Prozentrechnung

Kapitelvorwort

Die Prozentrechnung spielt im Alltags- und Geschäftsleben eine zentrale Rolle. Gewinne und Verluste werden in der Regel prozentual angegeben, im Finanzbereich verwendet man die Prozentrechnung, z. B. bei Zinsberechnungen. In diesem Kapitel wiederholen Sie die wichtigsten Begriffe und Grundlagen der Prozent- und Zinsrechnung.

Appendices

Aufgaben

7.1

Berechnen Sie jeweils den fehlenden Wert (Grundwert, Prozentwert oder Prozentsatz).

$$\begin{aligned}\displaystyle\begin{array}[]{|c|c|c|c|c|c|}\hline\textnormal{Grundwert}&10\,\%&25\,\%&50\,\%&&120\,\%\\ \hline 50&&&&30&\\ \hline 100&&&&&\\ \hline&&40&&&\\ \hline 200&&&&120&\\ \hline\end{array}\end{aligned}$$

7.2

Ein Händler gewährt bei Barzahlung 3 % Skonto. Wie hoch ist der nachgelassene Betrag, wenn der ursprüngliche Preis $46\,351{,}46\,\textnormal{\EUR}$ beträgt?

7.3

Ein Artikel hat einen Einkaufspreis von $559\,\textnormal{\EUR}$. Er wird für $779\,\textnormal{\EUR}$ im Laden verkauft. Wie hoch ist der prozentuale Gewinn des Verkäufers pro Artikel?

7.4

Für eine um 8 % rabattierte Ware zahlt man $432{,}70\,\textnormal{\EUR}$. Wie viel hat die Ware vor der Rabattierung gekostet?

7.5

Gegeben ist ein Quadrat mit der Seitenlänge 4 cm. Jede Seite wird um jeweils 2 cm verlängert, sodass ein Quadrat mit der Seitenlänge 6 cm entsteht. Um wie viel Prozent nimmt die Fläche zu? Schätzen Sie zuerst und überprüfen Sie dann mit einer Rechnung. Stellen Sie eine Formel auf, mit der Sie für jedes Quadrat und jede entsprechende Vergrößerung den prozentualen Anteil der Vergrößerung berechnen können. Hinweis: Eine Zeichnung kann helfen.

7.6

Ein Ladeninhaber möchte eine Aktion mit Gutscheinen im Wert von 10 € durchführen. Um den höchsten Preis für eine 200 € teure Spielkonsole zu erzielen, sollte er den Gutschein vor einem 15 %- Rabatt zulassen oder danach?

7.7

Berechnen Sie jeweils den fehlenden Wert (Grundwert, Prozentwert oder Prozentsatz).

$$\begin{aligned}\displaystyle\begin{array}[]{|c|c|c|c|c|}\hline\textnormal{Jahr}&\begin{array}[]{@{}l@{}}\textnormal{Kontostand}\\ \textnormal{Jahresbeginn}\end{array}&\textnormal{Zinssatz}&\textnormal{Zinsen}&\begin{array}[]{@{}l@{}}\textnormal{Kontostand}\\ \textnormal{Jahresende}\end{array}\\ \hline 1&1\,000{,}00\,\textnormal{\EUR}&&&1\,030{,}00\,\textnormal{\EUR}\\ \hline 2&1\,030{,}00\,\textnormal{\EUR}&3{,}5\,\%&&\\ \hline 3&&2{,}0\,\%&&\\ \hline 4&&&35{,}88\,\textnormal{\EUR}&\\ \hline 5&&&&1\,179{,}41\,\textnormal{\EUR}\\ \hline\end{array}\end{aligned}$$

7.8

Ein Kapital wird 10 Jahre lang auf einem Sparkonto angelegt. In den ersten 5 Jahren liegt der Zinssatz bei 2,7 %, die nächsten 3 Jahre bekommt man 3,1 % und in den letzten 2 Jahren nur noch 2,6 %. Wie groß muss das Anfangskapital sein, damit man nach 10 Jahren mindestens $5\,000\,\textnormal{\EUR}$ auf dem Konto hat (Zinsen werden verzinst)? Geben Sie zudem den Zinssatz an, den man durchschnittlich in jedem Jahr über die 10 Jahre bekommt.

Lösungen zu den Aufgaben

7.1

$$\begin{aligned}\displaystyle\begin{array}[]{|c|c|c|c|c|c|}\hline\textnormal{Grundwert}&10\,\%&25\,\%&50\,\%&60\,\%&120\,\%\\ \hline 50&5&12{,}5&25&30&60\\ \hline 100&10&25&50&60&120\\ \hline 160&16&40&80&96&192\\ \hline 200&20&50&100&120&240\\ \hline\end{array}\end{aligned}$$

7.2

$1\,390{,}54\,\textnormal{\EUR}$. Die Gewährung eines Skontos ist als ein Rabatt zu sehen, folglich erhält man als Prozentsatz hier $p\,\%=0{,}97$.

7.3

Ca. $39{,}4\,\%$. Es sind Prozent- und Grundwert gegeben, wobei der Grundwert hier $559\,\textnormal{\EUR}$ ist.

7.4

$470{,}33\,\textnormal{\EUR}$ ist der gesuchte Grundwert.

7.5

Die Fläche vergrößert sich um $125\,\%$, die Fläche ist also mehr als doppelt so groß. Allgemein gilt: Die Fläche eines Ausgangsquadrats mit der Seitenlänge $a$ nimmt bei einer Verlängerung um $x$ um

$$\begin{aligned}\displaystyle\frac{2ax+x^{2}}{a^{2}}\end{aligned}$$

zu.

7.6

Für den Ladeninhaber ist es besser, zuerst den Gutschein zuzulassen, weil dann der Rabatt vom niedrigeren Grundpreis berechnet wird. Es müssen beide Fälle mit der unterschiedlichen Reihenfolge der Rabatte berechnet und dann verglichen werden.

7.7

$$\begin{aligned}\displaystyle\begin{array}[]{|c|c|c|c|c|}\hline\textnormal{Jahr}&\begin{array}[]{@{}l@{}}\textnormal{Kontostand}\\ \textnormal{Jahresbeginn}\end{array}&\textnormal{Zinssatz}&\textnormal{Zinsen}&\begin{array}[]{@{}l@{}}\textnormal{Kontostand}\\ \textnormal{Jahresende}\end{array}\\ \hline 1&1\,000{,}00\,\textnormal{\EUR}&3{,}0\,\%&30{,}00\,\textnormal{\EUR}&1\,030{,}00\,\textnormal{\EUR}\\ \hline 2&1\,030{,}00\,\textnormal{\EUR}&3{,}5\,\%&36{,}05\,\textnormal{\EUR}&1\,066{,}05\,\textnormal{\EUR}\\ \hline 3&1\,066{,}05\,\textnormal{\EUR}&2{,}0\,\%&21{,}32\,\textnormal{\EUR}&1\,087{,}37\,\textnormal{\EUR}\\ \hline 4&1\,087{,}37\,\textnormal{\EUR}&3{,}3\,\%&35{,}88\,\textnormal{\EUR}&1\,123{,}25\,\textnormal{\EUR}\\ \hline 5&1\,123{,}25\,\textnormal{\EUR}&5{,}0\,\%&56{,}16\,\textnormal{\EUR}&1\,179{,}41\,\textnormal{\EUR}\\ \hline\end{array}\end{aligned}$$

7.8

Das Anfangskapital muss mindestens $3\,793{,}56\,\textnormal{\EUR}$ betragen. Die für die Berechnung benötigte Gleichung lautet

$$\begin{aligned}\displaystyle 5\,000\,\textnormal{\EUR}=x\cdot 1{,}027^{5}\cdot 1{,}031^{3}\cdot 1{,}026^{2}.\end{aligned}$$

Der durchschnittliche Jahreszins über die 10 Jahre berechnet sich über

$$\begin{aligned}\displaystyle 3\,793{,}56\cdot(1+p)^{10}=5\,000\end{aligned}$$

zu $p=2{,}8\,\%$.

Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben finden Sie im Online-Material.

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