Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden zunächst die Lösungen einiger Tangentialkontaktprobleme, basierend auf der elastischen Fundamentallösung, hergeleitet. Außerdem ist eine kurze Übersicht der im Buch verwendeten mathematischen Spezialfunktionen und eine einfache Implementierung des MDR-Modells zur Untersuchung des ebenen Stoßes mit Reibung einer starren Kugel auf einen inkompressiblen viskoelastischen Halbraum in der Programmiersprache der kommerziellen Software MATLAB gegeben.
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9.1 Verschiebungen bei Hertzschen Tangentialspannungen
In diesem Unterkapitel werden die tangentialen Verschiebungen eines homogenen elastischen Halbraums unter Einwirkung der Schubspannungsverteilung
bestimmt. Zunächst gilt die Aufmerksamkeit den Verschiebungen innerhalb des Kontaktkreises. Für eine Erläuterung der verwendeten Notationen sei auf Abb. 9.1 verwiesen.
Betrachtet werde ein Punkt P im Abstand \(r \le a\) vom Koordinatenursprung. Die Schubspannung am Punkt Q ist wegen elementarer geometrischer Zusammenhänge durch
mit
gegeben. Aus der Fundamentallösung in Gl. (3.1) folgen damit die differentiellen Verschiebungen des Punktes P durch die differentielle Kraft \(\text {d}F_x = \sigma _{xz}(s,\varphi )s\text {d}s\text {d}\varphi \):
Für die gesamte Verschiebung \(u_x\) ergibt sich daher durch Superposition der Ausdruck
Dabei ist \(s_1\) die Nullstelle des inneren Integranden,
Die innere Integration über s liefert damit
Wegen der Symmetrie-Eigenschaft
heben sich bei der äußeren Integration alle ungeraden Ausdrücke in B auf und es verbleibt
(man muss bedenken, dass \(\gamma = \pi - \varphi - \theta \) ist). Analog ergibt sich für \(u_y\):
Für die Verschiebungen außerhalb des Kontaktkreises ergeben sich aus der Fundamentallösung und einfachen geometrischen Identitäten die Ausdrücke
Man beachte dabei, dass in diesem Fall der Winkel \(\varphi \) etwas anders eingeführt ist, als bei der Berechnung der Verschiebungen innerhalb des Kreises (siehe Abb. 9.1b). Die Integralgrenzen sind durch
gegeben. Damit ergibt sich aus der inneren Integration jeweils
Die Durchführung der äußeren Integration ist für beide Verschiebungen elementar aber mühsam. Man erhält schließlich die gesuchten Ausdrücke
9.2 Tangentiale Spannungsverteilungen für Gradientenmedien
9.2.1 Kontakt ohne Gleiten
In diesem Abschnitt wird gezeigt, dass eine Spannungsverteilung der Form
aufgebracht an der Oberfläche eines inhomogenen Halbraums mit einer elastischen Gradierung in der Form eines Potenzgesetzes mit dem Exponent k, eine konstante tangentiale Verschiebung \(u_{x,0}\) des Gebiets \(r \le a\) erzeugt. Die Herleitung gelingt dabei, wie im vorherigen Unterkapitel, durch die Integration der jeweiligen Fundamentallösung.
Mit der Fundamentallösung (3.210), der Skizze in Abb. 9.1 und den in Gl. (9.3) eingeführten Kürzeln erhält man die aus der Spannungsverteilung (9.19) resultierende tangentiale Verschiebung im Kontaktgebiet \(r \le a\):
Die Integrationsgrenze \(s_1\) ist durch Gl. (9.7) gegeben. Die innere Integration über s liefert den Ausdruck
mit der in Gl. (9.33) definierten Gamma-Funktion \(\Gamma \) und der in Gl. (9.35) definierten Hypergeometrischen Funktion \({}_2\text {F}_1\). Wegen der Symmetrie-Eigenschaft (9.9) trägt nach der Integration über \(\varphi \) nur der konstante Term bei und man erhält
Außerdem beträgt die gesamte Tangentialkraft
Mithilfe der Fundamentallösung kann man darüber hinaus leicht zeigen, dass die Querverschiebungen \(u_y\) im Kontaktgebiet verschwinden.
9.2.2 Parabolischer Kontakt
Für eine Spannungsverteilung der Form
erhält man auf die gleiche Art und Weise wie im vorherigen Abschnitt für die tangentialen Verschiebungen innerhalb des Kontaktgebiets \(r \le a\) den Ausdruck
Die innere Integration über s liefert
mit den bereits erwähnten Spezialfunktionen.
Wegen der Symmetrie-Eigenschaft (9.9) tragen bei der Integration über \(\varphi \) nur die geraden Ausdrücke in B zum Integral bei und man erhält
mit dem oben eingeführten Tangentialmodul \(c_T\).
Die Querverschiebungen \(u_y\) innerhalb des Kontaktgebiets ergeben sich analog zu
Für den homogenen Fall \(k = 0\) vereinfachen sich diese Ergebnisse natürlich zu den Verschiebungen aus den Gl. (9.10) und (9.11).
9.3 Übersicht der verwendeten Spezialfunktionen
Dieses Unterkapitel bietet eine Übersicht über die wichtigsten nicht-elementaren Funktionen und deren Eigenschaften, die in dem vorliegenden Buch verwendet werden.
9.3.1 Elliptische Integrale
Die unvollständigen Elliptischen Integrale erster und zweiter Art sind alsFootnote 1
definiert. Für \(\theta = \pi /2\) erhält man die vollständigen Elliptischen Integrale
9.3.2 Die Gamma-Funktion
Die Eulersche Gamma-Funktion kann man als Verallgemeinerung der für natürliche Zahlen definierten Fakultätsfunktion auf reelle und komplexe Definitionsbereiche verstehen. Für komplexe Zahlen mit positivem Realteil z ist eine mögliche Definition der Gamma-Funktion durch das Integral
gegeben. Die Gamma-Funktion erfüllt die rekursive Eigenschaft
durch die sie sich auch für negative Realteile von z fortsetzen lässt. Für \(z = 0\) und alle negativen ganzen Zahlen ist die Funktion singulär, wie man aus der obigen Rekursionsvorschrift erkennt.
9.3.3 Die Hypergeometrische Funktion
Die Hypergeometrische Funktion kann durch die Potenzreihe
dargestellt werden. Die Funktion ist Lösung der Hypergeometrischen Differenzialgleichung
Diese hat, falls c keine nicht-positive ganze Zahl ist, in der Umgebung von \(z = 0\) die allgemeine Lösung [1, S. 56]
mit zwei Integrationskonstanten \(C_1\) und \(C_2\). In der Umgebung von \(z = 1\) ist die allgemeine Lösung, falls \(c-a-b\) nicht-ganzzahlig ist, durch [1, S. 108]
gegeben. Falls c keine nicht-positive ganze Zahl und \(\text {Re}(c-a-b)>0\) ist, gilt weiterhin [1, S. 61]
Außerdem ist unter diesen Voraussetzungen [2]
und mit der Reihendefinition (9.35) erhält man durch gliedweise Differentiation für positive reelle z die Beziehung
9.3.4 Die Beta-Funktion
Mithilfe der oben eingeführten Hypergeometrischen Funktion lässt sich die unvollständige Beta-Funktion durch
definieren. Für positive Parameter a und b lässt sich das auch in der integralen Form
darstellen. Die vollständige Beta-Funktion ergibt sich wegen Gl. (9.39) zu
9.4 Quellcode für viskoelastischen schiefen Stoß mit Gleiten
Im Folgenden ist eine einfache Implementierung des MDR-Modells zur Untersuchung des ebenen Stoßes mit Reibung einer starren Kugel auf einen inkompressiblen viskoelastischen Halbraum in der Programmiersprache der kommerziellen Software MATLAB des Unternehmens MathWorks® gegeben.
Notes
- 1.
Man muss beachten, dass in Büchern und mathematischen Datenbanken keine einheitliche Praxis zur Verwendung des Moduls der Elliptischen Integrale besteht, es wird teilweise k und teilweise \(m :=k^2\) als Modul benutzt.
Literatur
Bateman, H. (1953). Higher transcendental functions. In A. Erdelyi (Hrsg.), Higher transcendental functions. Bd 1, New York: McGraw-Hill
Jäger, J. (1994). Analytical solutions of contact impact problems. Applied Mechanics Review, 47(2), 35–54.
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Willert, E. (2020). Anhang. In: Stoßprobleme in Physik, Technik und Medizin. Springer Vieweg, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-60296-6_9
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