Zufallsvariablen mit Dichte

Zusammenfassung

Nicht alle in der Wirklichkeit auftretenden Zufallsvariablen sind diskret. In diesem Kapitel führen wir deshalb zuerst einige Begriffe für allgemeine Zufallsvariablen ein, und lernen dann einige besonders wichtige Verteilungen kennen, die mithilfe einer Dichte beschrieben werden können. Mithilfe von Dichten können Wahrscheinlichkeiten und Kenngrößen berechnet werden. Wichtige Beispiele sind die Normalverteilung und die Exponentialverteilung. Außerdem werden kurz mehrdimensionale Zufallsvariablen mit Dichten eingeführt.

Aufgaben

6.1

Welche der folgenden Funktionen $f:\mathbb {R}\rightarrow \mathbb {R}$ sind Wahrscheinlichkeitsdichten?

• a) $f(x)=x, {\text {f}}{\ddot{\text {u}}}{\text {r }} 0 \le x\le \sqrt{2}, f(x)=0$ sonst.

• b) $f(x)=\frac{1}{2} \sin (x)$ für $0 \le x\le \pi , f(x)=0$ sonst.

• c) $f(x)=x^{2}-2x+\frac{1}{3}$ für $0 \le x\le 3, f(x)=0$ sonst.

• d) $f(x)=\frac{1}{2^k}$ für $(k-1) < x\le k \, \forall k \in \mathbb {N}, f(x)=0$ sonst.

6.2

Für $c>0$ sei $f:\mathbb {R}\rightarrow [0,\infty )$ definiert durch

$$ f(x)={\left\{ \begin{array}{ll}c\cdot x^{-3}, &{} x\ge 1\\ 0 &{} \text {sonst.} \end{array}\right. } $$

a) Bestimmen Sie c sodass f eine Dichte ist. b) Berechnen Sie $\mathbb {E}[X]$ für eine Zufallsvariable X mit Dichte f. c) Berechnen Sie $\mathbb {V}(X)$. d) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion $F_X$.

6.3

Zeigen Sie, dass der Erwartungswert der Gleichverteilung aus Beispiel 6.3 gegeben ist durch $\mathbb {E}[X]=\frac{b+a}{2}$. Berechnen Sie auch die zugehörige Varianz.

6.4

Für $a, b\ge 0$ sei $g:\mathbb {R}\rightarrow [0,\infty )$ definiert durch

$$g(x)= {\left\{ \begin{array}{ll}a &{} {\text {falls }} x\in [-5,-4],\\ b&{} {\text {falls }} x\in [1,3],\\ 0&{} {\text {sonst.}}\end{array}\right. }$$

g) Bestimme a und b sodass g die Dichte einer Zufallsvariable X mit $\mathbb {E}[X]=1$ ist. b) Berechne $\mathbb {P}(X>0)$ für eine Zufallsvariable X mit Dichte g. c) Berechne $\mathbb {P}(|X|\le 2)$. d) Berechne $\mathbb {P}(X=-4)$.

6.5

Man beweise die Aussage über die Varianz in Satz 6.5.

6.6

Sei Y eine exponentialverteilte Zufallsvariable mit Parameter $\lambda =2/3$. Berechne a) $\mathbb {E}[Y^2],$ b) $\mathbb {P}(1\le Y<5/2),$ c) $\mathbb {P}(Y^2\ge 4)$ d) $\mathbb {P}(2Y<1)$.

6.7

Beweisen Sie die Konvergenz (6.1).

6.8

Sei X exponentialverteilt mit Parameter $\lambda$. Zeigen Sie: Dann gilt $\mathbb {P}(X> a+b\,|\, X> a)=\mathbb {P}(X>b)$ für alle $a, b>0$.

6.9

Seien $X_1,..., X_n$ unabhängige, normalverteilte Zufallsvariablen, welche alle denselben Erwartungswert $\mu$ und dieselbe Varianz $\sigma ^2$ haben. Zeigen Sie: Dann ist

$$\begin{aligned} Y:=\frac{1}{\sigma \sqrt{n}}\sum _{i=1}^n (X_i-\mu ) \end{aligned}$$

standardnormalverteilt.

6.10

Sei Y standardnormalverteilt. Zeigen Sie: Dann ist $X=aY+b$ normalverteilt mit Parametern $\mathbb {E}[X]=b$ und $\mathbb {V}(X)=a^2$.

6.11

Sei X eine normalverteilte Zufallsvariable mit Parametern $\mu =1, \sigma ^2=4$. Berechne a) $\mathbb {P}(X\ge 0),$ b) $\mathbb {P}(-4\le X\le -3),$ c) $\mathbb {P}(|X|< 2)$, d) $\mathbb {P}(3X<4)$.

6.12

Sei X eine normalverteilte Zufallsvariable mit Parametern $\mu =0, \sigma ^2=1$. a) Bestimmen Sie $x\in \mathbb {R}$ sodass $\mathbb {P}(X\ge x)=0{,}5$. b) Bestimmen Sie $y\in \mathbb {R}$ sodass $\mathbb {P}(|X|\ge y)=0{,}5$.

6.13

Es seien X, Y zwei Zufallsvariablen mit gemeinsamer Dichte

$$f(x, y)={\left\{ \begin{array}{ll}\frac{1}{4}xy^2&{} {\text { falls }}x\in [0,2], y\in [-1,2],\\ 0&{}\text { sonst. } \end{array}\right. }$$

Berechnen Sie $\mathbb {P}(X\le 1, Y\ge 1), \mathbb {E}[X], \mathbb {E}[Y], \mathrm {cov}(X, Y)$ sowie die Randdichten.