Zahlendarstellung und numerische Fehler

Zusammenfassung

Die Numerische Mathematik (kurz Numerik) beschäftigt sich mit Algorithmen, die eine näherungsweise Berechnung von Lösungen mathematischer Gleichungen erlauben. Der Grund, warum man an näherungsweisen Lösungen interessiert ist, liegt darin, dass nur wenige, einfache Probleme analytisch lösbar sind. Außerdem ist die Berechnung einer exakten Lösung meist nicht notwendig bzw. zu aufwendig. Da ein Computer sehr schnell rechnen kann, erschließt sich damit ein weites Feld an physikalischen Problemen, welche mithilfe numerischer Methoden gelöst werden können. Bevor wir uns jedoch den numerischen Methoden zuwenden, werfen wir in diesem Kapitel einen genaueren Blick auf die Darstellung und Speicherung von Zahlen auf einem Computer, den damit verbundenen numerischen Fehlern und wie man damit umgeht.

Aufgaben

8.1

Neben dem Binärsystem wird in der Informatik oft auch das Hexadezimalsystem mit der Basis 16 (Ziffern: 0123456789ABCDEF) verwendet. Wie viele Binärziffern kann man damit zu einer Ziffer zusammenfassen? Geben Sie Beispiele an.

8.2

Moderne Festplatten, sog. SSD (solid state drive), verwenden Halbleiterspeicher anstelle von drehenden Magnetschichten. Aufgrund ihrer Arbeitsweise besitzen die einzelnen Speicherzellen einer SSD jedoch eine begrenzte Anzahl an Schreibzyklen. Für eine typische SSD mit 1,6 TB Kapazität und 5 Jahren Garantie wird die maximale Schreibmenge mit 8,76 PB angegeben. Wie oft pro Tag lässt sich die SSD also über ihre Lebenszeit beschreiben (sog. drive writes per day)?

8.3

In einer Simulation sollen dreidimensionale Vektoren auf einem dreidimensionalen Gitter mit 100 Punkten Kantenlänge verwendet werden. Wie viel Speicherplatz benötigt man damit, um alle Vektoren in doppelter oder einfacher Genauigkeit zu speichern?

8.4

Schreiben Sie ein C-Programm, das bei gegebenem Intervall und Schrittweite die Anzahl der Schritte berechnet und die einzelnen Schritte ausgibt. Achten Sie auf Probleme beim Vergleich von Fließkommazahlen.

In Python gibt es dafür die Funktion arange. Überprüfen Sie damit die Ergebnisse.