Die Newton’schen Axiome

Zusammenfassung

Fragen wie „Warum bewegen sich Körper?“ oder „Was beschleunigt sie und warum ändern sie ihre Richtung?“ bewegten Isaac Newton, der 1642 geboren wurde. Als Student in Cambridge studierte er die Werke von Galilei und Kepler. Ihn interessierte, warum sich die Planeten auf elliptischen Bahnen bewegen und weshalb ihre Geschwindigkeit vom Abstand zur Sonne abhängt. Dies führte zu der Frage, welche Kräfte das Sonnensystem zusammenhalten. Im Laufe seines Lebens entwickelte er die Gravitationsgesetze und die drei nach ihm benannten Grundgesetze der Bewegung, die bis heute die Grundlage der klassischen Mechanik bilden.

Das zweite Newton’sche Axiom setzt die Beschleunigung eines Körpers mit seiner Masse und den auf den Körper wirkenden Kräften in Beziehung. Beim Start eines Flugzeugs spüren wir die zur Beschleunigung erforderliche Kraft, die über den Sitz auf uns ausgeübt wird. (© Airbus S.A.S. 2017/P. Pigeyre/master films.)

? Wie können Sie als Passagier mithilfe der Newton’schen Axiome die Beschleunigung des Flugzeugs abschätzen? (Siehe Beispiel 3.4.)

Appendices

Im Kontext: Achterbahnen auf Geschwindigkeitsjagd

Seit der Eröffnung der ersten Achterbahn „Promenades Aériennes“ (übersetzt etwa „Luftweg“) im Jahr 1817 in Paris üben diese Fahrgeschäfte auf viele Menschen eine magische Faszination aus.¹ Noch vor Kurzem mussten die Konstrukteure eine wesentliche Einschränkung beachten: Die Fahrt musste immer mit einem steilen Anstieg beginnen.

Es war Anton Schwartzkopf, ein deutscher Architekt von Vergnügungsparks, der sich in den 1970er Jahren eine Anregung beim Start von Flugzeugen von Flugzeugträgern holte. Im Jahr 1976 wurde die Achterbahn „Shuttle Loop“ eröffnet. In der Nähe der Achterbahn wurde ein Gewicht mit einer Masse von mehreren Tonnen an die Spitze eines Turms hochgezogen. Ein Ende eines Kabels wurde an dem Gewicht befestigt, das andere an dem Achterbahnwagen eingehakt, um ihn zu ziehen. Dann wurde das Gewicht fallen gelassen und der daran befestigte Wagen zog nach oben. Der Wagen wurde in weniger als 3 s auf fast 100 km$/$h beschleunigt.

Gleichzeitig hatte Schwartzkopf eine weitere Idee für ein Katapultstartverfahren. Ein Schwungrad mit einer Masse von 5 t wurde in schnelle Umdrehung versetzt. Ein Kabel verband die Wagen und das Schwungrad. Auch hier wurde der Wagenzug – in dem bis zu 28 Passagiere saßen – in weniger als 3 s auf fast 100 km$/$h beschleunigt. Beide Verfahren waren Wegbereiter auf dem Gebiet der Katapultstarts von Achterbahnen.²

Zwei neue Achterbahnstartverfahren ermöglichen inzwischen noch höhere Geschwindigkeiten. Die Intamin AG hat ein hydraulisches (flüssigkeitsgetriebenes) System entwickelt, um das Kabel zu ziehen. Allein der Wagen für den „Top Thrill Dragster“ hat eine Masse von 5 t und bietet Platz für 18 Passagiere. Der Wagen fährt über Sensoren, wo er gewogen wird. Ein Computer berechnet, wie schnell das Kabel angezogen werden muss, damit der Wagen mit den darin sitzenden Passagieren den 128 m hohen ersten Gipfel erreicht. Anschließend stellen die Flüssigkeitsmotoren rasch eine Leistung von 7500 Watt bereit, um das Kabel mit bis zu $500\,\text{min}^{-1}$ aufzuwickeln und den Wagen innerhalb von 4 s auf fast 200 km$/$h zu beschleunigen.³

Stan Checketts erfand die erste pneumatische (druckluftgetriebene) Achterbahn. Die „Thrust Air 2000™“ wird durch einen einzigen starken Druckluftstoß angetrieben. Der acht Passagiere fassende Wagen fährt über Sensoren und wird gewogen. Daraufhin laufen vier Kompressoren an, um Luft in einen Speicherbehälter am Fuß eines Turms zu pumpen. Diese Druckluft wird je nach dem Gewicht des Wagens in einen Abschussbehälter dosiert. Schließlich wird die Luft durch ein Ventil oben am Turm schnell entspannt, wobei sie auf einen Kolben drückt, der das Katapultrollensystem antreibt. Der vollbesetzte Wagen wird in 1,8 s auf fast 130 km$/$h beschleunigt. Um diese Beschleunigung zu erreichen, ist eine Schubkraft von 178 kN erforderlich. Zum Vergleich: Ein einziges Strahltriebwerk des Düsenjägers F-15 hat einen Nennschub von 128 kN.⁴ Inzwischen werden Achterbahnen also mit einer stärkeren Schubkraft als Düsenjäger angetrieben.

Die erste pneumatische Achterbahn der Welt, die „Hypersonic XLC“ im Vergnügungspark King’s Dominion von Paramount in Virginia, beschleunigt in 1,8 s von 0 auf 130 km$/$h. (Mit freundlicher Genehmigung von King’s Dominion Amusement Park)

• 1. Cartmell, R., The Incredible Scream Machine: A History of the Roller Coaster. Bowling Green State University Popular Press, Bowling Green Ohio, 1987.

• 2. „The Tidal wave“, http://www.greatamericaparks.com/tidalwave.html. Marriott Great America Parks (Stand: März 2009). Cartmell a. a.O.

• 3. Hitchcox, A. L., „Want Thrills? Go with Hydraulics“, Hydraulics and Pneumatics, Juli 2005.

• 4. Goldman, L., „Newtonian Nightmare“, Forbes, 23. 7. 2001, Bd. 168, Ausgabe 2: „The F-100 Engine“, http://www.pw.utc.com/vgn-ext-templating/v/index.jsp?vgnextrefresh=1&vgnextoid=227f07b06f5eb010VgnVCM1000000881000aRCRDPratt & Whitney (Stand: März 2009).

Zusammenfassung

• 1. Die Newton’schen Axiome sind grundlegende Naturgesetze, die die Grundlage für unser Verständnis der Mechanik bilden.

• 2. Die Masse ist eine innere Eigenschaft eines Körpers.

• 3. Die Kraft ist eine wichtige abgeleitete dynamische Größe.

	Thema	Wichtige Gleichungen und Anmerkungen
1.	Die Grundkräfte der Natur	Alle in der Natur beobachtbaren Kräfte lassen sich durch vier fundamentale Wechselwirkungen erklären: 1. die gravitative Wechselwirkung, 2. die elektromagnetische Wechselwirkung, 3. die schwache Wechselwirkung (inzwischen zusammen mit der elektromagnetischen Wechselwirkung als elektroschwache Wechselwirkung betrachtet), 4. die starke Wechselwirkung (auch hadronische Wechselwirkung genannt).
2.	Newton’sche Axiome
	Erstes Axiom	Ein Körper bleibt in Ruhe oder bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit geradlinig weiter, wenn keine resultierende äußere Kraft auf ihn wirkt. (Bezugssysteme, auf die diese Aussage zutrifft, werden Inertialsysteme genannt.)
	Zweites Axiom	Die Beschleunigung eines Körpers ist direkt proportional zu der auf ihn wirkenden Gesamtkraft, wobei die Proportionalitätskonstante der Kehrwert der Masse ist. Somit gilt $\boldsymbol{F}=m\,\boldsymbol{a}\text{\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ mit }\quad\boldsymbol{F}=\sum\boldsymbol{F}_{i}$.   (3.2)
	Drittes Axiom	Wenn zwei Körper miteinander wechselwirken, ist die Kraft $\boldsymbol{F}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{(B)}}$, die der Körper B auf den Körper A ausübt, gleich groß, aber entgegengesetzt gerichtet der Kraft $\boldsymbol{F}_{\mathrm{B}}^{\mathrm{(A)}}$, die der Körper A auf den Körper B ausübt. Somit gilt $\boldsymbol{F}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{(B)}}=-\boldsymbol{F}_{\mathrm{B}}^{\mathrm{(A)}}$.   (3.7)
3.	Inertialsysteme	Die Newton’schen Axiome gelten nur in Inertialsystemen. Jedes Bezugssystem, das sich mit konstanter Geschwindigkeit gegenüber einem Inertialsystem bewegt, ist selbst ein Inertialsystem. Jedes Bezugssystem, das gegenüber einem Inertialsystem beschleunigt wird, ist selbst kein Inertialsystem. Die Erdoberfläche ist in guter Näherung ein Inertialsystem.
4.	Kraft, Masse und Gewicht
	Kraft	Die Kraft ist über die Beschleunigung definiert, die sie an einem gegebenen Körper bewirkt. Eine Kraft von 1 Newton (N) ist die Kraft, die einen Körper mit einer Masse von 1 kg mit 1 m$/$s${}^{2}$ zu beschleunigen vermag.
	Masse	Die Masse ist eine innere Eigenschaft jedes Körpers. Sie ist ein Maß für seinen Trägheitswiderstand gegenüber einer Beschleunigung. Die Masse eines Körpers hängt nicht von seinem Ort ab. Die Massen zweier Körper lassen sich vergleichen, indem man die gleiche Kraft auf zwei Körper ausübt und ihre jeweiligen Beschleunigungen misst. Das Verhältnis der beiden Massen steht im umgekehrten Verhältnis der erzeugten Beschleunigungen: $\frac{m_{2}}{m_{1}}=\frac{a_{1}}{a_{2}}$   (3.4)
	Gravitationskraft	Die Gravitationskraft $\boldsymbol{F}_{\mathrm{G}}$, die auf einen Körper in der Nähe der Erdoberfläche wirkt, ist die Kraft, die die Gravitationsanziehung der Erde auf diesen Körper ausübt. Sie ist proportional zum Gravitationsfeld $\boldsymbol{a}_{\text{G}}$, das gleich der Fallbeschleunigung ist, wobei die Masse $m$ des Körpers die Proportionalitätskonstante ist: $\boldsymbol{F}_{\mathrm{G}}=m\,\boldsymbol{a}_{\text{G}}$   (3.5) Das Gewicht eines Körpers ist die Stärke der auf den Körper wirkenden Gravitationskraft.
5.	Krummlinige Bewegung	Ein Teilchen, das sich entlang einer beliebigen Kurve bewegt, kann während eines sehr kurzen Zeitabschnitts so behandelt werden, als ob es sich auf einem Kreis bewegt. Sein Momentanbeschleunigungsvektor besitzt eine Komponente $a_{\text{ZP}}=-v^{2}/r$ zum Zentrum des Kreisabschnitts und eine Komponente $a_{\mathrm{t}}=\mskip 2.0mu\mathrm{d}v/\mskip 2.0mu\mathrm{d}t$ tangential zur Kurve. Bewegt sich das Teilchen mit konstantem Geschwindigkeitsbetrag $v$ auf einer Kreisbahn mit dem Radius $r$, ist $a_{\mathrm{t}}=0$, wobei Geschwindigkeitsbetrag, Radius und Umlaufzeit $T$ durch $2\pi\,r=v\,T$ verknüpft sind.
	Zentripetalkraft	Die Zentripetalkraft $\boldsymbol{F}_{\mathrm{ZP}}=-m\,\frac{v^{2}}{r}\,\boldsymbol{\widehat{r}}$ ist eine Bezeichnung für die zum Krümmungsmittelpunkt gerichtete Komponente der Gesamtkraft, die auf ein Teilchen wirkt. Sie ist daher keine eigenständige Kraft, die zusätzlich wirkt, und wird somit nicht in Kräftediagramme eingezeichnet.

Antworten auf die Kurzfragen

• 3.1 Nein, die Gesamtkraft ist keine reale Kraft. Sie ist die Vektorsumme der realen Kräfte.

• 3.2 Nein, es ist die Gesamtkraft, die die Beschleunigung der Masse hervorruft.

• 3.3 Nein, denn diese Kräfte wirken auf denselben Körper, nämlich auf den Block. Aktions-Reaktions-Kräftepaare des dritten Newton’schen Axioms wirken stets auf verschiedene Körper.

• 3.4 Nein, denn dies würde dem dritten Newton’schen Axiom widersprechen.

Lösungen der Zusatzaufgaben

• 3.1 1,5 kg

• 3.2 $1{,}9\,\text{kN}$

• 3.3 Unter Anwendung des zweiten Newton’schen Axioms (auf die $y$-Komponenten) lesen wir aus dem Kräftediagramm (Abb. 3.18) ab, dass $\sum F_{i,y}=ma_{y}$ und damit $|\boldsymbol{F}_{\text{n}}|-|\boldsymbol{F}_{\text{G}}|\,\cos\theta=0$ ist. Dabei haben wir $a_{y}=0$ verwendet. Somit ist $|\boldsymbol{F}_{\text{n}}|=|\boldsymbol{F}_{\text{G}}|\,\cos\theta$.

• 3.4 $a=27{,}8\,\text{m}\cdot\text{s}^{-2},\;\theta=70{,}5{{}^{\circ}}$

• 3.5 967 N

• 3.6 a) Es ergibt sich $v_{\mathrm{t,min}}=3\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$, b) $T=2\pi\,r/v=2\,\text{s}$

• 3.7 In diesem Moment nimmt die Geschwindigkeit nicht weiter zu, aber auch noch nicht ab. Damit ist die Änderungsrate des Geschwindigkeitsbetrags momentan null.

• 3.8 $1{,}60\,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}$

Aufgaben

Bei allen Aufgaben ist die Fallbeschleunigung $\boldsymbol{g=9{,}81\,\mathbf{m}/\mathbf{s}^{2}}$ . Falls nichts anderes angegeben ist, sind Reibung und Luftwiderstand zu vernachlässigen.

1.1 Verständnisaufgaben

3.1

• Sie sitzen im Flugzeug auf einem Interkontinentalflug, haben die Reiseflughöhe erreicht und fliegen nun horizontal. Vor Ihnen steht der Kaffeebecher, den Ihnen die Stewardess gerade gebracht hat. Wirken Kräfte auf diesen Becher? Wenn ja, wie unterscheiden sie sich von den Kräften, die auf ihn wirkten, wenn er zu Hause auf Ihrem Küchentisch stünde?

3.2

• Von einem Inertialsystem aus betrachtet, bewegt sich ein Körper auf einer Kreisbahn. Welche der folgenden Aussagen trifft bzw. treffen dabei zu? a) Auf den Körper wirkt eine von null verschiedene Gesamtkraft. b) Auf den Körper kann keine radial nach außen gerichtete Kraft wirken. c) Wenigstens eine der auf den Körper wirkenden Kräfte muss direkt zum Mittelpunkt der Kreisbahn hin wirken.

3.3

•• Auf einen Handball wirkt eine einzelne, bekannte Kraft. Wissen Sie allein anhand dieser Aussage, in welche Richtung sich der Handball relativ zu einem Bezugssystem bewegt? Erläutern Sie Ihre Aussage.

3.4

•• Stellen Sie sich vor, Sie sitzen in einem Zug, der geradlinig und mit konstanter Geschwindigkeit relativ zur Erdoberfläche fährt. Einige Reihen vor Ihnen sitzt ein Freund, dem Sie einen Ball zuwerfen. Erläutern Sie mithilfe des zweiten Newton’schen Axioms, weshalb Sie aus Ihrer Beobachtung des fliegenden Balls nicht die Geschwindigkeit des Zugs relativ zur Erdoberfläche ermitteln können.

3.5

•• Ein 2,5 kg schwerer Block hängt ruhend an einem Seil, das an der Decke befestigt ist. a) Zeichnen Sie das Kräftediagramm des Blocks, benennen Sie die Reaktionskraft zu jeder eingezeichneten Kraft und geben Sie an, auf welchen Körper diese jeweils wirkt. b) Zeichnen Sie das Kräftediagramm des Seils, benennen Sie die Reaktionskraft zu jeder eingezeichneten Kraft und geben Sie an, auf welchen Körper diese jeweils wirkt. Die Masse des Seils ist hier nicht zu vernachlässigen.

3.6

•• a) Welches der Kräftediagramme in Abb. 3.32 stellt einen Körper dar, der entlang einer reibungsfreien geneigten Ebene hinuntergleitet? b) Benennen Sie bei dem zutreffenden Diagramm die Kräfte und geben Sie an, welche davon Kontaktkräfte und welche Fernwirkungskräfte sind. c) Benennen Sie für jede Kraft in dem zutreffenden Diagramm die Reaktionskraft; geben Sie an, auf welchen Körper sie wirkt und welche Richtung sie hat.

Abb. 3.32

Zu Aufgabe 3.6

3.7

•• Stellen Sie sich vor, Sie sitzen auf einem Rollensessel am Schreibtisch. Die Reibungskraft zwischen Sessel und Fußboden soll vernachlässigbar sein, nicht aber die Reibungskraft zwischen Tisch und Fußboden. Um aufzustehen, drücken Sie horizontal gegen den Tisch, sodass der Stuhl nach hinten wegrollt. a) Zeichnen Sie ein Kräftediagramm der auf Sie wirkenden Kräfte, während Sie gegen den Tisch drücken, und benennen Sie exakt diejenige Kraft, die dafür verantwortlich ist, dass Sie beschleunigt werden. b) Welches ist die Reaktionskraft zu der Kraft, die Ihre Beschleunigung bewirkt? c) Zeichnen Sie das Kräftediagramm der auf den Schreibtisch wirkenden Kräfte und erläutern Sie, weshalb er nicht beschleunigt wird. Verletzt dies nicht das dritte Newton’sche Axiom? Erläutern Sie Ihre Aussage.

3.8

•• Ein Teilchen bewegt sich mit konstantem Geschwindigkeitsbetrag auf einer vertikalen Kreisbahn. Die Beträge welcher Größen sind dabei konstant: a) der Geschwindigkeit, b) der Beschleunigung, c) der Gesamtkraft, d) des scheinbaren Gewichts?

3.9

••• Auf zwei Körper mit den Massen $m_{1}$ und $m_{2}$ (mit $m_{1}> m_{2}$), die auf einer ebenen, reibungsfreien Oberfläche liegen, wird während eines festen Zeitintervalls $\Updelta t$ jeweils eine gleiche horizontale Gesamtkraft $F_{x}$ ausgeübt. a) In welchem Verhältnis stehen ihre Beschleunigungen, ausgedrückt durch $F_{x}$, $m_{1}$ und $m_{2}$, während dieses Zeitintervalls, wenn beide Körper anfangs ruhten? b) In welchem Verhältnis stehen ihre Geschwindigkeitsbeträge $v_{1,x}$ und $v_{2,x}$ am Ende des Zeitintervalls? c) Wie weit voneinander entfernt sind die beiden Körper am Ende des Zeitintervalls? Welcher ist dem anderen voraus?

1.2 Schätzungs- und Näherungsaufgaben

3.10

•• Ein Rennwagen, über den der Fahrer die Gewalt verloren hat, kann noch auf 90 km$/$h abgebremst werden, bevor er frontal auf eine Ziegelmauer auffährt. Zum Glück trägt der Fahrer einen Sicherheitsgurt. Schätzen Sie unter der Annahme sinnvoller Werte für die Masse des Fahrers und für dessen Anhalteweg im Rennwagen beim Aufprall die (als konstant angenommene) durchschnittliche Kraft, die der Sicherheitsgurt auf den Fahrer ausübt, einschließlich deren Richtung. Wirkungen der Reibungskräfte, die der Sitz auf den Fahrer ausübt, seien zu vernachlässigen.

1.3 Das erste und das zweite Newton’sche Axiom: Masse, Trägheit und Kraft

3.11

• Die japanische Raumsonde IKAROS wird durch ein Sonnensegel angetrieben, das den Photonendruck des Sonnenlichts nutzt. Die Sonde erfährt durch das Sonnensegel eine Antriebskraft von etwa $0{,}0016$ Newton und besitzt eine Masse von etwa 300 kg. a) Welche Geschwindigkeitszunahme kann die Sonde pro Jahr verzeichnen? b) Welche Strecke würde sie bei anfänglicher Ruhe in einem Jahr zurücklegen?

3.12

• Ein Körper hat eine Beschleunigung mit dem Betrag 3,0 m$/$s${}^{2}$, wobei eine einzelne Kraft mit dem Betrag $|\boldsymbol{F}_{0}|$ auf ihn wirkt. a) Welchen Betrag hat seine Beschleunigung, wenn der Betrag der Kraft verdoppelt wird? b) Ein zweiter Körper erhält unter dem Einfluss einer einzelnen Kraft mit dem Betrag $|\boldsymbol{F}_{0}|$ eine Beschleunigung mit dem Betrag 9,0 m$/$s${}^{2}$. Wie groß ist das Verhältnis der Masse des zweiten Körpers zu der des ersten Körpers? c) Wie groß ist der Betrag der Beschleunigung, die die einzelne Kraft vom Betrag $|\boldsymbol{F}_{0}|$ dem Gesamtkörper verleiht, der entsteht, wenn man beide Körper zusammenklebt?

3.13

• Auf einen Körper der Masse 1,5 kg wirkt die Gesamtkraft $(6{,}0\,\mathrm{N})\,\boldsymbol{\widehat{x}}-(3{,}0\,\mathrm{N})\,\boldsymbol{\widehat{y}}$. Berechnen Sie die Beschleunigung $\boldsymbol{a}$.

3.14

•• Eine Kugel mit der Masse $1{,}80\cdot 10^{-3}\,\mathrm{kg}$, die mit 500 m$/$s fliegt, trifft auf einen Baumstumpf und bohrt sich 6,00 cm weit in ihn hinein, bevor sie zum Stillstand kommt. a) Berechnen Sie unter der Annahme, dass die Beschleunigung bzw. Verzögerung der Kugel konstant ist, die Kraft (einschließlich der Richtung), die das Holz auf die Kugel ausübt. b) Auf die Kugel soll dieselbe Kraft wirken, und sie soll mit derselben Geschwindigkeit auftreffen, allerdings soll sie nur die halbe Masse haben. Wie weit bohrt sie sich dann in das Holz?

1.4 Masse und Gewicht

3.15

• Auf dem Mond beträgt die Beschleunigung infolge der Gravitation nur ein Sechstel der Erdbeschleunigung. Ein Astronaut, dessen Gewicht auf der Erde 600 N beträgt, betritt die Mondoberfläche. Dort wird seine Masse gemessen. Beträgt der Messwert a) 600 kg, b) 100 kg, c) 61,2 kg, d) 9,81 kg oder e) 360 kg?

1.5 Kräftediagramme: Statisches Gleichgewicht

3.16

•• Eine Kugel mit dem Gewicht 100 N ist, wie in Abb. 3.33 gezeigt, an mehreren Seilen aufgehängt. Wie groß sind die Zugkräfte im horizontalen Seil und im schrägen Seil?

Abb. 3.33

Zu Aufgabe 3.16

3.17

•• Eine Verkehrsampel mit der Masse 35,0 kg ist, wie in Abb. 3.34 gezeigt, an zwei Drähten aufgehängt. a) Zeichnen Sie das Kräftediagramm und beantworten Sie anhand dessen qualitativ die folgende Frage: Ist die Zugkraft im Draht 2 größer als die im Draht 1?  b) Überprüfen Sie Ihre Antwort unter Anwendung der Newton’schen Axiome und durch Berechnen der beiden Zugkräfte.

Abb. 3.34

Zu Aufgabe 3.17

3.18

•• In Abb. 3.35a ist ein 0,500-kg-Gewicht in der Mitte eines 1,25 m langen Seils aufgehängt. Die Enden des Seils sind an zwei Punkten im Abstand von 1,00 m an der Decke befestigt. a) Welchen Winkel bildet das Seil mit der Decke? b) Wie groß ist die Zugkraft im Seil? c) Das 0,500-kg-Gewicht wird entfernt, und am Seil werden zwei 0,250-kg-Gewichte so befestigt, dass die Längen der drei Seilabschnitte gleich sind (Abb. 3.35b). Wie groß sind die Zugkräfte in den Seilabschnitten?

Abb. 3.35

Zu Aufgabe 3.18

3.19

•• Ihr Auto ist in einem Schlammloch steckengeblieben. Sie sind zwar allein, haben zum Glück aber ein Abschleppseil dabei. Eines seiner Enden befestigen Sie am Auto und das andere an einem Telegrafenmast. Anschließend ziehen Sie das Seil, wie in Abb. 3.36 gezeigt, zur Seite. a) Wie groß ist die Kraft, die das Seil auf das Auto ausübt, wenn der Winkel $\theta=3{,}00{{}^{\circ}}$ beträgt und Sie mit einer Kraft von 400 N ziehen, ohne dass sich das Auto bewegt? b) Welche Kraft muss das Seil aushalten, wenn Sie eine Kraft von 600 N ausüben müssen, um das Auto bei $\theta=4{,}00{{}^{\circ}}$ zu bewegen?

Abb. 3.36

Zu Aufgabe 3.19

3.20

•• Ermitteln Sie bei den im Gleichgewicht befindlichen Systemen in den Abb. 3.37a, b und c die unbekannten Zugkräfte und Massen.

Abb. 3.37

Zu Aufgabe 3.20

1.6 Kräftediagramme: Geneigte Ebenen und Normalkräfte

3.21

• Die Körper in Abb. 3.38 sind an Federwaagen befestigt, die in Newton kalibriert sind. Geben Sie jeweils den Messwert der Waage bzw. die Messwerte der Waagen an. Die Waagen selbst und die Seile werden als masselos angenommen.

Abb. 3.38

Zu Aufgabe 3.21

3.22

•• Ein Block wird auf einer reibungsfreien schrägen Rampe durch ein Kabel gehalten (Abb. 3.39). a) Wie groß sind die Zugkraft im Kabel und die von der Rampe ausgeübte Normalkraft, wenn $\theta=60{{}^{\circ}}$ und $m=\mathrm{50\,kg}$ ist? b) Ermitteln Sie die Zugkraft als Funktion von $\theta$ und $m$ und überprüfen Sie Ihr Ergebnis für die Spezialfälle $\theta=0{{}^{\circ}}$ und $\theta=90{{}^{\circ}}$ auf Plausibilität.

Abb. 3.39

Zu Aufgabe 3.22

3.23

•• Ein Block der Masse $m$ gleitet auf einem reibungsfreien horizontalen Boden und anschließend eine reibungsfreie Rampe hinauf (Abb. 3.40). Der Winkel der Rampe ist $\theta$, und die Geschwindigkeit des Blocks, bevor er die Rampe hinaufgleitet, ist $v_{0}$. Der Block gleitet bis zu einer bestimmten maximalen Höhe $h$ relativ zum Boden hinauf, bevor er anhält. Leiten Sie einen Ausdruck für $h$ in Abhängigkeit von $v_{0}$ und $g$ her und zeigen Sie, dass $h$ unabhängig von $m$ und $\theta$ ist.

Abb. 3.40

Zu Aufgabe 3.23

1.7 Kräftediagramme: Fahrstühle

3.24

• Ein 10,0-kg-Block hängt an einer Schnur, die eine Nennzugkraft von 150 N aushalten soll, an der Decke eines Aufzugs. Kurz nachdem der Aufzug zu steigen beginnt, reißt die Schnur. Wie hoch war die Beschleunigung des Aufzugs mindestens, als die Schnur riss?

1.8 Krummlinige und Kreisbewegung

3.25

• Ein Stein mit der Masse $m=\mathrm{95\,g}$ wird am Ende eines 85 cm langen Fadens auf einem horizontalen Kreis herumgewirbelt. Ein vollständiger Umlauf des Steins dauert 1,2 s. Ermitteln Sie den Winkel, den der Faden mit der Horizontalen bildet.

3.26

• Der Krümmungsradius der Bahn im Scheitel des Loopings einer Achterbahn beträgt 12,0 m. An diesem Punkt übt der Sitz auf einen Insassen mit der Masse $m$ eine Kraft von $0{,}40\,m\,g$ aus. Wie schnell fährt der Achterbahnwagen durch diesen höchsten Punkt?

3.27

•• Ein Kunstflugpilot mit einer Masse von 50 kg vollführt einen Sturzflug und zieht das Flugzeug kurz vor dem Boden auf einer vertikalen Kreisbahn in die Horizontale. Am tiefsten Punkt dieser Kreisbahn wird der Pilot mit 3,5 $g$ nach oben beschleunigt. a) Vergleichen Sie den Betrag der vom Sitz auf den Piloten ausgeübten Kraft mit dessen Gewicht. b) Erläutern Sie mithilfe der Newton’schen Axiome, weshalb der Pilot kurzzeitig bewusstlos werden kann, weil sich in seinen unteren Gliedmaßen mehr Blut als im Normalzustand ansammelt. Wie würde ein Beobachter in einem Inertialsystem die Ursache für die Blutansammlung erklären?

3.28

•• Ein Mann wirbelt sein Kind wie in Abb. 3.41 gezeigt auf einem Kreis mit dem Radius 0,75 m herum. Das Kind hat die Masse 25 kg, und eine Umdrehung dauert 1,5 s.  a) Ermitteln Sie den Betrag und die Richtung der Kraft, die der Mann auf das Kind ausübt. (Stellen Sie sich das Kind vereinfacht als punktförmiges Teilchen vor.) b) Welchen Betrag und welche Richtung hat die Kraft, die das Kind auf den Mann ausübt?

Abb. 3.41

Zu Aufgabe 3.28

3.29

•• Ein Automobilclub möchte ein Rennen mit Autos mit einer Masse von 750 kg durchführen. Die Autos sollen auf der Rennstrecke mit 90 km$/$h durch mehrere Kurven mit dem Krümmungsradius 160 m fahren. In welchem Winkel müssen die Kurven überhöht sein, damit die Kraft des Straßenbelags auf die Reifen in Richtung der Normalkraft wirkt? Hinweis: Überlegen Sie sich, was man aus dieser Bedingung für die Reibungskraft folgern kann.

3.30

•• Ein Modellflugzeug mit der Masse 0,400 kg ist an einer horizontalen Schnur befestigt. An dieser soll es auf einem horizontalen Kreis mit dem Radius 5,70 m fliegen. (Das Gewicht ist dabei mit der nach oben gerichteten Auftriebskraft, die die Luft auf die Flügel ausübt, im Gleichgewicht.) Das Flugzeug legt in 4,00 s genau 1,20 Runden zurück. a) Gesucht ist der Betrag der Geschwindigkeit, mit der das Flugzeug fliegt. b) Berechnen Sie die Kraft, die auf die Hand ausgeübt wird, die die Schnur hält. (Die Schnur kann als masselos angenommen werden.)

3.31

•• Auf den Körper in Abb. 3.42 wirken im Gleichgewicht drei Kräfte. a) Ihre Beträge seien $|\boldsymbol{F}_{1}|$, $|\boldsymbol{F}_{2}|$ und $|\boldsymbol{F}_{3}|$. Zeigen Sie, dass gilt: $|\boldsymbol{F}_{1}|/\sin\theta_{2,3}=|\boldsymbol{F}_{2}|/\sin\theta_{3,1}=|\boldsymbol{F}_{3}|/\sin\theta_{1,2}$.  b) Zeigen Sie, dass außerdem gilt: $|\boldsymbol{F}_{1}|^{2}=|\boldsymbol{F}_{2}|^{2}+|\boldsymbol{F}_{3}|^{2}+2\,|\boldsymbol{F}_{2}|\;|\boldsymbol{F}_{3}|\;\cos\theta_{2,3}$.

Abb. 3.42

Zu Aufgabe 3.31

3.32

••• Eine Perle mit einer Masse von 100 g gleitet reibungsfrei auf einem halbkreisförmigen Drahtstück mit dem Radius 10 cm, das sich mit 2,0 Umdrehungen pro Sekunde um die vertikale Achse dreht (Abb. 3.43). Ermitteln Sie denjenigen Wert von $\theta$, bei dem die Perle in Bezug auf den rotierenden Draht an der gleichen Stelle bleibt.

Abb. 3.43

Zu Aufgabe 3.32

3.33

••• Der Ortsvektor eines Teilchens mit der Masse $m=\mathrm{0{,}80\,kg}$ lautet als Funktion der Zeit

$$\boldsymbol{r}=r_{x}\;\boldsymbol{\widehat{x}}+r_{y}\;\boldsymbol{\widehat{y}}=(R\;\sin\omega t)\;\boldsymbol{\widehat{x}}+(R\;\cos\omega t)\;\boldsymbol{\widehat{y}}\,,$$

wobei $R=\mathrm{4{,}0\,m}$ und $\omega=2\pi\,\mathrm{s}^{-1}$ ist. a) Zeigen Sie, dass der Weg des Teilchens eine Kreisbahn mit dem Radius $R$ ist, deren Mittelpunkt im Koordinatenursprung und damit in der $x$-$y$-Ebene, liegt. b) Berechnen Sie den Geschwindigkeitsvektor und zeigen Sie, dass $v_{x}/v_{y}=-y/x$ gilt. c) Berechnen Sie den Beschleunigungsvektor und zeigen Sie, dass er zum Koordinatenursprung hin gerichtet ist und den Betrag $|{\boldsymbol{v}}|^{2}/R$ hat. d) Ermitteln Sie Richtung und Betrag der Gesamtkraft, die auf das Teilchen wirkt.