Der Impuls

Zusammenfassung

Wenn ein Golfschläger auf den Golfball trifft, steigt die Kraft auf den Ball bis zu einem Maximalwert und wird wieder zu null, sobald der Ball den Schläger verlässt. Um zu beschreiben, wie eine solche zeitabhängige Kraft die Bewegung des Körpers beeinflusst, auf den sie wirkt, müssen wir zwei neue Begriffe einführen: den Kraftstoß und den Impuls eines Körpers. Wie die Energie bleibt auch der Impuls erhalten. Eines der wichtigsten Prinzipien in der Physik ist der Impulserhaltungssatz, nach dem sich der Gesamtimpuls eines Systems und seiner Umgebung nicht ändert. Wo immer sich der Impuls eines Systems ändert, können wir dafür das Auftreten oder das Verschwinden von Impuls an anderer Stelle verantwortlich machen. Damit können wir Stöße zwischen einem Golfschläger und Golfball, zwischen Fahrzeugen oder zwischen den subatomaren Teilchen in einem Kernreaktor untersuchen.

Treffen zwei Billardkugeln aufeinander, so bleibt ein großer Teil der kinetischen Energie aller Stoßpartner erhalten. Während des kurzen Moments, in dem die Billardkugeln aufeinandertreffen, wird die kinetische Energie kurzzeitig in Form einer elastischen Deformation gespeichert. Stoßprozesse, die so verlaufen, bezeichnet man daher auch als elastisch. (© SuwanPhoto/Getty Images/iStock.)

? Welches Verhältnis müssen die Massen zweier Stoßpartner aufweisen, damit bei einem elastischen Stoß möglichst viel kinetische Energie von einem Stoßpartner auf den anderen übertragen wird? (Siehe Beispiel 6.11.)

Appendices

Im Kontext: Der Impuls im Fahrzeugcrash

Der Impuls ist eine physikalische Größe, die den Bewegungszustand eines Körpers beschreibt. Sie umfasst sowohl translatorische (m, v) als auch rotatorische (Massenträgheit $I$, rotatorische Geschwindigkeit $\varphi$) Bewegungen. Der Impuls eines Systems aus mehreren Körpern bleibt sowohl bei einem elastischen als auch plastischen Stoß erhalten. Dies besagt der Impulserhaltungssatz:

$$P=m_{1}v_{1}+\ldots+m_{i}v_{i}+I_{1}\varphi_{1}+\ldots+I_{i}\varphi_{i}=\mathrm{const.}$$

Der Impuls kommt bei einem Fahrzeugcrash direkt und indirekt zum Einsatz. Wenn wir auf der Autobahn an einer Unfallstelle vorbeifahren, sehen wir die Rettungskräfte. Manchmal sind aber auch sogenannte Unfallforschungsteams vor Ort, die das Unfallgeschehen u. a. mithilfe des Impulserhaltungssatzes wissenschaftlich auswerten, rekonstruieren und daraus Empfehlungen für die Verbesserung der Fahrzeugsicherheit ableiten. Dabei werden beispielsweise die am Unfall beteiligten Fahrzeuge (aus Masse m und Abmessungen geht $I$ hervor) sowie die Endlage und die Deformationszustände der Fahrzeuge nach dem Unfallgeschehen aufgenommen. Mit dem Impulserhaltungssatz und dem Energieerhaltungssatz (kinetische und Deformationsenergie) können die Geschwindigkeiten der Unfallfahrzeuge zum Zeitpunkt des Unfallgeschehens und die kollisionsbedingten Geschwindigkeitsänderungen nährungsweise ermittelt werden. Im Zusammenhang mit den Verletzungen der Insassen und weiteren Informationen werden diese Daten in einer Datenbank aufgenommen. Daraus entstehen die gesetzlichen Vorschriften für die Crashsicherheit wie beispielsweise der ECE R94 für den Frontcrash oder die NCAP-Testvorgaben. Die Anwendung dieser Vorschriften hat nachweislich in den letzten zwei Jahrzehnten die Anzahl der Unfalltoten in Deutschland um über 70 % verringert.

Abb. 6.28

a Karosseriestruktur mit „Knautschzone“ zum Schutz der Insassen und die Antriebsbatterie. b Karosseriestruktur mit vielen und gleichmäßigen Krafteinleitungen für Front-, Seiten- und Heckcrash. (© FLB)

Wesentliche Kriterien zur Erfüllung der gesetzlichen Vorgaben und zur Erlangung einer guten Bewertung z. B. in EU-NCAP sind die sogenannten Verletzungskriterien, die auf die menschlichen Belastungsgrenzen zurückzuführen sind. Wir haben uns alle schon einmal an etwas Hartem gestoßen und dabei sehr wehgetan, als wir unseren Kopf wegen etwas Interessantem gedreht haben. Unser körperlicher Impuls wurde abrupt im Sinne des Energieerhaltungssatzes in „Schmerzen“ umgewandelt. Die Wissenschaft der Biomechanik beschäftigt sich u. a. mit dem Thema, wie groß ein äußerer Impuls auf einen menschlichen Körper sein darf. Dabei wird vor allem die Impulsänderung in Form von Beschleunigung bzw. Verzögerung ausgedrückt, welche ein Mensch tolerieren kann. In den 1940er und 1950er Jahren hat Dr. J. P. Stapp bahnbrechende Selbstversuche durchgeführt. Er hat in sehr schnell fahrenden Fahrzeugen (bis zu ca. 1000 km$/$h) verschieden starke Bremsungen vorgenommen, um die Verträglichkeit auf den eigenen Körper zu testen, was man sich in YouTube-Videos anschauen kann. Zusammen mit den Versuchen an der Wayne State University (USA) wurde die menschliche Belastungsgrenze in Form von zulässiger Verzögerung festgesetzt. Beispielweise kann ein gesunder junger menschlicher Körper 40 $g$ (Erdbeschleunigung) ertragen, wenn diese Belastung nicht mehr als 45 ms andauert. Dabei kann das menschliche Gehirn deutlich höhere Verzögerungen bei geringerer Wirkungszeit ertragen. Diese zeitabhängige Belastungsgrenze wird empirisch über den sogenannten Kopfbelastungswert HIC (Head Injury Criterion) in die Sicherheitsbewertung für den NCAP aufgenommen.

Damit die Insassen eines Fahrzeugs bei einem Crash und ein Fußgänger, der durch ein Fahrzeug angefahren wird, möglichst wenig verletzt werden, werden auf Basis der Impulserhaltung und des Energieerhaltungssatzes eine ganze Menge Sicherheitsmaßnahmen entwickelt. Dazu zählt u. a. die Entwicklung von möglichst großen und effizienten Deformationsbereichen in der Fahrzeugstruktur z. B. im Vorderwagenbereich („Knautschzone“) zur Absorption der kinetischen Energie. Neben der konstruktiven Gestaltung mit möglichst vielen und gleichmäßigen Krafteinleitungen an den Vorderwagen beim Crash zählen auch die Entwicklung von neuen Materialien mit möglichst gutem Energieabsorptionsverhalten und neue Fertigungsverfahren zur Herstellung solcher Bauteile. Die Herausforderungen bestehen darin, neben der Energieabsorption vor allem das Gewicht der Bauteile bzw. des Fahrzeugs und die Herstellkosten zu minimieren. Daran wird auch am Lehrstuhl für Fahrzeugleichtbau (FLB) gearbeitet. Kürzlich wurde am Lehrstuhl ein Verfahren entwickelt, mit dem nicht nur der geeignete Werkstoff identifiziert werden kann, also ob faserverstärkte Kunststoffe (FVK) oder Stahl und Aluminium für bestimmte Bauteile geeignet sind, sondern auch der Schichtaufbau und die Zusammensetzung für die FVK bestimmt werden kann.

Neben den Fahrzeugstrukturen werden Insassenschutzsysteme wie der Airbag und die Sicherheitsgurte zur Reduzierung der Insassenverzögerung eingesetzt. Auch die Fahrzeugstrukturen verschiedener Fahrzeuge sollen so angepasst werden, dass die Insassen in kleineren und größeren Fahrzeugen gleichermaßen überleben können. Auch das ist ein Thema der Forschungsarbeit am FLB.

Durch diese Maßnahmen können die Insassen eines Fahrzeugs, das beim EU-NCAP eine 5-Sterne-Bewertung erhalten hat, bei einem Crash mit 50 km$/$h gegen ein ähnliches Fahrzeug mit der gleichen Geschwindigkeit nach dem Unfall die Tür selbst öffnen und ohne größere Verletzungen aus dem Auto steigen.

• 1. Fang, X. F., Li, J., Kurtenbach, S., „Cost Effective Body Structure for an E-Vehicle“, Automobiltechnische Zeitschrift 5, 2014, S. 20–27.

• 2. Fang, X. F. Grote, M., „Development of a New Method for Identification of Endless Fiber Reinforced Composites“, International Journal of Automotive Technology 18(5), 2017, S. 861–887.

Prof. Dr.-Ing. Xiangfan Fang, geboren 1963 in Peking/China, studierte an der RWTH Aachen und promovierte 1992 zum Thema Werkstofftechnik. Zwischen 1993 und 2010 war er in verschiedenen leitenden Funktionen in Forschung und Entwicklung in der Automobil- und Zulieferindustrie tätig. 2010 wurde er zum Professor für Fahrzeugleichtbau an der Universität Siegen berufen, baute seitdem den gleichnamigen Lehrstuhl auf und leitet ihn.

Zusammenfassung

Die Impulserhaltung für ein abgeschlossenes System ist ein grundlegendes Naturgesetz mit Anwendungen in allen Gebieten der Physik.

	Thema	Wichtige Gleichungen und Anmerkungen
1.	Impuls
	Impuls eines Teilchens	$\boldsymbol{p}_{i}=m_{i}\,\boldsymbol{v}_{i}$   (6.1)
	Gesamtimpuls eines Systems	$\boldsymbol{p}=\sum_{i}m_{i}\,\boldsymbol{v}_{i}$   (6.4)
	Zweites Newton’sches Axiom für ein System	$\boldsymbol{F}_{\mathrm{ext}}=\dfrac{\mskip 2.0mu\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mskip 2.0mu\mathrm{d}t}$   (6.3)
	Impulserhaltungssatz	Wenn die resultierende Kraft auf ein System null ist, bleibt der Gesamtimpuls des Systems erhalten.
	Kinetische Energie eines Teilchens	$E_{\mathrm{kin},i}=\dfrac{p_{i}^{2}}{2\,m_{i}}$   (6.12)
2.	Stöße
	Kraftstoß	Der Kraftstoß einer Kraft ist definiert als das Integral der Kraft über das Zeitintervall, während dessen die Kraft wirkt: $\displaystyle\Updelta\boldsymbol{p}=\int\limits_{t_{\mathrm{A}}}^{t_{\mathrm{E}}}\boldsymbol{F}\mskip 2.0mu\mathrm{d}t\,$   (6.6)
	Zusammenhang von Kraftstoß und Impulsänderung bei einem System von Teilchen	$\displaystyle\Updelta\boldsymbol{p}=\int\limits_{t_{\mathrm{A}}}^{t_{\mathrm{E}}}\boldsymbol{F}_{\mathrm{ext}}\,\mskip 2.0mu\mathrm{d}t$   (6.8)
	Zeitliches Mittel einer Kraft (mittlere Kraft)	$\displaystyle\langle\boldsymbol{F}\rangle=\frac{1}{\Updelta t}\,\int\limits_{t_{\mathrm{A}}}^{t_{\mathrm{E}}}\boldsymbol{F}\,\mskip 2.0mu\mathrm{d}t=\frac{\Updelta\boldsymbol{p}}{\Updelta t}\qquad\text{und damit}\quad\Updelta\boldsymbol{p}=\langle\boldsymbol{F}\rangle\,\Updelta t$   (6.9)
	Vollständig inelastischer Stoß	Bei einem vollständig inelastischen Stoß bleiben die beiden Stoßpartner aneinanderhaften und bewegen sich gemeinsam mit der Endgeschwindigkeit $\boldsymbol{v}_{\mathrm{E}}$ in die gleiche Richtung: $m_{1}\boldsymbol{v}_{1,\mathrm{A}}+m_{2}\boldsymbol{v}_{2,\mathrm{A}}=(m_{1}+m_{2})\,\boldsymbol{v}_{\mathrm{E}}$   (6.11)
	Elastische Stöße	Ein Stoß zwischen zwei Partnern heißt elastisch, wenn die Summe der kinetischen Energien der beiden Stoßpartner vor und nach dem Stoß gleich ist. Es gilt $m_{1}\boldsymbol{v}_{1,\mathrm{A}}+m_{2}\boldsymbol{v}_{2,\mathrm{A}}=m_{1}\boldsymbol{v}_{1,\mathrm{E}}+m_{2}\boldsymbol{v}_{2,\mathrm{E}}$,   (6.15) $\frac{1}{2}m_{1}\boldsymbol{v}_{1,\mathrm{A}}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}\boldsymbol{v}_{2,\mathrm{A}}^{2}=\frac{1}{2}m_{1}\boldsymbol{v}_{1,\mathrm{E}}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}\boldsymbol{v}_{2,\mathrm{E}}^{2}$.   (6.16)
	Endgeschwindigkeiten der beiden Stoßpartner	Die Endgeschwindigkeiten der beiden Stoßpartner bei einem eindimensionalen zentralen Stoß sind $v_{1,\mathrm{E}}=\dfrac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\,v_{1,\mathrm{A}}$,   (6.20a) $v_{2,\mathrm{E}}=\dfrac{2\,m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\,v_{1,\mathrm{A}}$,   (6.20b) wenn anfänglich der zweite Körper in Ruhe war.
	Relativgeschwindigkeiten bei einem elastischen Stoß	Bei einem elastischen Stoß ist die Geschwindigkeit, mit der sich die Stoßpartner nach dem Stoß voneinander entfernen, genauso groß wie die Geschwindigkeit, mit der sie sich vor dem Stoß einander genähert haben. Bei einem zentralen Stoß gilt $v_{2,\mathrm{E}}-v_{1,\mathrm{E}}=-(v_{2,\mathrm{A}}-v_{1,\mathrm{A}})\,$.   (6.19)
	*Elastizitätszahl	Die Elastizitätszahl $e$ ist ein Maß für die Elastizität des Stoßes. Sie ist definiert als das Verhältnis der Relativgeschwindigkeiten nach und vor dem Stoß: $e=\displaystyle-\frac{v_{2,\mathrm{E}}-v_{1,\mathrm{E}}}{v_{2,\mathrm{A}}-v_{1,\mathrm{A}}}\,$   (6.26) Bei einem vollständig elastischen Stoß ist $e=1$, bei einem vollständig inelastischen Stoß ist $e=0$.

Antwort auf die Kurzfrage

• 6.1 Nein.

Lösungen der Zusatzaufgaben

• 6.1 $8{,}4\,\text{J}$

• 6.2 1,32 m$/$s. Wenn sie die Hanteln nacheinander wirft, gewinnt sie mehr Tempo, als wenn sie die Hanteln gleichzeitig von sich wirft.

• 6.3 Wegen der Impulserhaltung folgt $v_{1,\mathrm{A}}+v_{2,\mathrm{A}}=v_{1,\mathrm{E}}+v_{2,\mathrm{E}}$. Bei einem elastischen Stoß ist $v_{1,\mathrm{A}}-v_{2,\mathrm{A}}=v_{2,\mathrm{E}}-v_{1,\mathrm{E}}$. Zusammen folgt daraus: $v_{2,\mathrm{E}}=v_{1,\mathrm{A}}$ und $v_{1,\mathrm{E}}=v_{2,\mathrm{A}}$.

Aufgaben

Bei allen Aufgaben ist die Fallbeschleunigung $\boldsymbol{g=\mathrm{9{,}81\,m/s^{\mathbf{2}}}}$. Falls nichts anderes angegeben ist, sind Reibung und Luftwiderstand zu vernachlässigen.

1.1 Verständnisaufgaben

6.1

• Zeigen Sie: Wenn zwei Teilchen gleiche kinetische Energien haben, dann sind die Beträge ihrer Impulse nur dann gleich, wenn sie auch dieselbe Masse haben.

6.2

• Richtig oder falsch? a) Der Gesamtimpuls eines Systems kann auch dann erhalten bleiben, wenn die mechanische Energie des Systems nicht erhalten bleibt. b) Damit der Gesamtimpuls eines Systems erhalten bleibt, dürfen keine äußeren Kräfte auf das System wirken. c) Die Geschwindigkeit des Massenmittelpunkts ändert sich nur, wenn eine resultierende äußere Kraft auf das System wirkt.

6.3

• Ein Kind springt von einem kleinen Boot an Land. Warum muss es mit mehr Energie springen, als es müsste, wenn es dieselbe Strecke von einem Felsen auf einen Baumstumpf springen würde?

6.4

• Zwei identische Kegelkugeln bewegen sich mit gleichen Schwerpunktsgeschwindigkeiten, aber die eine gleitet, ohne zu rollen, und die andere rollt entlang der Bahn. Welche der Kugeln hat die größere kinetische Energie? Wegen des Zusammenhangs $E_{\mathrm{kin}}=p^{2}/(2\,m)$ zwischen kinetischer Energie und Impuls eines Teilchens mag es aussehen, als liege ein Widerspruch vor. Erläutern Sie, warum das nicht der Fall ist.

6.5

• Richtig oder falsch? a) Nach einem vollständig inelastischen Stoß ist die kinetische Energie des Systems in allen Inertialsystemen null. b) Bei einem zentralen elastischen Stoß entfernen sich die Stoßpartner genauso schnell voneinander, wie sie sich zuvor einander genähert hatten.

6.6

•• Ein Großteil der frühen Raketenforschung geht auf Robert H. Goddard (1882–1945) zurück, der als Physikprofessor am Clark College in Massachusetts arbeitete. Ein Leitartikel der New York Times aus dem Jahr 1920 belegt, was die Öffentlichkeit von seinen Arbeiten hielt: „Zu sagen, dass Professor Goddard, sein ‚Lehrstuhl‘ am Clark College und seine Genossen an der Smithsonian Institution den Zusammenhang zwischen Aktion und Reaktion nicht kennen, nach dem eine Rakete etwas mehr als nur das Vakuum braucht, um sich daran abzustoßen – das alles zu sagen, wäre absurd. Offenbar fehlt es ihm einfach an dem Wissen, das schon an unseren Highschools gelehrt wird.“ Die Ansicht, dass eine Rakete sich an einem Medium abstoßen muss, war damals ein weit verbreiteter Irrglaube. Erläutern Sie, warum die Ansicht falsch ist. (Übrigens brauchte die New York Times ein halbes Jahrhundert, um sich zu entschuldigen: Erst am 17. Juli 1969, drei Tage vor der ersten Mondlandung, berichtigte die Zeitung den Fehler.)

6.7

•• Betrachten Sie einen vollständig inelastischen Stoß zwischen zwei Körpern gleicher Masse. a) In welchem Fall ist der Verlust an kinetischer Energie größer: wenn die zwei Körper sich mit entgegengesetzten Geschwindigkeiten mit dem Betrag $v/2$ einander nähern oder wenn zuvor einer der beiden Körper in Ruhe ist und der andere die Geschwindigkeit $v$ hat? b) In welchem der beiden Fälle ist der prozentuale Verlust an kinetischer Energie größer?

6.8

•• Ein Teilchen der Masse $m_{1}$ mit der Geschwindigkeit $v$ stößt elastisch zentral mit einem ruhenden Teilchen der Masse $m_{2}$ zusammen. In welchem Fall wird am meisten Energie auf das Teilchen der Masse $m_{2}$ übertragen? a) $m_{2}<m_{1}$, b) $m_{2}=m_{1}$, c) $m_{2}> m_{1}$, d) in keinem der angegebenen Fälle.

6.9

•• Die Düse an einem Gartenschlauch ist oft rechtwinklig geformt (Abb. 6.29). Wenn Sie eine solche Düse anschließen und den Wasserhahn öffnen, werden Sie feststellen, dass die Düse ziemlich stark gegen Ihre Hand drückt – jedenfalls viel stärker, als wenn Sie eine nicht gebogene Düse verwenden. Warum ist das so?

Abb. 6.29

Zu Aufgabe 6.9

6.10

•• Dass selbst wirklich gut ausgebildete und intelligente Personen Fehler machen können, zeigt die folgende Aufgabe, die einem Einführungskurs am Caltech gestellt wurde: „Ein Segelboot treibt bei einer Flaute auf dem Wasser. Um das Boot zu bewegen, baut ein physikalisch unbedarfter Matrose im Heck des Schiffs einen Ventilator auf, der die Segel anblasen und so das Boot bewegen soll. Erläutern Sie, warum das Boot sich nicht bewegt.“ Die Vorstellung war, dass die resultierende Kraft des Windes, der das Segel nach vorn treibt, durch die Kraft ausgeglichen wird, die den Ventilator nach hinten treibt (drittes Newton’sches Axiom). Wie ein Student dem Prüfer nachwies, konnte das Boot sich aber doch vorwärtsbewegen. Wie das?

1.2 Schätzungs- und Näherungsaufgabe

6.11

•• Ein Auto mit einer Masse von 2000 kg rast mit 90 km$/$h gegen eine unnachgiebige Betonwand. a) Schätzen Sie die Stoßzeit ab. Nehmen Sie dabei an, dass die vordere Hälfte des Wagens um die Hälfte zusammengestaucht wird, während der Mittelpunkt des Wagens eine konstante Verzögerung erfährt. (Rechnen Sie mit einem vernünftigen Wert für die Wagenlänge.) b) Schätzen Sie die mittlere Kraft ab, die von der Betonwand auf das Auto ausgeübt wird.

6.12

•• Schätzen Sie anhand von Abb. 6.30 die Elastizitätszahl für den Stoß zwischen Schläger und Ball.

Abb. 6.30

Zu Aufgabe 6.12

1.3 Impulserhaltung

6.13

• Abb. 6.31 zeigt das Verhalten eines Geschosses unmittelbar nach dem Zerbrechen in drei Stücke. Welche Geschwindigkeit hatte das Geschoss unmittelbar vor dem Zerbrechen?  a) $v_{3}$,  b) $v_{3}/3$,  c) $v_{3}/4$,  d) $v_{3}$,  e) $(v_{1}+v_{2}+v_{3})/4$.

Abb. 6.31

Zu Aufgabe 6.13

6.14

••• Ein Keil mit der Masse $m_{\mathrm{K}}$ liegt auf einer horizontalen, reibungsfreien Oberfläche. Auf die ebenfalls reibungsfreie geneigte Ebene des Keils wird ein kleiner Block der Masse $m$ gelegt (Abb. 6.32). Während der Block von seiner Ausgangsposition bis zur horizontalen Ebene hinabgleitet, bewegt sich sein Massenmittelpunkt um die Strecke $h$ nach unten. a) Welche Geschwindigkeiten haben der Block und der Keil, sobald sie sich nicht mehr berühren? b) Überprüfen Sie die Plausibilität Ihrer Berechnung anhand des Grenzfalls $m_{\mathrm{K}}\gg m$.

Abb. 6.32

Zu Aufgabe 6.14

6.15

•• Eine Basketballspielerin der Masse $m=70$ kg springt mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 1 m/s aus dem Stand nach oben ab. Vergleichen Sie die Veränderung des Impulses der Person und der Erde beim Abspringen. Vergleichen Sie dann die Veränderung der kinetischen Energie der Person und der Erde beim Abspringen.

1.4 Kraftstoß und zeitliches Mittel einer Kraft

6.16

• Sie treten einen Fußball der Masse 0,43 kg. Der Ball verlässt Ihren Fuß mit einer Geschwindigkeit von 25 m$/$s. a) Welchen Betrag hat der Kraftstoß, den Sie auf den Ball übertragen haben? b) Nehmen Sie an, Ihr Fuß ist für 8,0 ms mit dem Ball in Kontakt. Wie groß ist dann die mittlere Kraft, die Ihr Fuß auf den Ball ausübt?

6.17

•• Ein Ball mit einer Masse von 60 g, der sich mit 5,0 m$/$s bewegt, trifft in einem Winkel von 40${}^{\circ}$ gegen die Normale auf eine Wand und prallt von ihr in gleichem Winkel wieder ab. Er ist für 2,0 ms mit der Wand in Kontakt. Welche mittlere Kraft übt der Ball auf die Wand aus?

6.18

•• Das Polster, auf dem ein Stabhochspringer nach seinem Sprung landet, ist im Wesentlichen ein Luftkissen mit einer Normalhöhe von 1,2 m, das auf etwa 0,20 m zusammengepresst wird, wenn der Springer darauf zur Ruhe kommt. a) In welcher Zeit wird ein Springer, der gerade die Latte bei 6,40 m überwunden hat, bis zum Stillstand gestoppt? b) Wie groß wäre der Zeitraum, wenn man nicht ein Luftkissen verwenden würde, sondern eine 20 cm dicke Schicht von Sägespänen, die sich beim Aufprall auf 5,0 cm komprimiert? c) Diskutieren Sie qualitativ, wie sich die mittleren Kräfte auf den Springer bei diesen beiden Landungsmatten unterscheiden. Mit anderen Worten: Welche der Matten übt die geringere Kraft auf den Springer aus, und warum?

6.19

••• In großen Kalksteinhöhlen tropft ständig Wasser herunter. a) Nehmen Sie an, pro Minute fallen zehn Wassertropfen von je 0,030 ml aus einer Höhe von 5,0 m zu Boden. Wie hoch ist die mittlere Kraft, die während 1,0 min von den Wassertröpfchen auf den Kalksteinboden ausgeübt wird? (Nehmen Sie dabei an, dass sich auf dem Boden keine Pfütze bildet.) b) Vergleichen Sie diese Kraft mit der Gewichtskraft eines Tropfens.

1.5 Stöße in einer Raumrichtung

6.20

• Ein Auto mit der Masse 2000 kg fährt nach rechts und verfolgt mit 30 m$/$s ein zweites Auto derselben Masse, das mit 10 m$/$s in dieselbe Richtung fährt. a) Die beiden Autos stoßen zusammen und bleiben aneinanderhaften. Wie hoch ist ihre Geschwindigkeit unmittelbar nach dem Stoß? b) Welcher Anteil der kinetischen Energie geht bei diesem Stoß verloren? Wo bleibt er?

6.21

• Ein 5,0 kg schwerer Körper stößt mit 4,0 m$/$s frontal auf einen 10 kg schweren zweiten Körper, der ihm mit 3,0 m$/$s entgegenkommt. Der schwerere Körper kommt durch den Stoß zum Stillstand. a) Wie hoch ist die Geschwindigkeit des 5,0 kg schweren Körpers nach dem Stoß? b) Ist der Stoß elastisch?

6.22

•• Bei einem elastischen Stoß trifft ein Proton der Masse $m_{\mathrm{P}}$ zentral auf einen ruhenden Kohlenstoffkern der Masse 12 $m_{\mathrm{P}}$. Die Geschwindigkeit des Protons beträgt 300 m$/$s. Berechnen Sie die Geschwindigkeiten des Protons und des Kohlenstoffkerns nach dem Stoß.

6.23

•• Ein Proton der Masse $m_{\mathrm{P}}$ bewegt sich mit einer Anfangsgeschwindigkeit $v_{0}$ auf ein ruhendes Alphateilchen der Masse $4\,m_{\mathrm{P}}$ zu. Weil beide Teilchen positive Ladung tragen, stoßen sie einander ab. (Die abstoßenden Kräfte sind so groß, dass die beiden Teilchen nicht in direkten Kontakt treten.) Berechnen Sie die Geschwindigkeit $v_{\upalpha}$ des Alphateilchens, a) wenn der Abstand zwischen den beiden Teilchen minimal ist, und b) zu einem späteren Zeitpunkt, wenn die beiden Teilchen weit voneinander entfernt sind.

6.24

•• Eine Kugel mit der Masse 16 g wird auf den Pendelkörper eines ballistischen Pendels mit der Masse 1,5 kg abgefeuert (Abb. 6.33). Wenn der Pendelkörper seine maximale Höhe erreicht hat, bilden die 2,3 m langen Schnüre einen Winkel von 60${}^{\circ}$ mit der Vertikalen. Berechnen Sie die Geschwindigkeit der Kugel vor dem Einschlag.

Abb. 6.33

Zu Aufgabe 6.24

6.25

•• Bei einem eindimensionalen elastischen Stoß sind die Masse und die anfängliche Geschwindigkeit des ersten Körpers durch $m_{1}$ bzw. $v_{1,\mathrm{A}}$ gegeben, die des zweiten Körpers durch $m_{2}$ bzw. $v_{2,\mathrm{A}}$. Zeigen Sie, dass dann für die Endgeschwindigkeiten $v_{1,\mathrm{E}}$ und $v_{2,\mathrm{E}}$ gilt

$$\begin{aligned}\displaystyle v_{1,\mathrm{E}}&\displaystyle=\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\,v_{1,\mathrm{A}}+\frac{2\,m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\,v_{2,\mathrm{A}}\,,\end{aligned}$$

und

$$\begin{aligned}\displaystyle v_{2,\mathrm{E}}&\displaystyle=\frac{2\,m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\,v_{1,\mathrm{A}}+\frac{m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\,v_{2,\mathrm{A}}\,.\end{aligned}$$

6.26

•• Eine Kugel der Masse $m_{1}$ trifft mit der Geschwindigkeit $v_{0}$ horizontal auf den Pendelkörper eines ballistischen Pendels der Masse $m_{2}$. Der Pendelkörper ist an einem Ende an einer sehr leichten Stange der Länge $l$ befestigt, die am anderen Ende frei drehbar aufgehängt ist. Die Kugel bleibt im Pendelkörper stecken. Geben Sie einen Ausdruck für die Geschwindigkeit $v_{0}$ an, die die Kugel mindestens haben muss, damit der Pendelkörper eine vollständige Umdrehung ausführt.

6.27

•• Das Berylliumisotop ${}^{8}$Be ist instabil und zerfällt in zwei Alphateilchen der Masse $m_{\upalpha}=6{,}64\cdot 10^{-27}$ kg, wobei eine Energie von $1{,}5\cdot 10^{-14}$ J frei wird. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit der beiden Alphateilchen, die aus dem Zerfall des anfangs ruhenden Berylliumkerns hervorgehen. Nehmen Sie an, dass sämtliche Energie als kinetische Energie der Teilchen frei wird.

1.6 *Stöße in mehr als einer Raumrichtung

6.28

•• Auf geometrische Weise kann man beweisen, dass die Geschwindigkeitsvektoren zweier Teilchen gleicher Masse, von denen eines anfangs in Ruhe ist, nach einem nicht zentralen elastischen Stoß im rechten Winkel zueinander stehen. In dieser Aufgabe sollen Sie diese Aussage auf einem anderen Weg beweisen, bei dem der Nutzen der Vektorschreibweise deutlich wird. a) Gegeben sind drei Vektorbeträge $A$, $B$ und $C$, für die gilt: $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C}$.  Quadrieren Sie beide Seiten dieser Gleichung (d. h., bilden Sie das Skalarprodukt jeder Seite mit sich selbst) und zeigen Sie, dass $A^{2}=B^{2}+C^{2}+2\,\boldsymbol{B}\boldsymbol{C}$ gilt.  b) Der Impuls des sich anfänglich bewegenden Teilchens ist $\boldsymbol{p}$, und die Impulse der Teilchen nach dem Stoß sind $\boldsymbol{p}_{1}$ und $\boldsymbol{p}_{2}$. Schreiben Sie die Vektorgleichung für die Impulserhaltung und quadrieren Sie beide Seiten (d. h., bilden Sie das Skalarprodukt jeder Seite mit sich selbst). Vergleichen Sie diesen Ausdruck mit der Gleichung, die Sie aus der Bedingung für den elastischen Stoß (Erhaltung der kinetischen Energie) herleiten, und zeigen Sie schließlich, dass aus den beiden Gleichungen folgt: $\boldsymbol{p}_{1}\boldsymbol{p}_{2}=0$.

6.29

•• Bei einer Billardpartie stößt der Spielball mit 5,0 m$/$s elastisch auf eine ruhende andere Kugel. Nach dem Stoß entfernt sich die andere Kugel nach rechts, in einem Winkel von 30${}^{\circ}$ zur ursprünglichen Richtung des Spielballs fort. Beide Kugeln haben die gleiche Masse. a) Geben Sie die Bewegungsrichtung des Spielballs unmittelbar nach dem Stoß an. b) Berechnen Sie die Geschwindigkeiten der beiden Kugeln unmittelbar nach dem Stoß.

6.30

•• Ein Puck der Masse 5,0 kg und der Geschwindigkeit 2,0 m$/$s stößt auf einen identischen Puck, der auf einer reibungsfreien Eisfläche liegt. Nach dem Stoß entfernt sich der erste Puck mit der Geschwindigkeit $v_{1}$ im Winkel von 30${}^{\circ}$ zu seiner ursprünglichen Richtung; der zweite Puck entfernt sich mit $v_{2}$ im Winkel von 60${}^{\circ}$ (Abb. 6.34). a) Berechnen Sie die Geschwindigkeiten $v_{1}$ und $v_{2}$. b) War der Stoß elastisch?

Abb. 6.34

Zu Aufgabe 6.30

6.31

••• In einem Billardspiel trifft eine Kugel mit der Geschwindigkeit $v_{0}$ nicht zentral auf eine zweite Kugel. Der Stoß ist elastisch, die zweite Kugel ruht vor dem Stoß, und die erste Kugel wird durch den Stoß um 30${}^{\circ}$aus ihrer ursprünglichen Bewegungsrichtung abgelenkt. Welche Geschwindigkeit hat die zweite Kugel nach dem Stoß? (Beide Kugeln sollen dieselbe Masse haben.)

6.32

•• Ein Teilchen hat eine Anfangsgeschwindigkeit $v_{0}$. Es stößt mit einem ruhenden Teilchen derselben Masse zusammen und wird um einen Winkel $\phi$ abgelenkt. Seine Geschwindigkeit nach dem Stoß ist $v$. Das zweite Teilchen erfährt einen Rückstoß, und seine Richtung bildet einen Winkel $\theta$ mit der ursprünglichen Richtung des ersten Teilchens. a) Zeigen Sie, dass  $\tan\,\theta=({v\;\sin\phi})/({v_{0}-v\;\cos\phi)}$  gilt. b) Zeigen Sie, dass für den Fall eines elastischen Stoßes  $v=v_{0}\;\cos\phi$  gilt.

6.33

••• Das Borisotop ${}^{9}$B ist instabil und zerfällt in ein Proton und zwei Alphateilchen. Dabei werden $4{,}4\cdot 10^{-14}$ J als kinetische Energie der Zerfallsprodukte frei. Bei einem solchen Zerfall wird die Geschwindigkeit des Protons zu $6{,}0\cdot 10^{6}$ m$/$s gemessen, wenn der Borkern anfangs in Ruhe ist. Nehmen Sie an, dass beide Alphateilchen gleiche Energien haben. Berechnen Sie, wie schnell und in welche Richtungen bezüglich der Richtung des Protons sich die beiden Alphateilchen bewegen.

1.7 Elastizitätszahl

6.34

• Sie haben die Aufgabe, die Elastizitätszahl einer neuen Stahllegierung zu messen. Sie überzeugen Ihre Kollegen, den Wert einfach dadurch zu bestimmen, dass sie aus der Legierung eine Kugel und eine Platte fertigen und dann die Kugel auf die Platte fallen lassen. Die Kugel fällt aus 3,0 m Höhe und springt 2,5 m hoch zurück. Wie groß ist die Elastizitätszahl?

6.35

•• Ein Block der Masse 2,0 kg bewegt sich mit 5,0 m$/$s nach rechts und stößt mit einem Block der Masse 3,0 kg zusammen, der sich mit 2,0 m$/$s in dieselbe Richtung bewegt (siehe Abbildung). Nach dem Stoß bewegt sich der schwerere Block mit 4,2 m$/$s nach rechts. Berechnen Sie a) die Geschwindigkeit des leichteren Blocks nach dem Stoß und b) die Elastizitätszahl zwischen den beiden Blöcken.

1.8 Allgemeine Aufgaben

6.36

• Ein Auto mit einer Masse von 1500 kg fährt mit 70 km$/$h nach Norden. An einer Kreuzung stößt es mit einem Auto mit der Masse 2000 kg zusammen, das mit 55 km$/$h nach Westen fährt. Die beiden Autos verkeilen sich ineinander und bleiben aneinanderhaften. a) Wie groß ist der Gesamtimpuls des Systems vor dem Stoß? b) Ermitteln Sie Betrag und Richtung der Geschwindigkeit der beiden verkeilten Wracks unmittelbar nach dem Stoß.

6.37

•• Eine Frau von 60 kg steht auf einem 6,0 m langen Floß von 120 kg auf einem stehenden Gewässer. Das Floß kann sich reibungsfrei auf der ruhigen Wasseroberfläche bewegen, jetzt aber ruht es in 0,50 m Entfernung von einem festen Pier (Abb. 6.35). a) Die Frau geht zum Ende des Floßes und hält an. Wie weit ist sie jetzt vom Pier entfernt? b) Während die Frau läuft, hat sie eine konstante Geschwindigkeit von 3,0 m$/$s relativ zum Floß. Berechnen Sie die kinetische Gesamtenergie des Systems (Frau + Floß) und vergleichen Sie sie mit der kinetischen Energie, die sich ergäbe, wenn die Frau mit 3,0 m$/$s auf einem am Pier vertäuten Floß liefe. c) Woher kommt die Energie, und wo bleibt sie, wenn die Frau am Ende des Floßes stoppt? d) An Land kann die Frau einen Beutel mit Bleischrot 6,0 m weit werfen. Sie steht jetzt am hinteren Ende des Floßes, zielt über das Floß und wirft den Beutel so, dass er ihre Hand mit derselben Geschwindigkeit verlässt wie bei einem Wurf an Land. Geben Sie näherungsweise an, wo der Beutel landet.

Abb. 6.35

Zu Aufgabe 6.37

6.38

••• Bei der sogenannten Swing-by-Technik wird die Energieübertragung bei einem elastischen Stoß ausgenutzt, um die Energie einer Raumsonde so stark zu erhöhen, dass sie das Sonnensystem verlassen kann. Alle Geschwindigkeiten werden hier in einem Inertialsystem angegeben, bei dem der Sonnenmittelpunkt in Ruhe ist. Abb. 6.36 zeigt eine Raumsonde, die sich mit 10,4 km$/$s dem Planeten Saturn nähert, der ihr mit 9,6 km$/$s näherungsweise entgegenkommt. Wegen der Anziehungskraft zwischen Saturn und Sonde schwingt die Sonde um den Planeten herum und rast mit einer Geschwindigkeit $v_{\mathrm{E}}$ in etwa entgegengesetzter Richtung weiter. a) Fassen Sie diesen Vorgang als elastischen Stoß in einer Dimension auf, wobei die Saturnmasse sehr viel größer ist als die Masse der Raumsonde. Berechnen Sie $v_{\mathrm{E}}$.  b) Um welchen Faktor nimmt die kinetische Energie der Raumsonde zu? Woher kommt die zusätzliche Energie?

Abb. 6.36

Zu Aufgabe 6.38

6.39

••• Ein Neutron der Masse $m_{\mathrm{n}}$ stößt elastisch zentral mit einem ruhenden Atomkern der Masse $m_{\mathrm{K}}$ zusammen. a) Zeigen Sie, dass für die kinetische Energie des Kerns $E_{\mathrm{kin,K}}=E_{\mathrm{kin,n}}\,4\,m_{\mathrm{n}}\,m_{\mathrm{K}}/(m_{\mathrm{n}}+m_{\mathrm{K}})^{2}$ gilt, wobei $E_{\mathrm{kin,n}}$ die kinetische Anfangsenergie des Neutrons bezeichnet. b) Zeigen Sie, dass für den anteiligen Energieverlust des Neutrons bei diesem Stoß gilt:

$$\begin{aligned}\displaystyle\frac{\Updelta E_{\mathrm{kin,n}}}{E_{\mathrm{kin,n}}}=\frac{-4\,\big(m_{\mathrm{n}}/m_{\mathrm{K}}\big)}{\big(1+[m_{\mathrm{n}}/m_{\mathrm{K}}]\big)^{2}}\,.\end{aligned}$$

c) Zeigen Sie, dass dieser Ausdruck sowohl für $m_{\mathrm{n}}\ll m_{\mathrm{K}}$ als auch für $m_{\mathrm{n}}=m_{\mathrm{K}}$ plausible Ergebnisse liefert. Welche Art von ruhenden Kernen sollte man verwenden, wenn die Neutronen bei dem Stoß möglichst viel ihrer kinetischen Energie verlieren sollen?

6.40

••• Die Masse eines Kohlenstoffkerns ist etwa zwölfmal so groß wie die eines Neutrons. a) Zeigen Sie mithilfe des Ergebnisses aus der vorigen Aufgabe, dass die kinetische Energie eines Neutrons nach $n$ zentralen Stößen mit einem ruhenden Kohlenstoffkern nur noch etwa $0{,}716^{n}$ seiner anfänglichen kinetischen Energie $E_{\mathrm{kin,0}}$ beträgt. b) Die Neutronen, die bei der Spaltung eines Urankerns frei werden, haben eine kinetische Energie von etwa 2,0 MeV. Damit ein solches Neutron in einem Reaktor einen weiteren Urankern spalten kann, muss seine kinetische Energie auf etwa 0,020 eV verringert werden. Wie viele zentrale Stöße mit ruhenden Kohlenstoffkernen sind für diesen Energieverlust erforderlich?