Verzweigungsprozesse und erzeugende Funktionen

Zusammenfassung

Verzweigungsprozesse können als Algorithmus für die Erzeugung zufälliger Bäume aufgefasst werden. Wir betrachten in diesem Kapitel eine spezielle Konstruktion, welche auf den sogenannten Galton-Watson-Prozess führt. Wir führen wahrscheinlichkeitserzeugende Funktionen ein, um das Aussterbeverhalten solcher Prozesse zu analysieren. Zentrales Ergebnis ist ein Theorem, welches die Aussterbewahrscheinlichkeit eines Galton-Watson-Prozesses charakterisiert.

Aufgaben

13.1

Es sei X eine Zufallsvariable mit wahrscheinlichkeitserzeugender Funktion $g_X$. Zeigen Sie:

$$\begin{aligned} \mathbb {E}[X(X-1)\ldots (X-k+1)]=g_X^{(k)}(1) \end{aligned}$$

Folgern Sie daraus

$$\begin{aligned} \mathbb {V}(X)=g_X''(1)+g_X'(1)-(g_X'(1))^2. \end{aligned}$$

13.2

Berechnen Sie die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion der Bernoulli- und der Binomialverteilung. Hinweis: Satz 13.5 verwenden.

13.3

Es seien $X_i, i\in \mathbb {N}$ unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen, und sei Z unabhängig davon. Sei $Y=\sum _{i=1}^Z X_i$. Zeigen Sie: $g_Y(t)=g_Z(g_{X_1}(t))$.

13.4

Sei X eine Zufallsvariable mit $X(\Omega )=\{0,1,2\}$ und Verteilung $(q_k)_{k\in \{0,1,2\}}$ gegeben durch

$$q_k={\left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2},&{} k=0,\\ \frac{1}{4}, &{} k=1,\\ \frac{1}{4}&{} k=2. \end{array}\right. }$$

Weiter sei $(Z_n)_{n\in \mathbb {N}_0}$ ein Galton-Watson-Verzweigungsprozess mit Nachkommenverteilung $(q_k)_{k\in \{0,1,2\}}$. (a) Berechnen Sie $\mathbb {E}[X]$ sowie die erzeugende Funktion $g_X(t)=\mathbb {E}[t^X]$. (b) Berechnen Sie die Aussterbewahrscheinlichkeit.

13.5

Es sei $q_0=p, q_1=1-p$ für $p\in ]0,1[$. Man zeige ohne die Verwendung von Satz 13.4, dass der zugehörige Galton-Watson-Prozess mit Wahrscheinlichkeit 1 ausstirbt, und dass $\min \{n: Z_n=0\}$ geometrisch verteilt mit Paramter p ist.