Konvergenzbegriffe und Grenzwertsätze – Stochastik für große Stichproben

Zusammenfassung

In diesem Kapitel lernen wir mit der fast sicheren Konvergenz, der stochastischen Konvergenz, der Konvergenz im p-ten Mittel und der Verteilungskonvergenz die wichtigsten Konvergenzbegriffe der Stochastik kennen. Hauptergebnisse sind das starke Gesetz großer Zahlen von Kolmogorov und die Zentralen Grenzwertsätze von Lindeberg- Lévy und Lindeberg-Feller. Diese Resultate zählen zu den Glanzlichtern der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie, und sie sind bei der Untersuchung statistischer Verfahren für große Stichproben unverzichtbar. Wir haben beim Beweis des Zentralen Grenzwertsatzes von Lindeberg-Lévy bewusst auf charakteristische Funktionen verzichtet und einen relativ elementaren Zugang von Stein gewählt. Damit wird dieser Satz auch für Leserinnen und Leser zugänglich, die mit charakteristischen Funktionen nicht vertraut sind. Wichtige Stichpunkte zu diesem Kapitel sind die Kolmogorov-Ungleichung und das Kolmogorov-Kriterium, der Satz von Skorokhod, der Stetigkeitssatz von Lévy-Cramér sowie Straffheit und relative Kompaktheit.