $\emptyset$ in $\mathbb{K}$ (beachte die Definition einer Abbildung auf Seite 1.3.1). Der Vektorraum $\mathbb{K}^{\emptyset}$ ist somit der triviale Vektorraum $\{\emptyset\}$, das einzige Element $\emptyset$ ist der Nullvektor.

Antwort 4.4

Neben den trivialen Untervektorräumen sind für alle $\boldsymbol{v}\neq\mathbf{0}\neq\boldsymbol{w}$ und $\boldsymbol{w}\notin\mathbb{R}\,\boldsymbol{v}$ die Mengen $\mathbb{R}\,\boldsymbol{v}$ und $\mathbb{R}\,\boldsymbol{v}+\mathbb{R}\,\boldsymbol{w}=\{\lambda\,\boldsymbol{v}+\mu\,\boldsymbol{w}\,|\,\lambda,\mu\in\mathbb{R}\}$ Untervektorräume. Tatsächlich gibt es keine weiteren Untervektorräume im $\mathbb{R}^{3}$.

Antwort 4.5

Von denen gibt es nur die trivialen $\begin{pmatrix}a&a\\ a&a\end{pmatrix}$. Ist nämlich $\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}$ ein solches magisches Quadrat, so folgt aus

$$\begin{gathered}\displaystyle a+b=c+d=a+c=b+d=a+d=b+c\end{gathered}$$

sofort $a=b=c=d$.

Antwort 4.6

Ja. Der Vektorraum $V$ selbst ist stets ein Erzeugendensystem, es gilt $V=\left\langle V\right\rangle$.

Antwort 4.7

Ja, dies folgt aus der Definition.

Antwort 4.8

Der Nullvektorraum $\{\mathbf{0}\}$ besitzt die einzige Basis $\emptyset$ und der $\mathbb{Z}_{2}$-Vektorraum $\mathbb{Z}_{2}$ besitzt die einzige Basis $\{\overline{1}\}$. Jeder $\mathbb{K}$-Vektorraum besitzt im Fall $\mathbb{K}\neq\mathbb{Z}_{2}$ mehr als eine Basis, da man einen Basisvektor $\boldsymbol{b}$ nämlich stets durch $\lambda\,\boldsymbol{b}$ mit $\lambda\in\mathbb{K}\setminus\{0\}$ ersetzen kann, man erhält so wieder eine Basis.

Antwort 4.9

• 1. Nein, der $\mathbb{R}^{2}$ ist keine Basis von $\left\langle\mathbb{R}^{2}\right\rangle=\mathbb{R}^{2}$.

• 2. Ja, jede linear unabhängige Menge $X$ ist Basis von $\left\langle X\right\rangle$.

Antwort 4.10

Ja! Dass $B$ ein Erzeugendensystem von $V$ ist, folgt aus der Tatsache, dass sich jeder Vektor als Linearkombination von $B$ darstellen lässt. Zu überlegen bleibt also nur, dass $B$ linear unabhängig ist. Es seien $\boldsymbol{v}_{1},\ldots,\boldsymbol{v}_{n}$ irgendwelche Vektoren aus $B$. Aus der Gleichung

$$\begin{gathered}\displaystyle\lambda_{1}\boldsymbol{v}_{1}+\cdots+\lambda_{n}\boldsymbol{v}_{n}=\mathbf{0}\end{gathered}$$

mit $\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}\in\mathbb{K}$ folgt wegen der eindeutigen Darstellbarkeit des Nullvektors sogleich $\lambda_{1}=\cdots=\lambda_{n}=0$, da natürlich der Nullvektor trivial dargestellt werden kann,

$$\begin{gathered}\displaystyle 0\,\boldsymbol{v}_{1}+\cdots+0\,\boldsymbol{v}_{n}=\mathbf{0}\,.\end{gathered}$$

Antwort 4.11

Der $\mathbb{R}$-Vektorraum $\mathbb{R}$ hat die Dimension 1, und jede von null verschiedene Zahl ist als Basisvektor wählbar.

Antwort 4.12

Es ist $U+W$ nicht leer, weil der Nullvektor $\mathbf{0}$ in $U+W$ liegt. Weiter liegen mit zwei Elementen $\boldsymbol{u}+\boldsymbol{w},\boldsymbol{u}^{\prime}+\boldsymbol{w}^{\prime}\in U$ und $\lambda\in\mathbb{K}$ stets auch $\boldsymbol{u}+\boldsymbol{w}+\boldsymbol{u}^{\prime}+\boldsymbol{w}^{\prime}=(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{u}^{\prime})+(\boldsymbol{w}+\boldsymbol{w}^{\prime})$ und $\lambda\,(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{w})=\lambda\,\boldsymbol{u}+\lambda\,\boldsymbol{w}$ wieder in $U$.

Antwort 4.13

Nein, man wähle etwa zwei verschiedene Basen $M_{U}$ und $M_{W}$ eines Vektorraumes $U=W$.

Antwort 4.14

• (i) Wegen $\boldsymbol{v}-\boldsymbol{v}=\mathbf{0}\in U$ für alle $\boldsymbol{v}\in V$ gilt $\boldsymbol{v}\sim\boldsymbol{v}$ für alle $\boldsymbol{v}\in V$.

• (ii) Da mit jedem Element $\boldsymbol{u}\in U$ auch $-\boldsymbol{u}$ in $U$ liegt, folgt aus $\boldsymbol{v}\sim\boldsymbol{w}$, d. h $\boldsymbol{v}-\boldsymbol{w}\in U$, auch $\boldsymbol{w}-\boldsymbol{v}\in U$, d. h $\boldsymbol{w}\sim\boldsymbol{v}$.

• (iii) Da mit je zwei Elementen aus $U$ auch deren Summe in $U$ liegt, folgt aus $\boldsymbol{u}\sim\boldsymbol{v}$ und $\boldsymbol{v}\sim\boldsymbol{w}$, d. h. $\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v},\boldsymbol{v}-\boldsymbol{w}\in U$ sogleich $\boldsymbol{u}-\boldsymbol{w}\in U$, d. h. $\boldsymbol{u}\sim\boldsymbol{w}$.