Interpolation – Splines und mehr

Kapitelzusammenfassung

Die Bezeichnung „Interpolation“ stammt von dem lateinischen Wort interpolo, was so viel wie „neu herrichten“ oder „auffrischen“ bedeutet. In der Numerik versteht man unter Interpolation die Angabe einer Funktion, die durch vorgeschriebene diskrete Daten verläuft. Die Bezeichnung „Approximation“ stammt ebenfalls aus dem Lateinischen und kommt aus dem Wort proximus, was so viel wie „der Nächste“ bedeutet. Im Gegensatz zur Interpolation sucht man Funktionen, die nicht notwendig durch gegebene Datenpunkte verlaufen, sondern die Daten nur in einem zu spezifizierenden Sinn annähern.

Die Interpolation von gegebenen Daten gehört zu den wichtigsten Grundaufgaben der Numerik und ist mit Abstand deren älteste Disziplin. Bereits am Übergang vom 16. zum 17. Jahrhundert erfand der Engländer Thomas Harriot (ca. 1560–1621) erste Interpolationsalgorithmen, um in Tabellen Zwischenwerte bestimmen zu können. Wir behandeln hier die Interpolation mit Polynomen und trigonometrischen Polynomen und beschränken uns auf den eindimensionalen Fall. Die Interpolationstheorie in mehreren Dimensionen ist nach wie vor ein sehr aktives Feld der Mathematik und verlangt nach anderen Mitteln als der eindimensionale Fall. Bei der Interpolation werden gegebene Daten $(x_{i},f_{i}),i=0,\ldots,n$, durch eine Funktion $p$ so verbunden, dass für alle $i$ gilt: $p(x_{i})=f_{i}$. Interpolation erlaubt also die Auswertung einer im Allgemeinen unbekannten Funktion $f$ auch zwischen den bekannten Werten $(x_{i},f(x_{i}))$. Approximation bedeutet die Konstruktion einer Funktion $p$, die $f$ „möglichst gut“ wiedergibt. Dabei wird keine Rücksicht auf die exakte Wiedergabe von $f$ an gewissen Stellen $x_{i}$ genommen.

Heute sind die Techniken der Interpolation und Approximation aus der Mathematik und den Anwendungen nicht mehr wegzudenken. Die Formen von Autokarosserien werden mit mehrdimensionalen Splines beschrieben, Geologinnen und Geologen interpolieren seismische Daten zum Auffinden von Öl- und Gasfeldern und komplizierte Integrale werden numerisch gelöst, indem man die Integranden interpoliert.

Das Gebiet der Interpolation mit Polynomen ist nicht losgelöst von der Approximationstheorie zu sehen und hängt stark am Weierstraß’schen Approximationssatz, den wir zu Beginn beweisen werden. Will man dann Daten $(x_{i},y_{i}),i=0,\ldots n$ mit einem Polynom interpolieren, treten neben Existenz- und Eindeutigkeitsfragen auch Fragen nach der „Güte“ des Interpolationspolynoms zwischen den Daten auf. Wir werden eine sehr unbefriedigende Fehlerabschätzung herleiten, die man durch eine gewisse Wahl von Stützstellen $x_{i}$ dramatisch verbessern kann. Hier kommen die nach Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow (in englischer Transkription oft: Pafnuti Lvovich Chebyshev) benannten Tschebyschow-Polynome ins Spiel. Allerdings hat bereits 1914 Georg Faber gezeigt, dass es zu jeder Stützstellenverteilung eine stetige Funktion gibt, die vom Interpolationspolynom nicht gleichmäßig approximiert wird. Abhilfe schaffen hier die nach Dunham Jackson benannten Jackson-Sätze, die aber höhere Glattheit der zu interpolierenden Funktion voraussetzen.

Diese Erfahrungen mit den Problemen bei der Interpolation wird uns letztlich zu den Splines führen, bei denen man nur stückweise Polynome kleinen Grades berechnet.