Einführung in die Quantenphysik

Zusammenfassung

Zu Beginn des 20. Jahrhunderts nahm man an, dass Licht und andere elektromagnetische Strahlung (z. B. Radiowellen) Wellennatur hat, ähnlich wie der Schall oder andere mechanische Wellen. Dagegen hielt man Elektronen, Protonen, Atome und andere Bausteine der Materie eindeutig für Teilchen. Doch in den ersten 30 Jahren des 20. Jahrhunderts stellte sich durch die überraschenden Entwicklungen in der theoretischen und der experimentellen Physik heraus, dass Licht Energie „portionsweise“, in Quanten, abgibt oder aufnimmt und sich ähnlich verhält wie Teilchen. Umgekehrt beobachtete man bei Elektronenstrahlen, die man sich als Teilchenstrahlen vorstellte, Beugung und Interferenz wie bei Wellen.

Interferenzmuster, die durch Elektronen hinter einem Doppelspalt erzeugt werden, zeigen umso deutlichere Interferenzstreifen, je höher die Anzahl der durch die Spalte tretenden Elektronen ist – hier sind es 10, 100, 3000 bzw. 70 000 Elektronen. Die Maxima und Minima im Interferenzmuster demonstrieren die Wellennatur des Elektrons. Dagegen demonstriert jeder Punkt am Schirm die Teilchennatur des Elektrons, das mit dem Detektor Energie austauscht. (Mit freundlicher Genehmigung von Akira Tononmura, Advanced Research Laboratory, Hitachi, Ltd.)

? Wie ist die Wellenlänge eines Teilchens zu berechnen? (Siehe Übung 32.2.)

Appendices

Im Kontext: Zwischen Quantenmechanik und klassischer Mechanik

Nach dem Bohr’schen Korrespondenzprinzip ist die klassische Mechanik ein Grenzfall der Quantenmechanik, wobei die Abstände zwischen den einzelnen Energieniveaus so klein sind, dass sie nicht mehr beobachtbar sind. Daher beschreiben wir makroskopische Prozesse wie etwa die Flugbahn eines in die Luft geworfenen Balls mit den Gleichungen der Newton’schen Mechanik, während wir für die Erklärung des Photoeffekts die Quantenmechanik verwenden müssen. Doch bei welchen Energien und Wellenlängen geht die Quantenmechanik in die klassische Mechanik über? Diese Frage ist immer noch Gegenstand aktueller Forschungen, und mit zunehmender Präzision der experimentellen Apparaturen gelingt es, bei immer größeren Molekülen erfolgreich Welleneigenschaften nachzuweisen.

Komplexe Moleküle, deren Welleneigenschaften bereits nachgewiesen werden konnten¹: a $\mathrm{C_{60}}$, b $\mathrm{C_{60}F_{48}}$, c $\mathrm{C_{44}H_{30}N_{4}}$, d $\mathrm{C_{30}H_{12}F_{30}N_{2}O_{4}}$, e $\mathrm{C_{48}H_{24}F_{51}}$P. (M. Hornberger)

1999 fand die Gruppe um Markus Arndt, dass $\mathrm{C_{60}}$-Moleküle, sogenannte Fullerene, Beugung und Interferenz zeigen, wenn sie ein SiN-Gitter mit einem Gitterabstand von 100 nm passieren.² Mit einer de-Broglie-Wellenlänge von ungefähr 2,5 pm ist die Wellenlänge des fußballförmigen Fullerens wesentlich kürzer als sein Durchmesser, der ca. 1 nm beträgt. Die Stöße der Moleküle mit den Kanten des Gitters führen jedoch zu einer verminderten Sichtbarkeit des Interferenzmusters, da die Kohärenz zwischen den Teilen der Materiewelle an den einzelnen Spalten des Gitters dadurch verloren geht. Um dieses Problem zu umgehen, wurde das SiN-Gitter durch eine stehende Lichtwelle eines Laserstrahls ersetzt. In diesem sogenannten Kapitza-Dirac-Talbot-Lau-Interferometer kann man sogar Beugung und Interferenz komplexerer Moleküle wie $\mathrm{C_{60}F_{48}}$³, $\mathrm{C_{44}H_{30}N_{4}}$³, $\mathrm{C_{30}H_{12}F_{30}N_{2}O_{4}}$⁴ oder $\mathrm{C_{48}H_{24}F_{51}}$P⁵ beobachten.

Perfluoroalkyl-funktionalisiertes Azobenzen (mit der Formel $\mathrm{C_{30}H_{12}F_{30}N_{2}O_{4}}$) bildet eine mehratomige Molekülkette mit 3,2 nm Länge, die in ausgestrecktem Zustand viermal so lang ist wie der Durchmesser des $\mathrm{C_{60}}$-Moleküls. Besonders interessant dabei ist, dass diese Kette ihre Konfiguration auf einer Zeitskala verändert, die wesentlich kürzer als die Flugzeit im Interferometer ist, und man trotz dieser inneren Zustandsdynamik des Moleküls seine Welleneigenschaft in diesem Interferometer nachweisen kann.

• 1. M. Arndt und K. Hornberger, „Quantum interferometry with complex molecules“, Quantum Coherence in Solid State Systems, International School of Physics „Enrico Fermi“, Course CLXXI, Vol. 171, p. 103–130, IOS press, Amsterdam (2009)

• 2. M. Arndt, O. Nairz, J. Voss-Andreae, C. Keller, G. van der Zouw und A. Zeilinger, „Wave-particle duality of $\mathrm{C_{60}}$“, Nature 401, 680–682 (1999)

• 3. L. Hackermüller, S. Uttenthaler, K. Hornberger, E. Reiger, B. Brezger, A. Zeilinger und M. Arndt, „The wave nature of biomolecules and fluorofullerenes“, Phys. Rev. Lett. 91, 90408 (2003)

• 4. S. Gerlich, L. Hackermüller, K. Hornberger, A. Stibor, H. Ulbricht, F. Goldfarb, T. Savas, M. Müri, M. Mayor und M. Arndt, „A Kapitza-Dirac-Talbot-Lau interferometer for highly polarizable molecules“, Nature Physics 3, 711 (2007)

• 5. S. Gerlich, M. Gring, H. Ulbricht, K. Hornberger, J. Tüxen, M. Mayor und M. Arndt, „Matter-Wave Metrology as a Complementary Tool for Mass Spectrometry“, Angew. Chem. Int. Ed. 47, 6195–6198 (2008)

Zusammenfassung

• 1. Alle Objekte bewegen sich wie Wellen und tauschen Energie wie Teilchen aus.

• 2. Die Heisenberg’sche Unschärferelation ist ein fundamentales Naturgesetz. Es setzt der Genauigkeit prinzipielle Grenzen, wenn man an einem mikroskopischen Teilchen bestimmte Größen gleichzeitig messen will, beispielsweise die Position und den Impuls. Dieses Prinzip folgt aus den allgemeinen Eigenschaften von Wellen.

	Thema	Wichtige Gleichungen und Anmerkungen
1.	Teilchennatur des Lichts: Photonen	Die Energie von Licht ist quantisiert. Die Lichtquanten nennt man Photonen.
	Photonenenergie und -impuls	$E=h\,\nu{\qquad}\text{und}{\qquad}E=p\,c$   (32.1, 32.6)
	Planck’sches Wirkungsquantum	$h=6{,}626\cdot 10^{-34}\,\text{J}\cdot\text{s}=4{,}136\cdot 10^{-15}\,{\text{eV}}\cdot\text{s}\,,\qquad\hbar=\frac{h}{2\pi}$   (32.2)
	Die Größe $h\,c$	$h\,c=1240\,{\text{eV}}\cdot\text{nm}$   (32.5)
	Photoelektrischer Effekt	$E_{\text{kin,max}}=\left({\textstyle\frac{1}{2}}\,m\,v^{2}\right)_{\text{max}}=h\,\nu-W_{\text{Abl}}$   (32.3) Darin ist $W_{\text{Abl}}$ die Ablösearbeit der Kathode.
	Compton-Streuung	$\lambda_{2}-\lambda_{1}=\frac{h}{m_{\text{e}}\,c}\,(1-\cos\theta)=\lambda_{\text{Compton}}\,(1-\cos\theta)$   (32.11) $\text{mit}{\qquad}\lambda_{\text{Compton}}=\frac{h}{m_{\text{e}}\,c}=2{,}426\,\text{pm}$   (32.12)
2.	De Broglie’sche Beziehungen	Den Zusammenhang zwischen der Wellenlänge und dem Impuls von Elektronen, Photonen und anderen Teilchen beschreiben die de Broglie’schen Beziehungen: $E=h\,\nu{\qquad}\text{und}{\qquad}p=\frac{h}{\lambda}$   (32.14, 32.13)
	Nichtrelativistische Teilchen	$E_{\text{kin}}=\frac{p^{2}}{2\,m}{\qquad}\text{und daher}{\quad}\lambda=\frac{h\,c}{\sqrt{2\,m\,c^{2}\,E_{\text{kin}}}}$   (32.15)
3.	Quantenmechanik	Der Zustand eines Teilchens, beispielsweise eines Elektrons oder Photons, wird durch seine (i. A. komplexe) Wellenfunktion $\psi$ beschrieben, die eine Lösung der Schrödinger-Gleichung ist. Für stehende Wellen kann man den Ansatz $\Psi(x,t)=\psi(x)\,\mskip 2.0mu\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\,$   (32.20) verwenden, wobei $\mskip 2.0mu\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}=\cos{(\omega t)}-\mathrm{i}\,\sin{(\omega t)}$ ist.
	Zeitabhängige Schrödinger-Gleichung	Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung ist eine Differenzialgleichung, die die zweite räumliche Ableitung einer Wellenfunktion mit ihrer ersten zeitlichen Ableitung verknüpft. Wellenfunktionen, die physikalische Situationen beschreiben, sind Lösungen dieser Differenzialgleichung: $-\frac{\hbar^{2}}{2\,m}\frac{\partial^{2}{\varPsi}(x,t)}{\partial x^{2}}+E_{\mathrm{pot}}\;{\varPsi}(x,t)=\mathrm{i}\,\hbar\,\frac{\partial{\varPsi}(x,t)}{\partial t}$   (32.17)
	Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung	$-\frac{\hbar^{2}}{2\,m}\frac{{\mskip 2.0mu\mathrm{d}}^{2}\psi(x)}{{\mskip 2.0mu\mathrm{d}}x^{2}}+E_{\mathrm{pot}}(x)\,\psi(x)=E\,\psi(x)$   (32.21)
	Aufenthaltswahrscheinlichkeit	Die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zur Zeit $t$ in einem Intervall ${\mskip 2.0mu\mathrm{d}}x$ zu finden, ist $P(x,t)\,{\mskip 2.0mu\mathrm{d}}x=|\Psi(x,t)|^{2}\,{\mskip 2.0mu\mathrm{d}}x=\Psi^{\ast}(x,t)\,\Psi(x,t)\,{\mskip 2.0mu\mathrm{d}}x\,$.   (32.19) Darin ist $P(x,t)$ die Wahrscheinlichkeitsdichte.
	Normierungsbedingung	${\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}|\psi(x)|^{2}\,{\mskip 2.0mu\mathrm{d}}x=1$   (32.22)
	Erwartungswert	Der Erwartungswert $\langle x\rangle$ entspricht dem Mittelwert von $x$, der sich ergibt, wenn die Positionen sehr vieler Teilchen gemessen werden, für die dieselbe Wellenfunktion $\psi(x)$ gilt: $\langle x\rangle={\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}x\,|\psi(x)|^{2}\,{\mskip 2.0mu\mathrm{d}}x\,$   (32.25) Der Erwartungswert einer Funktion $F(x)$ ist entsprechend $\langle F(x)\rangle={\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}F(x)\,|\psi(x)|^{2}\,{\mskip 2.0mu\mathrm{d}}x\,$.   (32.26)
4.	Heisenberg’sche Unschärferelation	Sie besagt, dass es prinzipiell nicht möglich ist, Ort und Impuls eines Teilchens gleichzeitig beliebig genau zu messen. Das Produkt der Unsicherheiten bei einer Messung der Position und des Impulses ist mindestens so groß wie $\frac{1}{2}\,\hbar$: $\Updelta x\,\Updelta p\geq{\textstyle\frac{1}{2}}\,\hbar$   (32.24)
5.	Welle-Teilchen-Dualismus	Licht, Elektronen, Neutronen und auch alle anderen Träger von Impuls und Energie weisen sowohl Wellen- als auch Teilcheneigenschaften auf. Jedes Objekt bewegt sich wie eine klassische Welle, die Beugung und Interferenz zeigt, tauscht aber Energie in diskreten Portionen aus wie ein klassisches Teilchen.
6.	Korrespondenzprinzip	Es beschreibt, wie die Quantenmechanik mit der klassischen Mechanik zusammenhängt. Da die Wellenlänge makroskopischer Objekte äußerst klein ist, sind Beugung und Interferenz bei ihnen nicht zu beobachten. Wenn eine makroskopische Energiemenge ausgetauscht wird, entspricht sie so vielen Quanten, dass die Quantisierung der Energie nicht bemerkbar ist.
	Ehrenfest-Theorem	Die Erwartungswerte von quantenmechanischen Größen erfüllen näherungsweise die gleichen Bewegungsgleichungen wie die äquivalenten klassischen Größen.
	Bohr’sches Korrespondenzprinzip	Im Grenzfall sehr hoher Quantenzahlen (d. h. hoher Energien) müssen die klassische und die quantenmechanische Berechnung das gleiche Resultat ergeben.

Antworten auf die Kurzfragen

• 32.1 $2/3$

• 32.2 $\langle N\rangle=8/3\,,\langle N^{2}\rangle=38/3$

Lösungen der Zusatzaufgaben

• 32.1 $4{,}13\cdot 10^{-7}\,{\text{eV}}$

• 32.2 a) 12,4 $\upmu$m, b) 1,24 nm, c) 1,24 pm

• 32.3 $1{,}46\cdot 10^{7}\,\text{cm}^{-3}$

• 32.4 $0{,}6\,c$

• 32.5 $1{,}4\cdot 10^{-34}\,\text{m}$

• 32.6 0,388 nm. Die Wellenlänge eines Elektrons mit der kinetischen Energie 10 eV liegt in derselben Größenordnung wie der Durchmesser eines Atoms bzw. wie der Atomabstand in Kristallen.

Aufgaben

1.1 Verständnisaufgaben

32.1

• Bei welcher Beobachtung wird die Energiequantisierung der elektromagnetischen Strahlung deutlich? a) Beim Young’schen Doppelspaltversuch, b) bei der Beugung des Lichts an einer engen Öffnung, c) beim photoelektrischen Effekt, d) beim Kathodenstrahlversuch von J. J. Thomson.

32.2

• Angenommen, die De-Broglie-Wellenlänge eines Elektrons und eines Protons sind gleich. Welche der folgenden Aussagen trifft dann zu? a) Die Geschwindigkeit des Protons ist höher als die des Elektrons. b) Proton und Elektron haben die gleiche Geschwindigkeit. c) Die Geschwindigkeit des Protons ist geringer als die des Elektrons. d) Die Energie des Protons ist höher als die des Elektrons. e) Die Aussagen a und d sind richtig.

32.3

• Der Parameter $x$ stelle die Position eines Teilchens dar. Kann der Erwartungswert von $x$ jemals gleich einem Wert sein, für den die Wahrscheinlichkeitsdichte $P(x)$ null ist? Nennen Sie ggf. ein konkretes Beispiel.

32.4

•• Früher nahm man an, dass bei der Durchführung zweier identischer Experimente an identischen Systemen unter denselben Bedingungen identische Ergebnisse erhalten werden müssen. Erklären Sie, warum diese Annahme nicht richtig ist und wie die Aussage geändert werden kann, um mit den Gesetzmäßigkeiten der Quantenmechanik vereinbar zu sein.

1.2 Schätzungs- und Näherungsaufgaben

32.5

•• Eine Gruppe von Physikstudenten misst im Praktikum die Compton-Wellenlänge $\lambda_{\textrm{Compton}}$. Für verschiedene Streuwinkel $\theta$ ergeben sich dabei folgende Wellenlängenverschiebungen $\lambda_{2}-\lambda_{1}$:

$\theta/\,{{}^{\circ}}$	45	75	90	135	180
$(\lambda_{2}-\lambda_{1})/\text{pm}$	0,647	1,67	2,45	3,98	4,95

Leiten Sie aus diesen Werten die Compton-Wellenlänge ab und vergleichen Sie das Ergebnis mit dem zu erwartenden Wert.

1.3 Die Teilchennatur des Lichts: Photonen

32.6

• Wie hoch ist die Photonenenergie in Joule und in Elektronenvolt einer Radiowelle mit der Frequenz a) 100 MHz im FM-Bereich bzw. b) 900 kHz im AM-Bereich?

32.7

•• Das von einem Helium-Neon-Laser mit einer Leistung von 3,00 mW emittierte Licht hat die Wellenlänge 633 nm. Angenommen, der Laserstrahl hat einen Durchmesser von 1,00 mm, wie hoch ist dann die Dichte an Photonen im Strahl? Nehmen Sie dabei an, dass die Intensität im Strahl gleichförmig verteilt ist.

1.4 Der photoelektrische Effekt

32.8

• Monochromatisches UV-Licht der Wellenlänge 300 nm fällt auf ein Metallstück aus Kalium, und die emittierten Elektronen haben eine maximale kinetische Energie von 2,03 eV. a) Wie hoch ist die Energie eines auftreffenden Photons? b) Wie groß ist die Ablösearbeit von Kalium? c) Wie hoch ist die maximale kinetische Energie der Elektronen, wenn das einfallende Licht eine Wellenlänge von 430 nm hat? d) Wie groß ist beim photoelektrischen Effekt bei Kalium die Grenzwellenlänge der auftreffenden elektromagnetischen Strahlung?

1.5 Die Schrödinger-Gleichung

32.9

•• Gegeben ist die Wellenfunktion eines freien Elektrons (d. h. $m=m_{\text{el}}$ mit verschwindendem Potenzial $E_{\text{pot}}=0$) in einer Dimension

$$\begin{aligned}\displaystyle\psi(x,t)=C\cdot\sin(kx)\mskip 2.0mu\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\,.\end{aligned}$$

Hierbei ist $k=10^{-9}$ 1$/$m und $C$ eine Konstante. a) Setzen Sie die Wellenfunktion in die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung ein. Welchen Wert muss $\omega$ haben, damit die Wellenfunktion eine Lösung ist? b) Berechnen Sie anhand von $\omega$ die Energie des Teilchens. c) Argumentieren Sie, weshalb $\psi$ nicht als Wellenfunktion eines realen Teilchens aufgefasst werden kann.

1.6 Compton-Streuung

32.10

• Arthur H. Compton verwendete bei seinen Versuchen u. a. Photonen der Wellenlänge 0,0711 nm. a) Wie hoch ist die Energie eines dieser Photonen? b) Wie groß ist die Wellenlänge der Photonen, die in einem Winkel von $\theta=180{{}^{\circ}}$, also entgegen der Einfallsrichtung, gestreut werden? c) Wie hoch ist die Energie eines unter diesem Winkel gestreuten Photons?

32.11

• Berechnen Sie für die Gegebenheiten in Aufgabe 32.10 den Impuls eines einfallenden und den eines unter 180${}^{\circ}$, also entgegen der Einfallsrichtung, gestreuten Photons. Berechnen Sie anhand der Impulserhaltung den Rückstoßimpuls, den das Elektron dabei aufnimmt.

1.7 Elektronen und Materiewellen

32.12

•• Ein Elektron, ein Proton und ein Alphateilchen haben jeweils eine kinetische Energie von 150 keV. Berechnen Sie jeweils a) den Betrag ihres Impulses und b) ihre De-Broglie-Wellenlänge.

32.13

• Im LiCl-Kristall haben die Ionen $\mathrm{Li^{+}}$ und $\mathrm{Cl^{-}}$ voneinander den Abstand 0,257 nm. Berechnen Sie die kinetische Energie von Elektronen, deren Wellenlänge diesem Abstand entspricht.

1.8 Berechnung von Aufenthaltswahrscheinlichkeiten und Erwartungswerten

32.14

• Ein Teilchen befindet sich in einem eindimensionalen Kasten der Länge $d$ im Grundzustand

$$\psi(x)=\sqrt{\frac{2}{d}}\,\,\sin{\left(\frac{\pi x}{d}\right)}\,.$$

Ein Ende des Kastens liegt im Ursprung des Koordinatensystems und das andere auf der positiven $x$-Achse. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen im Intervall der Länge $\Updelta x=0{,}002\,d$ anzutreffen, wobei das Interval zentriert ist bei: a) $x=4\,d$, b) $x=\frac{1}{2}\,d$ bzw. c) $x=\frac{3}{4}\,d$. (Weil $\Updelta x$ sehr klein ist, müssen Sie nicht integrieren, denn dabei ändert sich die Wellenfunktion im jeweiligen Intervall nur geringfügig.)

32.15

• Die klassische Funktion für die Wahrscheinlichkeitsdichte-Verteilung eines Teilchens im Bereich $0<x<d$ in einem eindimensionalen Kasten ist gegeben durch $P(x)=1/d$. Zeigen Sie, dass damit für den Grundzustand des klassischen Teilchens $\langle x\rangle=\frac{1}{2}\,d$ und $\langle x^{2}\rangle=\frac{1}{3}\,d^{2}$ ist.

32.16

•• a) Ein eindimensionaler Kasten befindet sich auf der $x$-Achse im Bereich $0\leq x\leq d$. Für ein Teilchen in diesem Kasten sind die Wellenfunktionen gegeben durch

$$\begin{aligned}\displaystyle\psi_{n}(x)=\sqrt{\frac{2}{d}}\,\sin\frac{n\,\uppi\,x}{d}\,,{\qquad}n=1,2,3,\,\ldots\end{aligned}$$

a) Zeigen Sie, dass sich für den Zustand mit der Quantenzahl $n$ die Erwartungswerte $\langle x\rangle=\frac{1}{2}\,d$ und $\langle x^{2}\rangle=\frac{1}{3}\,d^{2}-d^{2}/(2\,n^{2}\,\uppi^{2})$ ergeben. b) Vergleichen Sie diese beiden Ausdrücke $\langle x\rangle$ und $\langle x^{2}\rangle$ für den Fall $n\gg 1$ mit den entsprechenden Ausdrücken für die Erwartungswerte beim klassischen Teilchen in in Aufgabe 32.15.

1.9 Allgemeine Aufgaben

32.17

• Photonen in einem gleichförmigen Lichtstrahl mit dem Durchmesser 4,00 cm und der Intensität 100 W$/$m${}^{2}$ haben die Wellenlänge 400 nm. a) Wie hoch ist die Energie eines Photons in diesem Strahl? b) Wie viel Energie trifft in der Zeitspanne 1,00 s auf eine 1,00 cm${}^{2}$ große Fläche auf, die senkrecht auf der Strahlrichtung steht? c) Wie viele Photonen treffen in der gleichen Zeit auf diese Fläche auf?

32.18

•• Bei normaler Zimmerbeleuchtung hat die Pupille des menschlichen Auges einen Durchmesser von rund 5 mm. Wie hoch muss die Intensität von Licht der Wellenlänge 600 nm sein, damit pro Sekunde ein Photon in die Pupille gelangt?

32.19

•• Ein Photon mit der Energie $E$ erfährt Compton-Streuung unter dem Winkel $\theta$. Zeigen Sie, dass die Energie $E^{\,\prime}$ des gestreuten Photons gegeben ist durch

$$\begin{aligned}\displaystyle E^{\,\prime}=\frac{E}{\displaystyle 1+\frac{E}{m_{\textrm{e}}\,c^{2}}\,(1-\cos\theta)}\,.\end{aligned}$$

32.20

•• Ein mit Modenkopplung betriebener Titan-Saphir-Laser gibt Strahlung der Wellenlänge 850 nm ab und erzeugt dabei pro Sekunde 100 Millionen Lichtpulse. Jeder Puls dauert 125 Femtosekunden (es ist $\text{1\,fs}=10^{-15}\,\text{s}$) und besteht aus $5\cdot 10^{9}$ Photonen. Wie hoch ist die mittlere Lichtleistung dieses Lasers?

32.21

•• Hier soll die Zeitverzögerung abgeschätzt werden, die beim photoelektrischen Effekt nach den klassischen physikalischen Gesetzen zwar zu erwarten ist, jedoch nicht beobachtet wird. Der einfallende Strahl soll die Intensität 0,010 W$/$m${}^{2}$ haben. a) Wenn das Atom des betreffenden Metalls eine Querschnittsfläche von 0,010 nm${}^{2}$ hat, wie viel Energie trifft dann pro Sekunde auf ein Atom auf? b) Setzen Sie die Ablösearbeit des Metalls zu 2,0 eV an. Wie lange dauert es dabei nach den Gesetzen der klassischen Physik, bis der Lichtstrahl diese Energiemenge auf ein Atom eingestrahlt hat? Und wie lange dauert es, wenn die Energie in einzelnen Paketen (Photonen) eingestrahlt wird?