Funktionen

Kapitelvorwort

In diesem Kapitel wiederholen Sie die wichtigsten elementaren Funktionen und deren Eigenschaften. Sie erfahren, wie man diese Funktionen modifiziert und neue Funktionen erzeugt. Sie können konkrete Funktionsterme aus vorgegebenen Bedingungen aufstellen.

Appendices

Aufgaben

12.1

Geben Sie einen zu dem jeweiligen Graphen passenden Funktionsterm an.

12.2

Skizzieren Sie ohne grafikfähigen Taschenrechner oder Computeralgebrasystem die Graphen folgender Funktionen. Geben Sie jeweils den maximalen Definitionsbereich und den Wertebereich an.

$$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle x\mapsto 2x+1&\displaystyle&\displaystyle x\mapsto x^{2}-2\\ \displaystyle&\displaystyle x\mapsto 2\sin(x)&\displaystyle&\displaystyle x\mapsto-e^{x}+1\\ \displaystyle&\displaystyle x\mapsto\tan\left(x+\frac{\pi}{2}\right)&\displaystyle&\displaystyle x\mapsto\frac{1}{(x-2)^{2}}\\ \displaystyle&\displaystyle x\mapsto e^{-x}&\displaystyle&\displaystyle x\mapsto\frac{2}{x+1}\\ \displaystyle&\displaystyle x\mapsto\ln(1+x)+1&\displaystyle&\displaystyle x\mapsto 2\sin(2x)-2\\ \displaystyle&\displaystyle x\mapsto 2(x+1)^{2}-4&\displaystyle&\displaystyle x\mapsto-\cos\left(2(x-\pi)\right)+1\end{aligned}$$

12.3

Welche Funktion entsteht, wenn man den Graphen von $x\mapsto\ln(x)$

• a) an der $x$-Achse spiegelt,

• b) an der $y$-Achse spiegelt,

• c) um $1$ entgegen der $x$-Richtung verschiebt,

• d) um $2$ in $y$-Richtung verschiebt,

• e) an der ersten Winkelhalbierenden spiegelt?

12.4

Beschreiben Sie die Transformationen, wie die Graphen der folgenden Funktionen aus den bekannten grundlegenden Graphen entstehen. Skizzieren Sie ohne Unterstützung eines elektronischen Hilfsmittels die Graphen.

$$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle x\mapsto-\sqrt{4-x}&\displaystyle&\displaystyle x\mapsto\frac{|x-1|}{2}\\ \displaystyle&\displaystyle x\mapsto 2x^{2}+8x-1&\displaystyle&\displaystyle x\mapsto 3\left(\sin\left(-2x-\pi\right)-1\right)\end{aligned}$$

12.5

Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Begründen Sie die Korrektheit der wahren Aussagen und geben Sie für die falschen Aussagen ein Gegenbeispiel an.

• a) Polynomfunktionen geraden Grades haben keine Nullstellen.

• b) Polynomfunktionen ungeraden Grades haben mindestens eine Nullstelle.

• c) Quadratische Funktionen haben ein Maximum oder ein Minimum.

• d) Die Funktion $x\mapsto\frac{1}{x}$ hat $\mathbb{R}$ als Definitionsbereich.

• e) Die Funktion $x\mapsto\frac{1}{x^{3}}$ hat $\mathbb{R}$ als Wertebereich.

• f) Jede gebrochenrationale Funktion hat eine Definitionslücke.

• g) An den Wendestellen der Funktion $x\mapsto\sin(x)$ liegen Extrema der Funktion $x\mapsto\cos(x)$ vor.

12.6

Skizzieren Sie die Graphen folgender abschnittsweise definierter Funktionen:

$$\begin{aligned}\displaystyle f(x)&\displaystyle=\left\{\begin{array}[]{ccl}x+2&\textnormal{f{\"u}r}&x<0\\ 2&\textnormal{f{\"u}r}&0\leq x<2\\ \frac{x^{2}}{2}&\textnormal{f{\"u}r}&x\geq 2\end{array}\right.\\ \displaystyle g(x)&\displaystyle=\left\{\begin{array}[]{ccl}|{-x}-1|&\textnormal{f{\"u}r}&x\leq 0\\ \cos(\pi x)&\textnormal{f{\"u}r}&x> 0\end{array}\right.\end{aligned}$$

12.7

Berechnen Sie für folgende Funktionen $f$, $g$ jeweils die Abbildungsvorschriften von $f+g$, $f-g$, $f\cdot g$, $\frac{f}{g}$. Bestimmen Sie jeweils auch den maximalen Definitionsbereich.

• a) $f(x)=x-2;\ g(x)=1-2x$

• b) $f(x)=\sin(x);\ g(x)=\cos(x)$

• c) $f(x)=x^{2}-1;\ g(x)=x-1$

• d) $f(x)=\sqrt{1+x};\ g(x)=\sqrt{x}$

12.8

Bestimmen Sie geeignete Funktionen $f$ und $g$, für die $g\circ f=h$ ist mit

• a) $\displaystyle h(x)=\ln(x+1)$

• b) $\displaystyle h(x)=\left(\frac{x+2}{x+1}\right)^{2}$

• c) $\displaystyle h(x)=\cos^{2}(x)$

12.9

Gegeben sind die Funktionen $f$, $g$, $h$ mit

$$\begin{aligned}\displaystyle f(x)&\displaystyle=x^{2},&\displaystyle g(x)&\displaystyle=\sqrt{x},&\displaystyle h(x)&\displaystyle=\frac{1}{x}.\end{aligned}$$

Bestimmen Sie die Abbildungsterme folgender Funktionen. Vereinfachen Sie die Funktionsterme weitmöglichst. Wie groß ist jeweils der maximale Definitionsbereich?

• a) $g\circ f$ und $f\circ g$

• b) $f\circ(g+h)$

• c) $h\circ(f\cdot g)$

• d) $f\circ\left(\frac{g}{h}\right)$

• e) $f\circ(g\circ h)$

12.10

Versuchen Sie, ohne Einsatz eines elektronischen Hilfsmittels die Graphen folgender Funktionen zu skizzieren.

$$\begin{aligned}\displaystyle y&\displaystyle=|\sin(x)|&\displaystyle y&\displaystyle=\frac{1}{\sqrt{x}}&\displaystyle y&\displaystyle=e^{\cos(x)}\\ \displaystyle y&\displaystyle=x+|x-1|&\displaystyle y&\displaystyle=\frac{x-1}{x+1}&\displaystyle y&\displaystyle=\ln(4-x^{2})\end{aligned}$$

12.11

Bestimmen Sie eine Polynomfunktion möglichst niedrigen Grades, deren Graph durch die folgenden Punkte geht.

• a) $P_{0}(0|{-3});\ P_{1}(1|0);\ P_{2}(2|5)$

• b) $P_{0}(-1|{-17});\ P_{1}(0|{-5});\ P_{2}(1|1);\ P_{3}(2|13)$

12.12

Berechnen Sie die Polynomfunktion $g$, für die

$$\begin{aligned}\displaystyle x^{4}-3x^{3}+6x-4=(x^{2}-2)\cdot g(x)\end{aligned}$$

gilt.

Lösungen zu den Aufgaben

12.1

$y=-\frac{1}{2}x+1$, $y=x^{2}-1$, $y=\sin(x)$, $y=\ln(x)$, $y=e^{x}$, $y=\tan(x)$

12.2

Die Graphen der Funktionen finden Sie im Online-Material.

Tabelle mit Definitions- und Wertebereichen:

$$\begin{aligned}\displaystyle\begin{array}[]{@{}c@{~}c@{~}c@{}}\textnormal{Funktion}\leavevmode\nobreak\ &\textnormal{Definitionsbereich}\leavevmode\nobreak\ &\textnormal{Wertebereich}\\ 2x+1\leavevmode\nobreak\ &\mathbb{R}\leavevmode\nobreak\ &\mathbb{R}\\ x^{2}-2\leavevmode\nobreak\ &\mathbb{R}\leavevmode\nobreak\ &\left[-2;\infty\right[\\ 2\sin(x)\leavevmode\nobreak\ &\mathbb{R}\leavevmode\nobreak\ &\left[-2;2\right]\\ -e^{x}+1\leavevmode\nobreak\ &\mathbb{R}\leavevmode\nobreak\ &\left]{-\infty};1\right[\\ \tan\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\leavevmode\nobreak\ &\left\{x\in\mathbb{R}\;\middle|\;x\not=k\pi,\leavevmode\nobreak\ k\in\mathbb{Z}\right\}\leavevmode\nobreak\ &\mathbb{R}\\ \frac{1}{(x-2)^{2}}\leavevmode\nobreak\ &\mathbb{R}\backslash\{2\}\leavevmode\nobreak\ &\left]0;\infty\right[\\ e^{-x}\leavevmode\nobreak\ &\mathbb{R}\leavevmode\nobreak\ &\left]0;\infty\right[\\ \frac{2}{x+1}\leavevmode\nobreak\ &\mathbb{R}\backslash\{-1\}\leavevmode\nobreak\ &\mathbb{R}\backslash\{0\}\\ \ln(1+x)+1\leavevmode\nobreak\ &\left]{-1};\infty\right[\leavevmode\nobreak\ &\mathbb{R}\\ 2\sin(2x)-2\leavevmode\nobreak\ &\mathbb{R}\leavevmode\nobreak\ &\left[-4;0\right]\\ 2(x+1)^{2}-4\leavevmode\nobreak\ &\mathbb{R}\leavevmode\nobreak\ &\left[-4;\infty\right[\\ -\cos\left(2(x-\pi)\right)+1\leavevmode\nobreak\ &\mathbb{R}\leavevmode\nobreak\ &\left[0;2\right]\end{array}\end{aligned}$$

12.3

• a) $y=-\ln(x)$

• b) $y=\ln(-x)$

• c) $y=\ln(x+1)$

• d) $y=\ln(x)+2$

• e) $y=e^{x}$

12.4

Umwandlung der Funktionsterme, sodass man die Transformationen ablesen kann.

$$\begin{aligned}\displaystyle y&\displaystyle=-\sqrt{4-x}=-\sqrt{(-1)(x-4)}\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}\displaystyle y&\displaystyle=\frac{|x-1|}{2}=\left\{\begin{array}[]{ccl}\frac{1}{2}(x-1)&\textnormal{f{\"u}r}&x\geq 1\\ \frac{1}{2}(-x+1)&\textnormal{f{\"u}r}&x<1\end{array}\right.\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}\displaystyle y&\displaystyle=2x^{2}+8x-1=2(x+2)^{2}-9\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}\displaystyle y&\displaystyle=3\left(\sin\left(-2x-\pi\right)-1\right)=3\sin\left((-2)\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right)-3\end{aligned}$$

12.5

Die Aussage ist

• a) falsch, z. B. hat $y=x^{2}-1$ gleich zwei Nullstellen;

• b) wahr, da die Funktion für negative $x$ gegen $-\infty$ und für positive $x$ gegen $+\infty$ strebt oder umgekehrt;

• c) wahr, da eine Parabel entweder unten oder oben einen Scheitel und damit ein Extremum hat;

• d) falsch, da $x=0$ eine Definitionslücke ist;

• e) falsch, da durch die Funktion z. B. der Wert $y=0$ nicht erreicht wird;

• f) falsch, Gegenbeispiel $f(x)=\frac{x}{1+x^{2}}$;

• g) wahr, die Wendestellen $x=k\pi$ $(k\in\mathbb{Z})$ der Sinusfunktion sind die Maximal- bzw. Minimalstellen der Kosinusfunktion.

12.6

12.7

• a) $(f+g)(x)=-x-1,\ D_{f+g}=\mathbb{R}$

  $(f-g)(x)=3x-3,\ D_{f-g}=\mathbb{R}$

  $(f\cdot g)(x)=-2x^{2}+5x-2,\ D_{f\cdot g}=\mathbb{R}$

  $\frac{f}{g}(x)=\frac{x-2}{1-2x},\ D_{\frac{f}{g}}=\mathbb{R}\setminus\{\frac{1}{2}\}$

• b) $(f+g)(x)=\sin(x)+\cos(x),\ D_{f+g}=\mathbb{R}$

  $(f-g)(x)=\sin(x)-\cos(x),\ D_{f-g}=\mathbb{R}$

  $(f\cdot g)(x)=\sin(x)\cdot\cos(x),\ D_{f\cdot g}=\mathbb{R}$

  $\frac{f}{g}(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=\tan(x),\ D_{\frac{f}{g}}=\big\{x\in\mathbb{R}\;|\;x\not=\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\big\}$

• c) $(f+g)(x)=x^{2}+x-2,\ D_{f+g}=\mathbb{R}$

  $(f-g)(x)=x^{2}-x,\ D_{f-g}=\mathbb{R}$

  $(f\cdot g)(x)=x^{3}-x^{2}-x+1,\ D_{f\cdot g}=\mathbb{R}$

  $\frac{f}{g}(x)=\frac{x^{2}-1}{x-1}=x+1,\ D_{\frac{f}{g}}=\mathbb{R}\backslash\{1\}$

• d) $(f+g)(x)=\sqrt{1+x}+\sqrt{x},\ D_{f+g}=\left[0;\infty\right[$

  $(f-g)(x)=\sqrt{1+x}-\sqrt{x},\ D_{f-g}=\left[0;\infty\right[$

  $(f\cdot g)(x)=\sqrt{x+x^{2}},\ D_{f\cdot g}=\left[0;\infty\right[$

  $\frac{f}{g}(x)=\sqrt{\frac{1+x}{x}},\ D_{\frac{f}{g}}={}\left]0;\infty\right[$

12.8

• a) $f(x)=x+1$, $g(x)=\ln(x)$

• b) $f(x)=\frac{x+2}{x+1}$, $g(x)=x^{2}$

• c) $f(x)=\cos(x)$, $g(x)=x^{2}$

12.9

• a) $(g\circ f)(x)=\sqrt{x^{2}}=|x|$, $D_{g\circ f}=\mathbb{R}$

  $(f\circ g)(x)=\sqrt{x}^{2}=x$, $D_{f\circ g}=\left[0;\infty\right[$

• b) $\left(f\circ(g+h)\right)(x)=\left(\sqrt{x}+\frac{1}{x}\right)^{2}=x+\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{1}{x^{2}}$,

  $D_{f\circ(g+h)}=\left]0;\infty\right[$

• c) $\left(h\circ(f\cdot g)\right)(x)=\frac{1}{x^{2}\cdot\sqrt{x}}=\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}$, $D_{f\circ(g\cdot h)}={}\left]0;\infty\right[$

• d) $\left(f\circ\left(\frac{g}{h}\right)\right)(x)=\left(\sqrt{x}\cdot x\right)^{2}=x^{3}$, $D_{f\circ\left(\frac{g}{h}\right)}={}\left]0;\infty\right[$

• e) $\left(f\circ(g\circ h)\right)(x)=\sqrt{\frac{1}{x}}^{2}=\frac{1}{x}$, $D_{f\circ(g\circ h)}={}\left]0;\infty\right[$

12.10

12.11

• a) $f(x)=x^{2}+2x-3$

• b) $f(x)=2x^{3}-3x^{2}+7x-5$

12.12

Der Ansatz $g(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$ ergibt mit Ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich

$$\begin{aligned}\displaystyle g(x)=x^{2}-3x+2.\end{aligned}$$

Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben finden Sie im Online-Material.

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