Grundzüge der Maß- und Integrationstheorie – vom Messen und Mitteln

Zusammenfassung

Gegenstand der Maß- und Integrationstheorie sind Maßräume und der dazugehörige Integrationsbegriff. Kenntnisse dieses Teilgebiets der Mathematik sind unerlässlich für jede systematische Darstellung der Stochastik und anderer mathematischer Disziplinen, insbesondere der Analysis. In diesem Kapitel stellen wir zunächst das klassische Inhalts- und Maßproblem sowie verschiedene grundlegende Mengensysteme wie etwa Sigma-Algebren und Dynkin-Systeme vor. Wichtige Ergebnisse der Maßtheorie sind der Maß-Fortsetzungssatz mit dem Lemma von Caratheodory sowie der Eindeutigkeitssatz für Maße. Zentrale Resultate der Integrationstheorie sind das Lemma von Fatou, der Satz von der monotonen Konvergenz von Beppo Levi, der Satz von der dominierten Konvergenz von Henri Lebesgue sowie der Satz von Riesz-Fischer über die Vollständigkeit der Räume p-fach integrierbarer Funktionen. Zudem lernen wir Maße mit Dichten sowie den Satz von Radon-Nikodym kennen. Das Kapitel schließt mit dem Begriff des Produktmaßes und den Sätzen von Tonell und Fubini zur Integration bezüglich eines Produktmaßes.