Auf und ab mit Höchstgeschwindigkeit: Welleneigenschaften

Zusammenfassung

Das Wellenmodell des Lichts ist für viele physikalische Effekte unverzichtbar. In diesem Kapitel werden die Grundlagen für die weiteren Kapitel gelegt, es werden alle wichtigen Begriffe und Eigenschaften besprochen, die das Licht als Welle charakterisieren. Darunter fallen neben der Wellenlänge und Frequenz, der Lichtgeschwindigkeit, der Wellenform und der Intensität auch die komplizierteren Phänomene wie die Dispersion, die Polarisation, Phasen- und Gruppengeschwindigkeit sowie die räumliche und zeitliche Kohärenz. All diesen Begriffen wird anschaulich und ausführlich auf den Grund gegangen. Die Aufgaben geben unter anderem Gelegenheit, Rechnungen mit Wellenvektoren zu üben.

Appendices

Aufgaben

4.1.1 4.1 Wellenparameter

Fülle nachfolgende Tabelle aus.

 

Farbe	f	$\omega$	$\lambda$ im Vakuum (nm)	k im Vakuum	$\lambda _\text {W}$ in Wasser
Violett			410
Blau			460
Grün			530
Gelb			570
Orange			600
Rot			650

4.1.2 4.2 Licht und Schall

Du sitzt im Auto und hörst Radio. Der Lautsprecher ist etwa $d_1=50\,\mathrm {cm}$ von deinem Ohr entfernt. Das Autoradio empfängt sein Signal vom nächstgelegenen Funkmast, dieser ist $d_2=30\,\mathrm {km}$ vom Auto entfernt. Schall breitet sich in Luft mit einer Geschwindigkeit von etwa $v_\text {S}=340\,\frac{\mathrm {m}}{\mathrm {s}}$ aus. Berechne die Laufzeiten der Signale vom Funkmast zum Radio ($t_2$) und vom Radio zum Ohr ($t_1$). Was fällt dir auf?

4.1.3 4.3 Lineare und zirkulare Polarisation

Hier wollen wir einen mathematischen Blick auf linear und zirkular polarisiertes Licht werfen. Hierfür findest du nachfolgend zunächst die Gleichungen für die Schwingungen aus Abb. 4.13 aus Abschn. 4.4.2.

In z-Richtung linear polarisiertes Licht (Abb. 4.13a) entspricht einem elektrischen Feldvektor $\vec {E}_\text {z}(x)$ von

$$ \vec {E}_\text {z}(x)=E_0 \sin (\omega t -kx) \vec {z} $$

mit dem Einheitsvektor $\vec {z}$ in z-Richtung.

Entsprechend ergibt sich in y-Richtung linear polarisiertes Licht (Abb. 4.13b) zu

$$ \vec {E}_\text {y}(x)=E_0 \sin (\omega t - kx) \vec {y}. $$

Zeige nun durch Rechnung, dass eine Überlagerung dieser beiden Wellen

• a) ohne Gangunterschied wieder zu linear polarisiertem Licht führt, dessen Betrag gemäß einer Sinusschwingung periodisch zu- und abnimmt (Abb. 4.13c),

• b) mit Gangunterschied $\Delta x= \frac{\lambda }{4}$ zu zirkular polarisiertem Licht führt, wobei der Betrag des elektrischen Feldvektors unverändert bleibt (Abb. 4.15).

Lösungen

4.1.1 4.1 Wellenparameter

Abschn. 4.2.1 liefert

$$ c = f \lambda $$

und damit

$$ f = \frac{c}{\lambda }. $$

Abschn. 4.1.1 liefert

$$ \omega = 2 \pi f $$

und

$$ k = \frac{2 \pi }{\lambda }. $$

Abschn. 4.1.3 liefert

$$ \lambda _\text {W} = \frac{\lambda }{n_\text {W}} $$

mit

$$ n_\text {W}=1{,}33. $$

 

Farbe	$f\,(\mathrm {THz})$	$\omega \,\left( \frac{\mathrm {1}}{\mathrm {s}}\right)$	$\lambda$ im Vakuum (nm)	k im Vakuum $\left( \frac{\mathrm {1}}{\mathrm {m}}\right)$	$\lambda _\text {W}$ in Wasser (nm)
Violett	731	$4{,}6\cdot 10^{18}$	410	$1{,}5\cdot 10^{7}$	308
Blau	652	$4{,}1\cdot 10^{18}$	460	$1{,}4\cdot 10^{7}$	346
Grün	566	$3{,}6\cdot 10^{18}$	530	$1{,}2\cdot 10^{7}$	398
Gelb	526	$3{,}3\cdot 10^{18}$	570	$1{,}1\cdot 10^{7}$	429
Orange	500	$3{,}1\cdot 10^{18}$	600	$1{,}0\cdot 10^{7}$	451
Rot	461	$2{,}9\cdot 10^{18}$	650	$1{,}0\cdot 10^{7}$	489

4.1.2 4.2 Licht und Schall

Das Signal des Funkmasts bewegt sich mit Lichtgeschwindigkeit zum Auto. Die Laufzeiten ergeben sich zu

$$ t_\text {M-R}=\frac{d_\text {M-R}}{c_\text {Luft}}=\frac{d_\text {M-R}}{c_0}=\frac{3\,\mathrm {km}}{299\, 792\, 458\,\frac{\mathrm {km}}{\mathrm {s}}}=0{,}01\,\mathrm {ms} $$

und

$$ t_\text {R-O}=\frac{d_\text {R-O}}{v_\text {S}}=\frac{0{,}5\,\mathrm {m}}{340\,\frac{\mathrm {m}}{\mathrm {s}}}=1{,}5\,\mathrm {ms}. $$

Dies bedeutet, dass der Schall vom Lautsprecher zu deinem Ohr 150-mal länger braucht als das Radiosignal vom Funkmast zu deinem Auto. Dies veranschaulicht die enorm hohe Geschwindigkeit von Licht und elektromagnetischer Strahlung.

4.1.3 4.3 Lineare und zirkulare Polarisation

• a) Zunächst betrachten wir die durch Überlagerung entstehende Welle. Durch direkte Addition von $\vec {E}_\text {z}(x)$ und $\vec {E}_\text {y}(x)$ ergibt sich

  $$ \vec {E}(x)=\vec {E}_\text {z}(x)+\vec {E}_\text {y}(x)=E_0 \sin (\omega t - kx)(\vec {z}+\vec {y}). $$

  Hierbei ist ausschließlich die letzte Klammer $(\vec {z}+\vec {y})$ vektoriell, alle anderen Teile sind skalare Größen.

  Zum Bestimmen des Betrags berechnen wir deshalb den Betrag von $(\vec {z}+\vec {y})$ zunächst separat:

  $$ \left| (\vec {z}+\vec {y})\right| =\left| \left( \begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\\ \end{array}\right) \right| =\sqrt{0^2+1^2+1^2}=\sqrt{2} $$

  Hier sind wir schon fast fertig, denn der Betrag von $\vec {E}(x)$ ergibt sich damit zu

  $$ \left| \vec {E}(x)\right| =\sqrt{2}E_0 \sin (\omega t - kx). $$

  Der Betrag des elektrischen Feldvektors schwingt also abhängig von t und x. Weiterhin hat die maximale Amplitude durch die Addition um den Faktor $\sqrt{2}$ zugenommen.

  Nun zeigen wir, dass das Licht linear polarisiert ist. Dies bedeutet ja, dass sich die Schwingungsrichtung über die gesamte Wellenausbreitung x nicht ändert. Wir berechnen dafür den Winkel $\alpha _\text {y}(x)$, der zwischen dem Feldvektor und der y-Achse aufgespannt wird. Ist dieser mit steigendem x immer konstant auf dem gleichen Wert, so handelt es sich um linear polarisiertes Licht. Der Winkel $\alpha$ zwischen zwei Vektoren $\vec {A}$ und $\vec {B}$ lässt sich allgemein berechnen über das Skalarprodukt

  $$ \left| \vec {A}\cdot \vec {B}\right| =\left| \vec {A}\right| \left| \vec {B}\right| \cos {\alpha }. $$

  In unserem Fall ergibt er sich zu

  $$\begin{aligned} \alpha _\text {y}(x)&=\arccos {\left( \frac{\vec {y}\vec {E}(x)}{\left| \vec {y}\right| \left| \vec {E}(x)\right| }\right) } = \arccos {\left( \frac{E_0\sin (\omega t - kx)\cdot \vec {y}(\vec {z}+\vec {y})}{{\left| \vec {y}\right| \cdot \sqrt{2}E_0 \sin (\omega t - kx)}}\right) }\\&= \arccos {\left( \frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\vec {y}(\vec {z}+\vec {y})}{{\left| \vec {y}\right| }}\right) }= \arccos {\left( \frac{1}{\sqrt{2}}\frac{0+1}{1}\right) }= \arccos {\left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right) }=45^\circ . \end{aligned}$$

  Dieser Winkel ist konstant bei $45^\circ$, also unabhängig von x, und damit linear polarisiert. Er entspricht genau der Überlagerung der Schwingungen in x- und y-Richtung (Abb. 4.13c).

  Überlege, was passiert, wenn $\vec {E}_\text {y}(x)$ und $\vec {E}_\text {z}(x)$ unterschiedliche Amplituden $E_\text {0y}$ und $E_\text {0z}$ besitzen.

• b) Diese Teilaufgabe ist etwas aufwendiger. Ein Gangunterschied $\Delta x$ bedeutet zunächst, wir ersetzen das x in einer der beiden Gleichungen durch $x+\Delta x$:

  $$ \vec {E}_\text {y}(x+\Delta x)=E_0 \sin (\omega t - k(x+\Delta x))\vec {y} $$

  Setzen wir nun $\Delta x=\frac{\lambda }{4}$ ein, so ergibt sich über $k=\frac{2\pi }{\lambda }$

  $$ \vec {E}_\text {y}(x+\Delta x)=E_0 \sin \left( \omega t - kx-\frac{2\pi }{\lambda }\frac{\lambda }{4}\right) \vec {y} =E_0 \sin \left( \omega t - kx-\frac{\pi }{2}\right) \vec {y}. $$

  Das $\frac{\pi }{2}$ beschreibt eine konstante Phasenverschiebung des Sinus. Über die trigonometrische Formel

  $$ \sin {\left( A-\dfrac{\pi }{2}\right) }=-\cos {(A)} $$

  vereinfacht sich dies zu

  $$ \vec {E}_\text {y}(x+\Delta x) =-E_0 \cos \left( \omega t - kx\right) \vec {y}. $$

  Wir addieren analog zu (a):

  $$ \vec {E}(x)=\vec {E}_\text {z}(x)+\vec {E}_\text {y}(x+\Delta x)=E_0 \sin (\omega t - kx)\vec {z}-E_0 \cos \left( \omega t - kx\right) \vec {y} $$

  Das ist unsere durch Überlagerung entstandene Welle.

  Nun berechnen wir den Betrag des Feldvektors. Die Einheitsvektoren $\vec {z}$ und $\vec {y}$ besitzen hier unterschiedliche skalare Vorfaktoren (abgesehen von $E_0$), deshalb müssen wir diese vollständig mit in die Berechnung des Betrags hineinpacken:

  $$\begin{aligned} \left| \vec {E}(x)\right|&=\left| \left( \begin{array}{c}0\\ -E_0 \cos \left( \omega t - kx\right) \\ E_0 \sin (\omega t - kx)\\ \end{array}\right) \right| = E_0\sqrt{0^2+ \left( -\cos \left( \omega t - kx\right) \right) ^2+\sin ^2(\omega t - kx)}\\&= E_0\sqrt{\cos ^2\left( \omega t - kx\right) +\sin ^2(\omega t - kx)} \end{aligned}$$

  Um die Wurzel weiter zu vereinfachen, nutzen wir

  $$ \sin ^2{\left( A\right) }+\cos ^2(A)=1. $$

  Dadurch erhalten wir

  $$ \left| \vec {E}(x)\right| =E_0\cdot \sqrt{1}=E_0 $$

  und haben gezeigt, dass sich der Betrag des elektrischen Feldvektors dieser Welle im Gegensatz zu (a) nicht ändert.

  Der Winkel $\alpha _\text {y}(x)$ wird analog zu (a) berechnet über

  $$\begin{aligned} \alpha _\text {y}(x)&=\arccos \left( {\frac{\vec {y}\vec {E}(x)}{\left| \vec {y}\right| \left| \vec {E}(x)\right| }}\right) = \arccos \left( {\frac{-E_0\cos \left( \omega t - kx\right) }{1\cdot E_0}}\right) \\&=\arccos \left( {-\cos \left( \omega t - kx\right) }\right) . \end{aligned}$$

  Über

  $$ -\cos (A)=\cos (A+\pi ) $$

  erhalten wir

  $$ \alpha _\text {y}(x)=\arccos \left( {\cos \left( \omega t - kx + \pi \right) }\right) =\omega t - kx +\pi . $$

  Der Winkel des Feldvektors ist also linear abhängig von dem Fortschreiten der Welle im Raum x. Das bedeutet, dass der Vektor gleichmäßig um die x-Achse rotiert, dies entspricht zirkular polarisiertem Licht (Abb. 4.15).

  Überlege, was passiert, wenn $\vec {E}_\text {y}(x)$ und $\vec {E}_\text {z}(x)$ unterschiedliche Amplituden $E_\text {0y}$ und $E_\text {0z}$ besitzen.