Wozu brauchen wir die komplexe Funktionentheorie?

Zusammenfassung

In Kap. 4 haben wir bei der Berechnung von Fourier-Koeffizienten und -Transformierten öfters Integrale über komplexe Funktionen berechnen müssen. Dort haben wir die Integrale einfach wie bei reellen Funktionen behandelt. In diesem Kapitel werden wir uns nun im Detail anschauen, welche Besonderheiten sich bei Integralen über komplexe Funktionen ergeben.

Dabei verallgemeinern wir gleich noch ein wenig: Nun sollen nicht nur die Funktionswerte komplex sein, sondern auch die Argumente der Funktionen, d. h., wir betrachten Funktionen, die einer komplexen Zahl jeweils eine andere zuordnen:

$$f:z\mapsto f(z)\quad\text{mit }z\in\mathbb{C}\text{ und }f(z)\in\mathbb{C}.$$

Im Folgenden werden wir uns dann auf differenzierbare Funktionen beschränken – wobei noch zu klären sein wird, was das hier genau bedeutet. Insbesondere werden wir sehen, dass bei solchen Funktionen die Differenziation und die Integration deutlich enger miteinander zusammenhängen als bei reellen Funktionen einer Variable. (Was auch nicht verwunderlich ist, denn solche komplexen Funktionen entsprechen ja (zweidimensionalen) Vektorfeldern – und dass es bei diesen zahlreiche Zusammenhänge zwischen Ableitung und Integral gibt, haben wir bereits in Kap. 3 gesehen.)