Abzählen von Objekten

Zusammenfassung

Ein Grundproblem der Kombinatorik ist das Abzählen der Elemente einer gegebenen endlichen Menge. Die Elemente dieser Menge sind kombinatorische Objekte, wie zum Beispiel Anordnungen (Permutationen), Auswahlen (Kombinationen, Variationen), Verteilungen und Zerlegungen (Partitionen). Eine Methode, die sich prinzipiell immer für derartige Anzahlprobleme eignet, ist das explizite Auflisten (die Enumeration) aller Objekte der Menge. Praktisch stößt dieses Verfahren jedoch schnell an Grenzen, die aus dem für die Auflistung erforderlichen Zeitaufwand resultieren. Ein weiterer Grund, der gegen dieses Verfahren spricht, ist die geringe Aussagekraft einer durch Auflistung gefundenen Lösung. Häufig ist man vielmehr an einer allgemeingültigen Formel für die Anzahl gewisser kombinatorischer Objekte als an der Mächtigkeit einer ganz konkreten Menge interessiert. Die Lösung kombinatorischer Anzahlprobleme führt zu speziellen Folgen ganzer Zahlen. Dazu zählen die Fakultät, Binomialkoeffizienten, Stirling-Zahlen erster und zweiter Art sowie viele weitere bekannte Zahlenfolgen.

Aufgaben

1.1

Auf wie viel Arten kann man $n$ unterscheidbare Objekte auf $k$ unterscheidbare Boxen verteilen, wenn die Reihenfolge der Objekte in den Boxen relevant ist?

1.2

Es sei $A$ eine Menge mit $n$ Elementen. Berechne

$$\sum_{X\subseteq A}\left|X\right|\,.$$

1.3

Auf wie viel Arten können 5 Personen so an einem runden Tisch mit 12 Plätzen platziert werden, dass mindestens ein freier Platz zwischen je zwei Personen bleibt? Wie lautet die allgemeine Antwort für $k$ Personen und $n$ Plätze?

1.4

Ein ternäres Signal besteht aus 10 Einzelimpulsen, die Amplitudenwerte von $-1$, 0 oder 1 annehmen können. Wie viel verschiedene Signale gibt es, wenn jedes Signal stets aus genauso vielen positiven wie negativen Impulsen bestehen soll?

1.5

Wie heißt der Koeffizient vor $x^{20}$ in dem Polynom $(1+2x)^{10}(1-x^{2})^{6}$?

1.6

Es sei $n\in\mathbb{N}$. Bestimme die Stirling-Zahl zweiter Art $\genfrac{\{}{\}}{0.0pt}{}{\,n\,}{\,n-2\,}$.

1.7

Bestimme den Koeffizienten vor $v^{2}x^{3}y^{3}z^{2}$ in der Entwicklung von

$$(v+2x+3y+4z)^{10}\,.$$

1.8

Zeige den Binomialsatz für die fallende Faktorielle:

$$(x+y)^{\underline{n}}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{\underline{k}}y^{\underline{n-k}},\quad x,y\in\mathbb{C},\,n\in\mathbb{N}\,.$$

1.9

Wie viel markierte Partitionen einer Menge mit $n$ Elementen gibt es, wenn eine markierte Partition aus einer gewöhnlichen Partition durch Kennzeichnen (Markieren) genau eines Blocks hervorgeht?

1.10

Eine reelle Zahlenfolge $(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n})$ heißt unimodal , wenn für ein $k\in\{1,\ldots,n\}$ die folgenden Relationen erfüllt sind:

$$a_{1}\leq a_{2}\leq{\ldots}\leq a_{k}\geq a_{k+1}\geq a_{k+2}\geq\ldots\geq a_{n}\,.$$

Zeige, dass für jedes feste $n\in\mathbb{N}$ die Folge $\left(\binom{n}{0},\binom{n}{1},\ldots,\binom{n}{n}\right)$ der Binomialkoeffizienten unimodal ist.

1.11

Wie viel sechsstellige Dezimalzahlen besitzen eine streng aufsteigende Ziffernfolge (wie zum Beispiel 134.579, aber nicht 122.359 oder 432.456)?

1.12

Eine Lieferung von 100 Glühbirnen enthält 8 defekte Glühbirnen. Auf wie viel Arten kann eine Stichprobe von 20 Glühbirnen, sodass genau zwei defekte darunter sind, der Lieferung entnommen werden?

1.13

Wie viel fünfstellige Dezimalzahlen mit der mittleren Ziffer 6 sind durch 3 teilbar?

1.14

Auf wie viel verschiedene Arten können $n$ nicht unterscheidbare Figuren auf einem $n\times n$-Schachbrett platziert werden, wenn

• a) in jeder waagerechten Reihe wenigstens eine Figur stehen soll,

• b) in jeder waagerechten und in jeder senkrechten Reihe genau eine Figur stehen soll,

• c) keine Einschränkungen vorliegen?

Wie lauten die Antworten, wenn die $n$ Figuren unterscheidbar sind?

1.15

Es sei $S_{l}(n,k)$ die Anzahl der Partitionen der Menge $\{1,\ldots,n\}$ mit genau $k$ Blöcken, sodass jeder Block mindestens $l$ Elemente enthält. Zeige, dass dann für $k,l,n\in\mathbb{N}$

$$S_{l}(n,k)=\binom{n-1}{l-1}S_{l}(n-l,k-1)+kS_{l}(n-1,k)$$

gilt.

1.16

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einem zufällig gewählten $k$-stelligen Wort über dem Alphabet $\{A,B,\ldots,Z\}$ die Buchstaben in alphabetischer Reihenfolge auftreten?

1.17

Zeige die Gültigkeit der folgenden Beziehungen:

$$\begin{aligned}\displaystyle\sum_{k=0}^{n}k(k-1)\binom{m}{k}&\displaystyle=m(m-1)2^{m-2},\quad n\geq m\\ \displaystyle p(mk,k)&\displaystyle=\sum_{i=1}^{m}p(ik-1,k-1)\,.\end{aligned}$$

1.18

Auf wie viel Arten können $n$ unterscheidbare Objekte so auf $k$ unterscheidbare Boxen verteilt werden, dass genau $l$, $l\leq k$, Boxen leer bleiben?

1.19

Auf wie viel verschiedene Arten kann man die Seiten eines regelmäßigen $p$-Ecks mit $n$ Farben färben, wenn $p$ eine Primzahl ist und wenn zwei Färbungen, die durch Rotation ineinander überführt werden können, als identisch angesehen werden?

1.20

Zeige durch ähnliche kombinatorische Überlegungen wie bei der Ableitung des Binomialsatzes den Multinomialsatz :

$$(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{i})^{n}=\sum_{k_{1}+{\ldots}+k_{i}=n}\binom{n}{k_{1},k_{2},\cdots,k_{i}}x_{1}^{k_{1}}\cdot\cdot\cdot x_{i}^{k_{i}}\,.$$

1.21

In einer Kiste liegen $m$ blaue und $n$ gelbe Kugeln. Wir entnehmen der Kiste in jedem Schritt zufällig zwei Kugeln. Sind beide Kugeln gleichfarbig, so wird die Kiste mit einer blauen Kugel aufgefüllt. Andernfalls legen wir eine gelbe Kugel in die Kiste zurück. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die letzten beiden Kugeln gleichfarbig sind?

1.22

Auf wie viel Arten können drei verschiedene Zahlen aus der Menge $\{1,\ldots,2n\}$, $n\in\mathbb{N}$ gewählt werden, sodass die eine dieser Zahlen das arithmetische Mittel der anderen beiden ist?

1.23

Es sei $A$ eine Menge der Mächtigkeit $n$. Wie viele Paare $(X,Y)$ von Teilmengen von $A$ gibt es, sodass $X\subseteq Y\subseteq A$ gilt?