Anhang

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden zunächst die Lösungen einiger Tangentialkontaktprobleme, basierend auf der elastischen Fundamentallösung, hergeleitet. Außerdem ist eine kurze Übersicht der im Buch verwendeten mathematischen Spezialfunktionen und eine einfache Implementierung des MDR-Modells zur Untersuchung des ebenen Stoßes mit Reibung einer starren Kugel auf einen inkompressiblen viskoelastischen Halbraum in der Programmiersprache der kommerziellen Software MATLAB gegeben.

9.1 Verschiebungen bei Hertzschen Tangentialspannungen

In diesem Unterkapitel werden die tangentialen Verschiebungen eines homogenen elastischen Halbraums unter Einwirkung der Schubspannungsverteilung

$$\begin{aligned} \sigma _{xz}(r) = \frac{\sigma _1}{a}\sqrt{a^2-r^2}, \quad r \le a, \end{aligned}$$

(9.1)

bestimmt. Zunächst gilt die Aufmerksamkeit den Verschiebungen innerhalb des Kontaktkreises. Für eine Erläuterung der verwendeten Notationen sei auf Abb. 9.1 verwiesen.

Betrachtet werde ein Punkt P im Abstand $r \le a$ vom Koordinatenursprung. Die Schubspannung am Punkt Q ist wegen elementarer geometrischer Zusammenhänge durch

$$\begin{aligned} \sigma _{xz}(s,\varphi ) = \frac{\sigma _1}{a}\sqrt{a^2-t^2} = \frac{\sigma _1}{a}\sqrt{a^2-r^2-s^2-2rs\cos \varphi } :=\frac{\sigma _1}{a}\sqrt{A^2-s^2-2Bs}, \end{aligned}$$

(9.2)

mit

$$\begin{aligned} A^2 :=a^2 - r^2, \quad B :=r \cos \varphi , \end{aligned}$$

(9.3)

gegeben. Aus der Fundamentallösung in Gl. (3.1) folgen damit die differentiellen Verschiebungen des Punktes P durch die differentielle Kraft $\text {d}F_x = \sigma _{xz}(s,\varphi )s\text {d}s\text {d}\varphi$:

$$\begin{aligned} \text {d}u_x&= \frac{\text {d}F_x}{2\pi G s}\left( 1-\nu + \nu \cos ^2 \gamma \right) = \frac{\sigma _{xz}(s,\varphi )}{2\pi G}\left( 1-\nu + \nu \cos ^2 \gamma \right) \text {d}s\text {d}\varphi , \end{aligned}$$

(9.4)

$$\begin{aligned} \text {d}u_y&= -\frac{\text {d}F_x}{2\pi G s}\nu \cos \gamma \sin \gamma = -\frac{\sigma _{xz}(s,\varphi )}{2\pi G}\nu \cos \gamma \sin \gamma \text {d}s\text {d}\varphi . \end{aligned}$$

(9.5)

Für die gesamte Verschiebung $u_x$ ergibt sich daher durch Superposition der Ausdruck

$$\begin{aligned} u_x = \frac{\sigma _1}{2\pi G a}\int \limits _0^{2\pi } \left( 1 - \nu + \nu \cos ^2 \gamma \right) \int \limits _0^{s_1} \sqrt{A^2-s^2-2Bs} ~\text {d}s\text {d}\varphi . \end{aligned}$$

(9.6)

Dabei ist $s_1$ die Nullstelle des inneren Integranden,

$$\begin{aligned} s_1 :=-B + \sqrt{A^2 + B^2}. \end{aligned}$$

(9.7)

Die innere Integration über s liefert damit

$$\begin{aligned} \int \limits _0^{s_1} \sqrt{A^2-s^2-2Bs} ~\text {d}s = \frac{A^2+B^2}{2}\left[ \frac{\pi }{2}-\arctan \left( \frac{B}{A}\right) \right] - \frac{BA}{2}. \end{aligned}$$

(9.8)

Wegen der Symmetrie-Eigenschaft

$$\begin{aligned} B(\varphi + \pi ) = -B(\varphi ) \end{aligned}$$

(9.9)

heben sich bei der äußeren Integration alle ungeraden Ausdrücke in B auf und es verbleibt

$$\begin{aligned} u_x&= \frac{\sigma _1}{8Ga}\int \limits _0^{2\pi } \left[ 1 - \nu + \nu \cos ^2\left( \pi -\varphi -\theta \right) \right] \left( a^2-r^2 \sin ^2 \varphi \right) \text {d}\varphi \nonumber \\&= \frac{\pi \sigma _1}{32Ga}\left[ 4(2-\nu )a^2 - (4-3\nu )x^2 - (4-\nu )y^2\right] , \end{aligned}$$

(9.10)

Abb. 9.1

Zur Bestimmung der Verschiebungen innerhalb (a) und außerhalb (b) des Kontaktkreises

(man muss bedenken, dass $\gamma = \pi - \varphi - \theta$ ist). Analog ergibt sich für $u_y$:

$$\begin{aligned} u_y&= -\frac{\sigma _1 \nu }{8Ga} \int \limits _0^{2\pi } \cos \gamma \sin \gamma \left( a^2-r^2\sin ^2 \varphi \right) \text {d}\varphi = \frac{\pi \sigma _1 \nu x y}{16Ga}. \end{aligned}$$

(9.11)

Für die Verschiebungen außerhalb des Kontaktkreises ergeben sich aus der Fundamentallösung und einfachen geometrischen Identitäten die Ausdrücke

$$\begin{aligned} u_x&= \frac{\sigma _1}{2\pi G a}\int \limits _{-\varphi _1}^{\varphi _1}\left( 1-\nu + \nu \cos ^2 \gamma \right) \int \limits _{s_1}^{s_2} \sqrt{A^2 - s^2 + 2Bs} ~\text {d}s \text {d}\varphi , \end{aligned}$$

(9.12)

$$\begin{aligned} u_y&= -\frac{\sigma _1 \nu }{2\pi G a}\int \limits _{-\varphi _1}^{\varphi _1}\cos \gamma \sin \gamma \int \limits _{s_1}^{s_2} \sqrt{A^2 - s^2 + 2Bs} ~\text {d}s \text {d}\varphi . \end{aligned}$$

(9.13)

Man beachte dabei, dass in diesem Fall der Winkel $\varphi$ etwas anders eingeführt ist, als bei der Berechnung der Verschiebungen innerhalb des Kreises (siehe Abb. 9.1b). Die Integralgrenzen sind durch

$$\begin{aligned} \varphi _1&:=\arcsin \left( \frac{a}{r}\right) , \end{aligned}$$

(9.14)

$$\begin{aligned} s_{1/2}&:=B \pm \sqrt{B^2+A^2} \end{aligned}$$

(9.15)

gegeben. Damit ergibt sich aus der inneren Integration jeweils

$$\begin{aligned} \int \limits _{s_1}^{s_2} \sqrt{A^2 - s^2 + 2Bs} ~\text {d}s&= \frac{\pi }{2}\left( B^2+A^2\right) = \frac{\pi }{2}\left( a^2 - r^2\sin ^2 \varphi \right) . \end{aligned}$$

(9.16)

Die Durchführung der äußeren Integration ist für beide Verschiebungen elementar aber mühsam. Man erhält schließlich die gesuchten Ausdrücke

$$\begin{aligned} u_x =\,&\frac{\sigma _1}{16Ga}(4-2\nu )\left[ a\sqrt{r^2-a^2} + \left( 2a^2-r^2\right) \arcsin \left( \frac{a}{r}\right) \right] + \nonumber \\&+ \frac{\sigma _1}{16Ga}\nu \left( x^2-y^2\right) \left[ \arcsin \left( \frac{a}{r}\right) +\frac{a}{r}\left( \frac{2a^2}{r^2}-1\right) \sqrt{1-\frac{a^2}{r^2}}\right] , \end{aligned}$$

(9.17)

$$\begin{aligned} u_y =\,&\frac{\sigma _1 \nu x y}{8Ga}\left[ \arcsin \left( \frac{a}{r}\right) +\frac{a}{r}\left( \frac{2a^2}{r^2}-1\right) \sqrt{1-\frac{a^2}{r^2}}\right] . \end{aligned}$$

(9.18)

9.2 Tangentiale Spannungsverteilungen für Gradientenmedien

9.2.1 Kontakt ohne Gleiten

In diesem Abschnitt wird gezeigt, dass eine Spannungsverteilung  der Form

$$\begin{aligned} \sigma _{xz}(r) = \sigma _1 \left( 1 - \frac{r^2}{a^2}\right) ^{-\frac{1-k}{2}}, \quad r \le a, \end{aligned}$$

(9.19)

aufgebracht an der Oberfläche eines inhomogenen Halbraums mit einer elastischen Gradierung in der Form eines Potenzgesetzes mit dem Exponent k, eine konstante tangentiale Verschiebung $u_{x,0}$ des Gebiets $r \le a$ erzeugt. Die Herleitung gelingt dabei, wie im vorherigen Unterkapitel, durch die Integration der jeweiligen Fundamentallösung.

Mit der Fundamentallösung (3.210), der Skizze in Abb. 9.1 und den in Gl. (9.3) eingeführten Kürzeln erhält man die aus der Spannungsverteilung (9.19) resultierende tangentiale Verschiebung im Kontaktgebiet $r \le a$:

$$\begin{aligned} u_x = \frac{\sigma _1 z_0^ka^{1-k}}{4\pi G_0}\int \limits _0^{2\pi } \left( H \cos ^2 \gamma + P \sin ^2 \gamma \right) \int \limits _0^{s_1} \left( A^2-s^2-2Bs\right) ^{-\frac{1-k}{2}}s^{-k}\text {d}s\text {d}\varphi . \end{aligned}$$

(9.20)

Die Integrationsgrenze $s_1$ ist durch Gl. (9.7) gegeben. Die innere Integration über s liefert den Ausdruck

$$\begin{aligned} \frac{\pi }{2 \cos \left( k\pi / 2\right) } - \frac{\Gamma \left( 1 - \frac{k}{2}\right) \Gamma \left( \frac{1+k}{2}\right) }{\sqrt{\pi }}\frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2}}~{}_2\text {F}_1 \left( \frac{1}{2},\frac{1+k}{2};\frac{3}{2};\frac{B^2}{A^2+B^2}\right) , \end{aligned}$$

(9.21)

mit der in Gl. (9.33) definierten Gamma-Funktion $\Gamma$ und der in Gl. (9.35) definierten Hypergeometrischen Funktion ${}_2\text {F}_1$. Wegen der Symmetrie-Eigenschaft (9.9) trägt nach der Integration über $\varphi$ nur der konstante Term bei und man erhält

$$\begin{aligned} u_x \equiv u_{x,0} = \frac{\pi \sigma _1}{c_T}a^{1-k}, \quad c_T :=8 \cos \left( \frac{k\pi }{2}\right) \frac{G_0}{z_0^k(H + P)}. \end{aligned}$$

(9.22)

Außerdem beträgt die gesamte Tangentialkraft

$$\begin{aligned} F_x = \frac{2\pi \sigma _1 a^2}{1+k} = \frac{2}{1+k}c_T~u_{x,0}~a^{1+k}. \end{aligned}$$

(9.23)

Mithilfe der Fundamentallösung kann man darüber hinaus leicht zeigen, dass die Querverschiebungen $u_y$ im Kontaktgebiet verschwinden.

9.2.2 Parabolischer Kontakt

Für eine Spannungsverteilung der Form

$$\begin{aligned} \sigma _{xz}(r) = \sigma _1 \left( 1 - \frac{r^2}{a^2}\right) ^{\frac{1+k}{2}}, \quad r \le a, \end{aligned}$$

(9.24)

erhält man auf die gleiche Art und Weise wie im vorherigen Abschnitt für die tangentialen Verschiebungen innerhalb des Kontaktgebiets $r \le a$ den Ausdruck

$$\begin{aligned} u_x = \frac{\sigma _1 z_0^k}{4\pi a^{1+k} G_0}\int \limits _0^{2\pi } \left( H \cos ^2 \gamma + P \sin ^2 \gamma \right) \gamma \int \limits _0^{s_1} \left( A^2 - s^2 - 2Bs\right) ^{\frac{1+k}{2}}s^{-k}\text {d}s\text {d}\varphi . \end{aligned}$$

(9.25)

Die innere Integration über s liefert

$$\begin{aligned} \int \limits _0^{s_1} \left( A^2 - s^2 - 2Bs\right) ^{\frac{1+k}{2}}s^{-k}\text {d}s = \left( A^2 + B^2\right) \frac{1+k}{2}\frac{\pi }{2\cos \left( k\pi /2\right) }\left( 1 - \frac{kB^2}{A^2 + B^2}\right) - B\sqrt{A^2 + B^2} \nonumber \\ \times \frac{1+k}{2}\frac{\Gamma \left( 1 - \frac{k}{2}\right) \Gamma \left( \frac{1+k}{2}\right) }{\sqrt{\pi }}\left[ _2\text {F}_1 \left( \frac{1}{2},\frac{1+k}{2};\frac{3}{2};\frac{B^2}{A^2+B^2}\right) +\,_2\text {F}_1 \left( -\frac{1}{2},\frac{1+k}{2};\frac{1}{2};\frac{B^2}{A^2+B^2}\right) \right] , \nonumber \\ \end{aligned}$$

(9.26)

mit den bereits erwähnten Spezialfunktionen.

Wegen der Symmetrie-Eigenschaft (9.9) tragen bei der Integration über $\varphi$ nur die geraden Ausdrücke in B zum Integral bei und man erhält

$$\begin{aligned} u_x&= \frac{\sigma _1 z_0^k(1 + k)}{16 a^{1+k} G_0\cos \left( k\pi /2\right) }\int \limits _0^{2\pi } \left[ H \cos ^2 \left( \pi - \varphi - \theta \right) + P \sin ^2 \left( \pi - \varphi - \theta \right) \right] \left[ a^2 -r^2 + r^2 \cos ^2 \varphi \left( 1 - k\right) \right] \text {d}\varphi \nonumber \\&= \frac{\pi \sigma _1(1 + k)}{2c_T}a^{1-k}\left\{ 1 - \left[ 1 - \frac{(1-k)(3H+P)}{4(H+P)}\right] \frac{x^2}{a^2} - \left[ 1 - \frac{(1-k)(H+3P)}{4(H+P)}\right] \frac{y^2}{a^2}\right\} , \end{aligned}$$

(9.27)

mit dem oben eingeführten Tangentialmodul $c_T$.

Die Querverschiebungen $u_y$ innerhalb des Kontaktgebiets ergeben sich analog zu

$$\begin{aligned} u_y&= \frac{\sigma _1 z_0^k(H-P)}{4\pi a^{1+k} G_0}\int \limits _0^{2\pi } \cos \gamma \sin \gamma \int \limits _0^{s_1} \left( A^2 - s^2 - 2Bs\right) ^{\frac{1+k}{2}}s^{-k}\text {d}s\text {d}\varphi \nonumber \\&= \frac{\pi \sigma _1 z_0^k (1 - k^2)(H - P) x y}{4c_T (H + P) a^{1+k}}. \end{aligned}$$

(9.28)

Für den homogenen Fall $k = 0$ vereinfachen sich diese Ergebnisse natürlich zu den Verschiebungen aus den Gl. (9.10) und (9.11).

9.3 Übersicht der verwendeten Spezialfunktionen

Dieses Unterkapitel bietet eine Übersicht über die wichtigsten nicht-elementaren Funktionen und deren Eigenschaften, die in dem vorliegenden Buch verwendet werden.

9.3.1 Elliptische Integrale

Die unvollständigen Elliptischen Integrale erster und zweiter Art sind als¹

$$\begin{aligned} \text {F}(\theta ,k)&:=\int \limits _0^{\theta } \frac{\text {d}\varphi }{\sqrt{1 - k^2 \sin ^2 \varphi }}, \end{aligned}$$

(9.29)

$$\begin{aligned} \text {E}(\theta ,k)&:=\int \limits _0^{\theta } \sqrt{1 - k^2 \sin ^2 \varphi }~\text {d}\varphi , \end{aligned}$$

(9.30)

definiert. Für $\theta = \pi /2$ erhält man die vollständigen Elliptischen Integrale

$$\begin{aligned} \text {K}(k)&:=\int \limits _0^{\pi /2} \frac{\text {d}\varphi }{\sqrt{1 - k^2 \sin ^2 \varphi }} = \text {F}(\theta = \frac{\pi }{2},k), \end{aligned}$$

(9.31)

$$\begin{aligned} \text {E}(k)&:=\int \limits _0^{\pi /2} \sqrt{1 - k^2 \sin ^2 \varphi }~\text {d}\varphi = \text {E}(\theta = \frac{\pi }{2},k). \end{aligned}$$

(9.32)

9.3.2 Die Gamma-Funktion

Die Eulersche Gamma-Funktion kann man als Verallgemeinerung der für natürliche Zahlen definierten Fakultätsfunktion auf reelle und komplexe Definitionsbereiche verstehen. Für komplexe Zahlen mit positivem Realteil z ist eine mögliche Definition der Gamma-Funktion durch das Integral

$$\begin{aligned} \Gamma (z) :=\int \limits _0^{\infty } t^{z-1} \exp (-t) \text {d}t \end{aligned}$$

(9.33)

gegeben. Die Gamma-Funktion erfüllt die rekursive Eigenschaft

$$\begin{aligned} \Gamma (z+1) = z\Gamma (z), \end{aligned}$$

(9.34)

durch die sie sich auch für negative Realteile von z fortsetzen lässt. Für $z = 0$ und alle negativen ganzen Zahlen ist die Funktion singulär, wie man aus der obigen Rekursionsvorschrift erkennt.

9.3.3 Die Hypergeometrische Funktion

Die Hypergeometrische Funktion kann durch die Potenzreihe

$$\begin{aligned} {}_2\text {F}_1 (a,b;c;z) :=\sum _{n = 0}^{\infty } \frac{\Gamma (a+n)\Gamma (b+n)\Gamma (c)}{\Gamma (a)\Gamma (b)\Gamma (c+n)}\frac{z^n}{\Gamma (1+n)}, \quad |z| \le 1 \end{aligned}$$

(9.35)

dargestellt werden. Die Funktion ist Lösung der Hypergeometrischen Differenzialgleichung

$$\begin{aligned} \frac{\text {d}^2 w}{\text {d}z^2}z(1-z) + \left[ c - (a + b + 1)z\right] \frac{\text {d}w}{\text {d}z} - abw = 0. \end{aligned}$$

(9.36)

Diese hat, falls c keine nicht-positive ganze Zahl ist, in der Umgebung von $z = 0$ die allgemeine Lösung [1, S. 56]

$$\begin{aligned} w(z) = C_1~{}_2\text {F}_1 (a,b;c;z) + C_2~z^{1-c}~{}_2\text {F}_1 (1+a-c,1+b-c;2-c;z), \end{aligned}$$

(9.37)

mit zwei Integrationskonstanten $C_1$ und $C_2$. In der Umgebung von $z = 1$ ist die allgemeine Lösung, falls $c-a-b$ nicht-ganzzahlig ist, durch [1, S. 108]

$$\begin{aligned} w(z) =\,&C_1~{}_2\text {F}_1 (a,b;1+a+b-c;1-z) \nonumber \\&+ C_2 (1-z)^{c-a-b}~{}_2\text {F}_1 (c-a,c-b;1+c-a-b;1-z). \end{aligned}$$

(9.38)

gegeben. Falls c keine nicht-positive ganze Zahl und $\text {Re}(c-a-b)>0$ ist, gilt weiterhin [1, S. 61]

$$\begin{aligned} {}_2\text {F}_1 (a,b;c;1) = \frac{\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}. \end{aligned}$$

(9.39)

Außerdem ist unter diesen Voraussetzungen [2]

$$\begin{aligned} {}_2\text {F}_1 (a,b;c;z) = (1-z)^{c-a-b}{}_2\text {F}_1 (c-a,c-b;c;z) \end{aligned}$$

(9.40)

und mit der Reihendefinition (9.35) erhält man durch gliedweise Differentiation für positive reelle z die Beziehung

$$\begin{aligned} \sqrt{z}~\frac{\text {d}}{\text {d}z}\left[ \sqrt{z}~{}_2\text {F}_1 \left( a,b;\frac{3}{2};z\right) \right] = \frac{1}{2}~{}_2\text {F}_1 \left( a,b;\frac{1}{2};z\right) . \end{aligned}$$

(9.41)

9.3.4 Die Beta-Funktion

Mithilfe der oben eingeführten Hypergeometrischen Funktion lässt sich die unvollständige Beta-Funktion durch

$$\begin{aligned} \text {B}(z;a,b) :=\frac{z^a}{a}~{}_2\text {F}_1 (a,1-b;1+a;z) \end{aligned}$$

(9.42)

definieren. Für positive Parameter a und b lässt sich das auch in der integralen Form

$$\begin{aligned} \text {B}(z;a,b) = \int \limits _0^z t^{a-1} (1 - t)^{b-1} \text {d}t \end{aligned}$$

(9.43)

darstellen. Die vollständige Beta-Funktion ergibt sich wegen Gl. (9.39) zu

$$\begin{aligned} \text {B}(1;a,b) = \frac{\Gamma (a) \Gamma (b)}{\Gamma (a+b)}. \end{aligned}$$

(9.44)

9.4 Quellcode für viskoelastischen schiefen Stoß mit Gleiten

Im Folgenden ist eine einfache Implementierung des MDR-Modells zur Untersuchung des ebenen Stoßes mit Reibung einer starren Kugel auf einen inkompressiblen viskoelastischen Halbraum in der Programmiersprache der kommerziellen Software MATLAB des Unternehmens MathWorks^® gegeben.