Mathematische Grundlagen

Zusammenfassung

Wenn Physiker sagen, dass Physik die exakteste aller Naturwissenschaften sei, dann haben sie meistens das Ideal vor Auge, dass die Physik die Vorgänge in der Natur nicht nur mit Worten qualitativ beschreibt, sondern diese mit mathematischen Modellen simuliert und quantitative Angaben zu den verschiedenen beteiligten Größen macht. Für die Physik bewegen sich Wassermoleküle bei einer Temperatur von 300 K nicht einfach „ziemlich schnell“, sondern mit 370,8 m/s. Die Knallgasreaktion ist nicht nur exotherm, sondern gibt 286 kJ pro Mol entstandenen Wassers frei. In diesem Kapitel wiederholen wir kurz und knapp einige mathematische Grundlagen, auf die wir in diesem Studienmodul angewiesen sein werden. Mit ihrer Hilfe werden wir viele physikalische Formeln besser verstehen und mit ihnen rechnen können. Häufig wird uns sogar ein Blick auf eine Gleichung genügen, um ihre wesentlichen Eigenschaften zu erfassen - ganz ohne Rechnung.

Zusammenfassung

• Physikalische Modelle entstehen durch Beobachtungen von Phänomenen, zu deren Erklärung Hypothesen aufgestellt werden. In Experimenten werden diese Hypothesen überprüft. Eine Hypothese, die während der empirischen Tests erfolgreich deren Ergebnisse vorhersagt, wird zur Theorie, die so lange gültig ist, bis sie einer neuen Beobachtung widerspricht.

• Die Werte von physikalischen Größen bestehen aus einer Zahl und einer Einheit. Nur beide zusammen sind eine vollständige Angabe.

• Es gibt sieben Grund- oder Basisgrößen: Länge, Masse, Zeit, elektrischen Strom, thermodynamische Temperatur, Stoffmenge und Lichtstärke. Alle anderen physikalischen Größen lassen sich durch Kombinationen dieser Basisgrößen herleiten.

• Zu jeder Basisgröße gehört eine Basiseinheit. Durch Kombination können wir weitere abgeleitete Einheiten schaffen.

• Sehr große und sehr kleine Zahlen werden in Exponentialschreibweise und/oder mit Vorsilben vor ihrer Einheit festgehalten.

• Größenordnungen sind grobe Abschätzungen für schnelle Vergleiche. Zwei aufeinanderfolgende Größenordnungen unterscheiden sich um den Faktor 10.

• Durch eine Dimensionsanalyse können wir prüfen, ob eine physikalische Gleichung formal korrekt sein kann. Nur Gleichungen mit denselben Dimensionen auf beiden Seiten können überhaupt fehlerfrei sein. Als Dimension gilt jede Basisgröße.

• Als signifikante Stellen gelten alle Ziffern mit Ausnahme randständiger Nullen, die lediglich die Lage des Kommas festsetzen.

• Bei Additionen und Subtraktionen darf das Ergebnis maximal so viele Nachkommastellen haben wie die Ausgangszahl mit den wenigsten Nachkommastellen.

• Bei Multiplikationen und Divisionen darf das Ergebnis nicht mehr signifikante Stellen haben als die Ausgangszahl mit den wenigsten signifikanten Stellen.

• Bei praktischen Messungen treten systematische und statistische Fehler auf. Systematische Fehler lassen sich durch sorgfältiges Arbeiten, gute Instrumente und unterschiedliche Messmethoden minimieren. Statistische Fehler heben sich durch Mitteln möglichst vieler Messungen zunehmend auf.

• Messergebnisse mit einer symmetrischen Abweichung vom Mittelwert lassen sich mit der Normalverteilung beschreiben.

• Als Maß für die Größe der Abweichungen gilt die Standardabweichung. Innerhalb der Grenzen von einer Standardabweichung in beide Richtungen liegen knapp über zwei Drittel aller Messwerte.

• Durch Fehlerfortpflanzung beim Rechnen mit mehreren Messwerten können sich Messfehler verstärken. Über eine Fehlerrechnung lässt sich ihr Einfluss abschätzen.

• Potenzen und Logarithmen können zu verschiedenen Zahlen als Basis gebildet werden. Am gebräuchlichsten sind 10 und die Euler’che Zahl e.

• Skalare bestehen nur aus einer Zahl und ggf. einer Einheit. Vektoren haben zusätzlich eine Richtung. Sie werden zeichnerisch als Pfeile dargestellt.

• Das Skalarprodukt zweier Vektoren beschreibt das Zusammenwirken zweier Vektorgrößen. Es ist ein Skalar.

• Beim Vektorprodukt schaffen zwei Vektoren eine neue Vektorgröße, die senkrecht zu den Ausgangsgrößen steht.

• Winkel werden in der Physik nicht nur im Gradmaß angegeben, sondern häufig im Bogenmaß.

• Im Bogenmaß dürfen die trigonometrischen Funktionen kleiner Winkel häufig durch die Winkel selbst genähert werden.

• In Funktionen haben die Konstanten immer einen festen Wert, mit dem sie die Umrechnung zwischen Dimensionen und Einheiten ermöglichen. Über Parameter, denen ein fester Wert zugewiesen wird, findet die Grobabstimmung statt. Die Variablen ändern ihren Wert und bestimmen so den Funktionswert.

• Über die Ableitung einer Funktion erfahren wir, wie schnell sich der Funktionswert in der Zeit oder im Raum verändert.

• Durch Integration sammeln wir unzählige infinitesimal kleine Änderungen einer Größe zu einer messbaren Änderung.

• Differenzialgleichungen enthalten neben einer Variablen auch die Ableitung der Funktion mit dieser Variablen.

• Die e-Funktion ist eine häufige Lösung für gewöhnliche Differenzialgleichungen erster Ordnung.