Störungstheorie

Zusammenfassung

In diesem Kapitel wird die Technik der Störungstheorie zur näherungsweisen, praktischen Berechnung von Greenfunktionen und Streumatrixelementen als Potenzreihe in einer Kopplungskonstanten entwickelt, wobei wir uns wie im letzten Kapitel auf die Theorie eines reellen Skalarfeldes beschränken. Nach einigen formalen Vorbereitungen werden wir als erste Anwendung den Wirkungsquerschnitt eines (2 $\rightarrow$ 2)-Streuprozesses spinloser Teilchen zu führender Ordnung in der Kopplung berechnen. Die Verallgemeinerung auf beliebige Prozesse zu beliebiger Ordnung führt auf die Feynmanregeln, mit deren Hilfe solche Rechnungen vereinfacht und grafisch dargestellt werden können. Eine qualitative Diskussion der Korrekturen höherer Ordnung illustriert die bereits im letzten Kapitel genannten fundamentalen Unterschiede zwischen freien und wechselwirkenden Theorien sowie des klassischen und quantenmechanischen Vakuums.

Aufgaben

7.1

Zeigen Sie für einen zeitabhängigen Operator H(t), dass

$$ {\begin{matrix} &{} \int _{-\infty }^t \mathrm{d}t_1 H(t_1) \int _{-\infty }^{t_1} \mathrm{d}t_2 H(t_2) \int _{-\infty }^{t_2} \mathrm{d}t_3 H(t_3) ... \int _{-\infty }^{t_{n-1}} \mathrm{d}t_n H(t_n) \\ &{} \qquad = \frac{1}{n!} \int _{- \infty }^{t} \mathrm{d}t_1 \int _{- \infty }^{t} \mathrm{d}t_2 \int _{- \infty }^{t} \mathrm{d}t_3 ... \int _{- \infty }^{t} \mathrm{d}t_n T \left[ H(t_1) H(t_2) ... H(t_n)\right] , \end{matrix}} $$

wobei der Zeitordnungsoperator T in Gl. (6.36) definiert ist.

7.2

Man wende das Wick’sche Theorem an auf

$$ \langle 0|T\Big (\phi (x_1)\phi (x_2):\phi (x_3)\phi (x_4):\Big )|0\rangle \,, $$

d. h. man zerlege den Ausdruck in alle möglichen Wickkontraktionen.

Beweisen Sie das Wick’sche Theorem für die Dreipunktfunktion

$$\begin{aligned} T(\phi (x_1)\phi (x_2)\phi (x_3))= & {} :\phi (x_1)\phi (x_2)\phi (x_3):\\&+:\phi (x_1):\,\langle 0|T(\phi (x_2)\phi (x_3))|0\rangle \\&+:\phi (x_2):\,\langle 0|T(\phi (x_1)\phi (x_3))|0\rangle \\&+:\phi (x_3):\,\langle 0|T(\phi (x_1)\phi (x_2))|0\rangle . \end{aligned}$$

Hinweis: Es ist nützlich, die Felder in Erzeugungs- und Vernichtungsanteilen auszudrücken.

7.3

Der Feynmanpropagator für ein reelles Skalarfeld lautet

$$ \Delta _F(x-y) = i\int \frac{\mathrm{d}^4p}{(2\pi )^4} \frac{e^{-ip\cdot (x-y)}}{p^2-m_0^2+i\epsilon }. $$

Verifizieren Sie mithilfe des Residuensatzes, dass dies äquivalent ist zu

$$ \Delta _F(x-y) = \int \frac{\mathrm{d}^3 \text {p}}{(2\pi )^3}\frac{1}{2p^0}\Big \{ e^{-ip\cdot (x-y)}\theta (x^0-y^0) + e^{+ip\cdot (x-y)}\theta (y^0-x^0) \Big \}. $$

7.4

Zeigen Sie, dass der Feynmanpropagator eine Greenfunktion ist, d. h. 

$$\begin{aligned} ({\Box }_{x} + m_0^2) \langle 0 \left| T(\phi _I(x) \phi _I(y)) \right| 0 \rangle = -i \delta ^{(4)}(x-y). \end{aligned}$$

7.5

Schreiben Sie die Ausdrücke für die folgenden Feynmandiagramme im Impulsraum an:

Integrieren Sie alle Deltafunktionen aus, die restlichen Integrationen müssen nicht ausgeführt werden (was geschieht sonst?).