Zusammenfassung
Dieser Appendix fasst zunächst die wichtigsten grundlegenden Resultate der Wahrscheinlichkeitstheorie, die für dieses Buch notwendig sind, zusammen. Wir können auf viele Bücher verweisen, wie z. B. Feller (1971), Shiryayev (1984) oder Karr (1993).
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Notes
- 1.
Eine Seminorm erfüllt \( ||x|| \ge 0\), \( ||cx|| = |c| ||x||\) und \(|| x + y || \le ||x|| + ||y||\). Hier sind x und y Elemente eines Vektorraums und c ist in \(\mathbb {R}\) oder \(\mathbb {C}\). Um eine Norm zu haben, braucht man noch \(|| x || = 0 \Rightarrow x = 0\). (Die Umkehr gilt immer: \(||0 || = || 0 \cdot 0 || = 0 || 0 || = 0\).) Damit wird \(d(x, y) = ||x-y||\) eine Pseudometrik, d. h. eine Metrik für welche \(d(x, y) = 0\) für einige \(x \ne y\) möglich ist. Diese Pseudometrik definiert die Äquivalenzrelation \(x \sim y \Leftrightarrow d(x, y) = 0\).
- 2.
Ein Vektorraum mit einer Pseudometrik heißt vollständig, falls alle Cauchy-Folgen konvergieren. Ein normierter und vollständiger Vektorraum heißt Banachraum. Falls dazu ein Skalarprodukt \(\langle x , y \rangle \) definiert ist, dann heißt dieser Raum Hilbertraum.
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Gatto, R. (2020). Appendix. In: Stochastische Modelle der aktuariellen Risikotheorie. Masterclass. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-60924-8_8
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-60924-8_8
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Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
Print ISBN: 978-3-662-60923-1
Online ISBN: 978-3-662-60924-8
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