Zusammenfassung
Dieses Kapitel beschreibt die Grundzüge der Optik jenseits der Strahlen- und Wellenoptik. Hierbei werden die physikalischen Hintergründe planckscher Strahler und Anwendungsgebiete, wie Wärmebildkameras und Herdplatten besprochen. Außerdem wird ein Ausblick auf die Quantenoptik gegeben, und wo sich diese schon heute in unserem Alltag wiederfindet. Die Aufgaben runden diesen Einblick schließlich ab.
Mithilfe der Strahlen- und der Wellenoptik kam man Ende des 19. Jahrhunderts in der Optik schon sehr weit. Aufgrund von Interferenz, Beugung und Polarisation war man sich der Wellennatur des Lichts weitgehend sicher. Allerdings gab es auch noch Grund zum Rätseln: Die Lichtemission von Objekten mit hoher Temperatur wie Sonne, heiße Glut oder glühendes Metall ließ sich mit den bekannten Formeln nicht exakt beschreiben. Erst Max Planck fand die korrekten Gesetzmäßigkeiten, indem er davon ausging, dass Lichtenergie nur in bestimmten Portionen, den Lichtteilchen, an die Umgebung abgegeben wird. Die Existenz solcher Teilchen, Photonen genannt, steht zunächst im krassen Widerspruch zum Modell der Lichtwelle, was unter dem Begriff „Welle-Teilchen-Dualismus“ in der Physik heute weithin bekannt ist, mehr dazu in Abschn. 7.2.3. Plancks Einteilung der Energie in diskrete Portionen, die sogenannten Quanten, markierte die Geburtsstunde der Quantenmechanik. Aber worum ging es in seinen Überlegungen? Es ging um die Strahlung erhitzter Körper.
7.1 Schwarze Körper und ihre Strahlung
7.1.1 Schwarze Körper
Der „Schwarze Körper“ ist wohl einer der verwirrendsten Begriffe der Optik. Um was handelt es sich? Vorneweg ist gut zu wissen, dass ein perfekter Schwarzer Körper nicht existiert. Es handelt sich nur um eine idealisierte Vorstellung eines Objekts, das sämtliche einfallende Strahlung absorbiert und nicht den geringsten Anteil davon transmittiert oder reflektiert. Dies soll nicht nur für sichtbares Licht gelten, sondern für Strahlung sämtlicher Wellenlängen. So weit macht der Begriff also noch Sinn. Allerdings fällt in der Betrachtung schwarzer Körper immer auch der Begriff „Schwarzkörperstrahlung“, also irgendeine Art von Strahlung, die von diesem schwarzen Körper ausgeht. Also ist er gar nicht so schwarz?
7.1.1.1 Das Kirchhoffsche Strahlungsgesetz
Um Schwarzkörperstrahlung zu verstehen, muss man wissen: Ein Körper, der Strahlung gut absorbiert, kann auch selbst besonders gut strahlen. Dies wird beschrieben im Kirchhoffschen Strahlungsgesetz und lässt sich auch physikalisch ausdrücken: Der Emissionsgrad \(\epsilon \) eines Körpers ist abhängig von seinem Absorptionsgrad \(\alpha \). Nicht verwechseln sollte man hierbei die Emission mit der Reflexion von einfallendem Licht. Der sehr schwarze Ruß zum Beispiel reflektiert quasi keinerlei Licht, da er einen sehr hohen Absorptionsgrad \(\alpha \) von fast 1 besitzt. Wegen dieser hohen Absorption ist er aber eben auch ein guter Strahler, hat also einen Emissionsgrad \(\epsilon \) von ebenfalls beinahe 1, dem absoluten Maximum. Vollkommen erreichen lässt sich dieser Wert in der Realität nicht, vor allem nicht für Strahlung sämtlicher Wellenlängen. Der theoretische schwarze Körper schafft es nun aber, für ihn gilt \(\alpha =1\) und \(\epsilon = 1\). Abb. 7.1 zeigt einen idealen schwarzen und einen ebenfalls theoretischen weißen Körper. Aber warum benötigt man überhaupt einen Wert wie den Emissionsgrad bei einem vollständig schwarzen Objekt? Die Antwort ist, weil das Objekt zwar keinerlei Licht reflektiert, aber sehr gut in der Lage ist, selbst zu strahlen. Die Ursache für diese im Körper selbst entstehende Strahlung ist seine Temperatur, es handelt sich um Wärmestrahlung.
7.1.2 Wärmestrahlung
Wärmestrahlung ist, genau wie Licht und Radiowellen, elektromagnetische Strahlung. Jeder Körper mit einer Temperatur oberhalb des absoluten Nullpunkts, also sämtliche Objekte um uns herum und auch wir selbst, senden Wärmestrahlung aus. Dies fällt uns mal mehr, mal weniger stark auf. Besonders profitieren wir von der Wärmestrahlung der Sonne, von Lagerfeuern, von Kachelöfen und vielem mehr. Diese Strahlung können wir nicht immer sehen, aber auf der Haut als Wärme spüren. Auch Objekte mit Zimmertemperatur senden Strahlung aus, die sich aber nur mit Wärmebildkameras detektieren lässt.
7.1.2.1 Das Wiensche Verschiebungsgesetz – Änderung des Wellenlängenbereichs
Die Wellenlänge des emittierten Lichts ist stark abhängig von der Temperatur des Objekts. Aus diesem Grund können wir die heiße Sonne und das Glühen von Kohle sehen, aber Wärmestrahlung von Gegenständen mit Raumtemperatur nicht. Das Maximum des Spektrums \(\lambda _\text {Max}\) der ausgesandten Strahlung kann man mithilfe des Wienschen Verschiebungsgesetzes berechnen:
mit der Temperatur T des Körpers in Kelvin. Für die Umrechnung von Grad Celsius \(^\circ \mathrm {C}\) in Kelvin K gilt die einfache Formel
Tab. 7.1 gibt euch eine Übersicht über verschiedene Alltagsbeispiele. Sie macht auch deutlich, warum oft nur von Infrarotstrahlung gesprochen wird, obwohl eigentlich Wärmestrahlung gemeint ist. Für Temperaturen unter etwa \(4000\,^\circ \mathrm {C}\) liegt der größte Teil des emittierten Wärmespektrums nämlich jenseits des Sichtbaren im Infraroten. Gleiches gilt auch für die Glühlampe, was einer der Gründe ist, warum sie als Lichtquelle so enorm ineffizient ist.
Besser sieht es bei unserer Sonne aus, denn mit einer effektiven Temperatur von etwa \(5780\,\mathrm {K}\) hat sie das Maximum ihrer Wärmestrahlung mitten im Sichtbaren. Ein glücklicher Zufall? Nein, natürlich nicht. Unsere Augen haben sich vielmehr genau auf diesen alltäglich auf der Erde vorhandenen Wellenlängenbereich spezialisiert. Abb. 7.2 zeigt verschiedene Objekte, die Wärmestrahlung aussenden. Die Lampe in Abb. 7.2a leuchtet mit steigender Temperatur des Glühdrahts zunächst gar nicht, dann rötlich und schließlich gelb-weiß. Genauso verhält es sich mit Kohle oder erhitztem Glas (Abb. 7.2b). Der Begriff der Farbtemperatur hat hier seinen Ursprung. Dieses von der Temperatur abhängige Glühen tritt also nicht nur beim schwarzen Körper auf, sondern bei fast allen Objekten in unserem Alltag.
Abb. 7.3 zeigt die ungefähre Glühfarbe von Objekten unterschiedlicher Temperatur. Sie ist unabhängig von der eigentlichen Färbung des Gegenstands. Unter \(500\,\mathrm {K}\), also etwa \(227\,^\circ \mathrm {C}\), erscheinen uns die Körper noch in ihrer gewohnten Farbe. Bei etwa \(700\,\mathrm {K}\) wirken sie dunkelrot, bei \(800\,\mathrm {K}\) leuchtend rot, darüber weiter über orange bei \(900\,\mathrm {K}\) und gelb bei \(1000\,\mathrm {K}\) zu weiß bei \(6000\,\mathrm {K}\). Noch höhere Temperaturen führen zu einer Verschiebung des Spektrums hinein ins Ultraviolette. Bei \(10\, 000\,\mathrm {K}\) ist deshalb der rote Anteil vergleichsweise schwach und das Glühen erscheint bläulich.
7.1.2.2 Das Stefan-Boltzmann-Gesetz – Änderung der Strahlungsleistung
Nicht nur der Wellenlängenbereich der Wärmestrahlung ändert sich mit der Temperatur, sondern auch die Strahlungsleistung. Dies beschreiben die Herren Stefan und Boltzmann (und nicht der Herr Stefan Boltzmann) im Stefan-Boltzmann-Gesetz: Die Strahlungsleistung P eines Körpers mit der Fläche A und der Temperatur T beträgt
Hierbei steht
für die Stefan-Boltzmann-Konstante. Die abgestrahlte Leistung nimmt also mit der vierten Potenz der Temperatur zu. Das bedeutet bei doppelter Temperatur 16-fache Leistung! Mithilfe dieser Korrelation zwischen Temperatur und Leistung lässt sich ein kontaktloses Thermometer, ein sogenanntes Pyrometer, realisieren, zu sehen in Abb. 7.4a. Es misst die abgestrahlte Leistung der Oberfläche und rechnet darüber zurück auf ihre Temperatur. Eine Wärmebildkamera (Abb. 7.4b) liefert die gleichen Messwerte, allerdings ortsaufgelöst als Wärmebild. Dies kann genutzt werden, um Wärmeverluste an Gebäuden zu ermitteln.
7.1.2.3 Das Plancksche Strahlungsgesetz – Die genaue Form der Spektren
Qualitativ haben wir die unterschiedlichen Farben schwarzer Körper bei verschiedenen Temperaturen schon kennengelernt. Natürlich lässt sich dieser Effekt auch quantitativ beschreiben. Mithilfe des Planckschen Strahlungsgesetzes erhält man die spektrale Energiedichte U über
Hier enthalten sind folgende Parameter:
-
Lichtwellenlänge \(\lambda \),
-
Temperatur T des Körpers in Kelvin,
-
Lichtgeschwindigkeit c,
-
Plancksches Wirkungsquantum \(h=6{,}63\cdot 10^{-34}\,\mathrm {Js}\),
-
Boltzmann-Konstante \(k_\text {B}=1{,}38\cdot 10^{-23}\,\frac{\mathrm {J}}{\mathrm {K}}\).
Der Ausdruck \(\exp {(X)}\) ist nur eine übersichtlichere Schreibweise für \(e^X\). Was sagt uns diese Formel nun? Sie beschreibt die abgestrahlte Energie bei einer bestimmten Wellenlänge \(\lambda \) in Abhängigkeit von der Temperatur T eines Objekts, wie in Abb. 7.5 gezeigt.
Mit steigender Temperatur passieren mehrere Dinge:
-
Die gesamte Strahlungsleistung nimmt zu (Stefan-Boltzmann-Gesetz).
-
Das Maximum der Kurve verschiebt sich zu kürzeren Wellenlängen (Wiensches Verschiebungsgesetz).
-
Das Spektrum besitzt ein immer deutlicheres Maximum.
All diese Informationen stecken in obiger Formel, wenn auch nicht auf den ersten Blick ersichtlich. Gut veranschaulichen kann man die beiden Grenzfälle für sehr kleine, \(\lambda \rightarrow 0\), und sehr große Wellenlängen, \(\lambda \rightarrow \infty \). Daran könnt ihr euch in Aufgabe 7.1 versuchen.
7.2 Das Licht als Teilchen
7.2.1 Photonenenergie
Plancks Annahme, dass Licht auch Teilchencharakter hat, führt dazu, dass man jedem einzelnen Photon eine bestimmte Energie zuweisen kann. Diese lässt sich aus der entsprechenden Frequenz sehr leicht berechnen:
mit dem schon bekannten Planckschen Wirkungsquantum h, der Lichtfrequenz \(f_\text {Photon}\), der Lichtwellenlänge \(\lambda _\text {Photon}\) und der Lichtgeschwindigkeit c. Die Energie eines einzelnen Photons ist also einzig abhängig von der Frequenz oder der Wellenlänge (und damit der Farbe), nicht aber von der Lichtintensität. Tab. 7.2 gibt euch eine Übersicht über die verschiedenen Farben, ihre Wellenlängen, Frequenzen und ihre Energien. Die letzte Spalte gibt die Energie in einer ungewohnten Einheit an, dem Elektronenvolt \(\mathrm {eV}\). Dieses berechnet sich über
und trägt seine Bezeichnung deshalb, weil es genau der Energie entspricht, die ein Elektron durch Beschleunigung mit einer Spannung von einem Volt gewinnt. Es eignet sich auch sehr gut für die Angabe von Photonenenergien, denn das sichtbare Licht erstreckt sich von etwa 1, 6 bis \(3\,\mathrm {eV}\).
Eine entscheidende Rolle spielt der Teilchencharakter von Licht auch in der Erklärung des Photoeffekts im nachfolgenden Abschn. 7.2.2.
7.2.2 Der Photoeffekt
Für die korrekte Beschreibung des Photoeffekts wurde Albert Einstein im Jahre 1921 der Nobelpreis für Physik zugesprochen. Zusammen mit Max Planck und anderen Kollegen schuf er damit nämlich die Grundlagen für die Quantenphysik, ohne die Erfindungen wie der Computer (und damit auch Smartphones, Tablets und das Internet), der Laser (und damit u. a. auch die CD und das Glasfaserkabel), das MRT und viele weitere nicht entwickelt worden wären.
Auch der Photoeffekt selbst spielt in unserem Leben inzwischen eine große Rolle, er bildet die Grundlage aller digitalen Kameras.
7.2.2.1 Der äußere Photoeffekt
Aber zunächst zum grundsätzlichen Verständnis. Es geht um das Herauslösen von Elektronen aus Festkörpern. Dies geschieht dann, wenn die Elektronen im Material mit einer bestimmten, materialabhängigen Energie, der sogenannten Austrittsarbeit \(W_\text {A}\), ausgestattet werden. Ist die hinzugefügte Energie größer als \(W_\text {A}\), so geht der übrige Teil in kinetische Energie \(E_\text {kin}\) der nun freien Elektronen über. Beträgt die Energiemenge weniger als \(W_\text {A}\), so treten keinerlei Elektronen aus.
Durch einfaches Heizen, zu sehen in Abb. 7.6a, lassen sich die Elektronen mit genug Energie zum Austritt ausstatten. Mit steigender Temperatur erhöhen sich dabei die Anzahl und die kinetische Energie der freien Elektronen. Das hat noch nichts mit dem Photoeffekt zu tun. Das Herauslösen lässt sich nun aber auch durch Bestrahlung mit Licht realisieren. Im Experiment beobachtet man aber interessanterweise, dass erst bei Licht unterhalb einer gewissen Grenzwellenlänge \(\lambda _\text {G}\) Elektronen aus dem Material austreten. Bei Cäsium lassen sich so für langwelliges rotes Licht (Abb. 7.6b) keinerlei freie Elektronen nachweisen, für kurzwelliges violettes Licht (Abb. 7.6c) aber schon.
Dieser sogenannte äußere Photoeffekt oder äußere photoelektrische Effekt lässt sich mit der Annahme, dass Licht eine kontinuierliche Welle ist, nicht erklären. Denn so müsste die niedrigere Energie der roten Strahlung gegenüber der violetten ja einfach durch längeres Beleuchten kompensiert werden können, bis sich genug Energie für einen Elektronenaustritt angesammelt hat. Dies ist im Experiment aber nicht der Fall, denn auch beliebig hohe Intensität zeigte bei Rot keinerlei Effekt, während bei Violett schon sehr geringe Bestrahlungsleistung für ein messbares Signal ausreicht. Hier schließt sich nun der Kreis zu der Vorstellung von Licht als Teilchen, dessen Energie gemäß Gl. 7.6 mit der Wellenlänge und damit mit der Farbe zusammenhängt: Violette Photonen besitzen eine wesentlich höhere Energie als rote. Diese Energie wird bei Absorption im Festkörper vollständig an genau ein Elektron abgegeben. Umgekehrt kann ein Elektron auch nur ein einzelnes Photon auf einmal absorbieren. Und die dadurch absorbierte Energie reicht nun zum Austritt (bei \(\lambda _\text {Photon}<\lambda _\text {G}\)) oder eben nicht (bei \(\lambda _\text {Photon}>\lambda _G\)). Erhöht man die Lichtintensität von roten Photonen, so erhöht sich zwar deren Anzahl, nicht aber ihre Photonenenergie. Deswegen tritt der Effekt hier auch für sehr hohe Bestrahlungsleistung nicht auf. Dies lässt sich auch an den Energien erkennen:
in Worten: Die Energie \(E_\text {Photon}\) des absorbierten Photons verteilt sich auf die Austrittsarbeit \(W_\text {A}\) und die kinetische Energie \(E_\text {kin}\) des herausgelösten Elektrons. Gilt nun \(E_\text {Photon}<W_\text {A}\), so lässt sich diese Formel nicht anwenden, denn negative kinetische Energie existiert nicht.
Möchte man die Austrittsarbeit \(W_\text {A}\) eines bestimmten Materials bestimmen, so muss man nur die Lichtenergie variieren und beobachten, wann es erstmals zu einem Austreten von Elektronen kommt. Ein sehr anschauliches Experiment stellt die sogenannte Gegenfeldmethode dar, zu sehen in Abb. 7.7. Hierbei werden Elektronen durch den Photoeffekt mithilfe von Licht aus einer Platte gelöst. Erreichen sie eine zweite Platte, so werden sie als Strom I detektiert. Zwischen den beiden Platten ist eine Spannung angelegt, die der Elektronenbewegung entgegenwirkt, sie also abbremst. Dieses Gegenfeld dient der Bestimmung der kinetischen Energie \(E_\text {kin}\) der Elektronen. Stellt man es nämlich genau so ein, dass ein paar Elektronen gerade so die Platte erreichen und einen Strom erzeugen, weiß man, dass diese ihre gesamte kinetische Energie im Feld verloren haben. Über den Wert der Spannung U lässt sich nun die kinetische Energie der Elektronen berechnen:
mit der Elementarladung e. Besonders elegant gelingt dies mit der Nutzung von Elektronenvolt \(\text {eV}\) als Einheit, dort gilt nämlich einfach: Beträgt die Gegenspannung, bei der gerade noch Elektronen ankommen, \(U=1\,\mathrm {V}\), so betrug deren kinetische Energie \(1\,\mathrm {eV}\), mit anderen Spannungen analog.
Misst man nun diese Bewegungsenergie in Abhängigkeit der ursprünglichen Photonenenergie, so ergibt sich ein Graph wie in Abb. 7.8. Für niedrige Lichtenergien misst man keinerlei Signal, da noch keine Elektronen austreten können. Erhöht man sie, ändert also die Lichtfarbe von Rot nach Violett und darüber hinaus ins Ultraviolette, so beobachtet man für einen bestimmten Wert von \(E_\text {Photon}\), dass die kinetische Energie beginnt, linear anzusteigen. Dieser Knickpunkt entspricht genau dem Wert der Austrittsarbeit \(W_\text {A}\).
7.2.2.2 Der innere Photoeffekt
Aber was hat das jetzt mit meiner Digitalkamera zu tun? Wir kommen zum inneren Photoeffekt oder inneren photoelektrischen Effekt. Er ähnelt im grundsätzlichen Verhalten sehr dem äußeren Photoeffekt. Die Elektronen werden allerdings nicht aus dem Material herausgelöst, sondern von einem schlecht leitenden Zustand in einen gut leitenden Zustand angeregt. Für sichtbares Licht hierbei sehr gut geeignet ist der Halbleiter Silizium. Der Detektor einer Kamera, ein sogenannter CCD-Chip, besteht aus mehreren Millionen Pixeln. In jedem dieser Pixel können die durch Licht angeregten Elektronen ausgelesen werden, was Auskunft über die Helligkeit des einstrahlenden Lichts gibt. Über die vielen Pixel zusammen ergibt sich so ein Bild der Umgebung. Mehr zur Optik einer Kamera wurde schon in Abschn. 3.1.2 besprochen.
7.2.3 Der Welle-Teilchen-Dualismus
Wir haben in diesem Buch nun viele Effekte kennengelernt, die sich dadurch erklären lassen, dass das Licht eine Welle ist. In diesem Kapitel wird nun behauptet, Licht bestehe aus Teilchen. Was ist es denn nun? Für beide Vorstellungen gibt es Experimente, die den Charakter eindeutig beweisen. Für das Wellenbild u. a. die Interferenz, die Beugung und Polarisationseffekte, und für das Teilchenbild die Schwarzkörperstrahlung und der Photoeffekt. Deswegen ist die heute anerkannte Meinung, dass Licht (und allgemein sämtliche elektromagnetische Strahlung) gleichzeitig sowohl Welle als auch Teilchen ist (Abb. 7.9). Dieser Welle-Teilchen-Dualismus lässt sich nicht anschaulich verstehen, aber nachmessen. Moderne Detektoren können einzelne Photonen erfassen und zählen, was eindeutig dem Licht als Teilchen entspricht. Jedes dieser Teilchen verhält sich aber, als wäre es auch eine Welle, indem es Interferenzeffekte zeigt.
Je geringer die Photonenenergie, also je länger die Wellenlänge des Lichts ist, desto mehr verliert dessen Teilchencharakter an Bedeutung. Radiowellen haben beispielsweise eine so geringe Photonenenergie, dass einzelne Teilchen nicht mehr messbar sind. Hierfür ist das Wellenbild für eine vollständige Erklärung der auftretenden Effekte ausreichend.
7.2.4 Materiewellen
Wie wir gesehen haben, können Lichtwellen also auch als Teilchen betrachtet werden. Könnte es dann nicht auch sein, dass Materieteilchen auch Wellencharakter besitzen? Was verrückt klingt, wurde bereits vor über 90 Jahren experimentell nachgewiesen: Elektronen, bis dahin bekannt als negativ geladene Teilchen, zeigen Interferenzverhalten, das sich nur mit dem Wellenbild erklären lässt. Gleiches wurde auch für Atome und einzelne Moleküle festgestellt. Mit steigender Teilchengröße wird der Nachweis immer schwieriger, da die Wellenlänge \(\lambda \) dieser Materiewellen mit steigendem Teilchenimpuls abnimmt, gemäß der de-Broglie-Gleichung
mit dem Planckschen Wirkungsquantum h und dem Impuls des Teilchens p. Trotzdem gelang es bereits, über Interferenz am Doppelspalt den Wellencharakter von Molekülen aus 60 Atomen nachzuweisen. Theoretisch lässt sich damit auch makroskopischen Objekten, wie einem Tennisball oder sogar dem Menschen, eine Wellenlänge zuordnen. Interferenz ist hier aber praktisch völlig unmöglich.
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Appendices
Aufgaben
7.1.1 7.1 Plancksches Strahlungsgesetz
-
a)
$$\begin{aligned} U(\lambda , T)=\frac{c_1}{\lambda ^5}\frac{1}{\exp {\left( \frac{c_2}{\lambda T}\right) }} \end{aligned}$$(7.11)
Das hier gezeigte Wiensche Strahlungsgesetz war einer der Vorläufer des Planckschen Strahlungsgesetzes, gültig nur für kleine Wellenlängen \(\lambda \rightarrow 0\). Leite es unter dieser Bedingung aus dem Planckschen Strahlungsgesetz her. Stelle die Strahlungskonstanten \(c_1\) und \(c_2\) durch bekannte Variablen dar.
-
b)
$$\begin{aligned} U(\lambda , T)=\frac{8\pi k_\text {B} T}{\lambda ^4} \end{aligned}$$(7.12)
Das hier gezeigte Rayleigh-Jeans-Gesetz war der andere Vorläufer des Planckschen Strahlungsgesetzes, gültig nur für große Wellenlängen \(\lambda \rightarrow \infty \). Leite es unter dieser Bedingung aus dem Planckschen Strahlungsgesetz her.
7.1.2 7.2 Photoeffekt
Licht der Wellenlänge \(\lambda =450\,\mathrm {nm}\) trifft auf Cäsium (Austrittsarbeit \(W_\text {A}=2{,}14\,\mathrm {eV}\)). Berechne die kinetische Energie der herausgelösten Elektronen.
Lösungen
7.1.1 7.1 Plancksches Strahlungsgesetz
Bei Rayleigh:
Das Plancksche Strahlungsgesetz lautet gemäß Gl. 7.5
-
a)
Für kleine Wellenlängen \(\lambda \rightarrow 0\) wird der Term \(\dfrac{hc}{\lambda k_\text {B} T}\) in der e-Funktion sehr groß. Dadurch kann das \(-1\) vernachlässigt werden und wir erhalten
$$ U(\lambda , T)=\frac{4hc}{\lambda ^5}\frac{2\pi }{\exp {\left( \frac{hc}{\lambda k_\text {B} T}\right) }}= =\frac{c_1}{\lambda ^5}\frac{1}{\exp {\left( \frac{c_2}{\lambda T}\right) }} $$mit \(c_1=8\pi h c\) und \(c_2=\dfrac{hc}{k_\text {B}}\).
-
b)
Dafür müssen wir die e-Funktion zunächst umschreiben über die Taylor-Reihe
$$ \exp (A) =\sum _{\text {n}=0}^{\infty }\frac{A^n}{n!}=1+A+\frac{A^2}{2}+\ldots $$zu
$$ \exp \left( \frac{hc}{\lambda k_\text {B} T}\right) =\sum _{\text {n}=0}^{\infty }\dfrac{\left( \dfrac{hc}{\lambda k_\text {B} T}\right) ^n}{n!}=1+\dfrac{hc}{\lambda k_\text {B} T}+\dfrac{\left( \dfrac{hc}{\lambda k_\text {B} T}\right) ^2}{2}+\ldots $$Für große Wellenlängen \(\lambda \rightarrow \infty \) wird der Term \(\dfrac{hc}{\lambda k_\text {B} T}\) sehr klein, dadurch werden die höheren Ordnungen \(n \ge 2\) vernachlässigbar klein und wir erhalten
$$ \exp \left( \frac{hc}{\lambda k_\text {B} T}\right) \approx 1+\dfrac{hc}{\lambda k_\text {B} T}. $$Dadurch ergibt sich
$$ U(\lambda , T)=\frac{4hc}{\lambda ^5}\frac{2\pi }{1+\frac{hc}{\lambda k_\text {B} T}-1}=\frac{8\pi k_\text {B} T}{\lambda ^4}. $$Dies gilt, wie erwähnt, nur für große Wellenlängen. Für sehr kleine \(\lambda \rightarrow 0\) sagt das Rayleigh-Jeans-Gesetz fälschlicherweise immer höhere Energiedichten vorher, bis hin zu unendlich hoher Energie. Dies macht physikalisch keinen Sinn und wurde historisch als Ultraviolett-Katastrophe bezeichnet, da die klassische Physik hier an ihre Grenzen stieß. Durch die Einführung der Quantentheorie gelang es schließlich Max Planck, dieses Problem zu eliminieren. Er ging genau den uns entgegengesetzten Weg und verknüpfte die beiden hier gezeigten Gesetze zu seinem bis heute gültigen Strahlungsgesetz.
7.1.2 7.2 Photoeffekt
Über Gl. 7.6 und 7.8 ergibt sich
Achte bei der Berechnung auf die unterschiedlichen Einheiten \(\mathrm {m}\) und \(\mathrm {nm}\) sowie \(\mathrm {J}\) und \(\mathrm {eV}\).
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Gmelch, M., Reineke, S. (2019). Von heißen Körpern zur Quantenphysik: Das Licht als Teilchen. In: Durchblick in Optik. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-58939-7_7
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