Zusammenfassung
Dass sich Zinsen, Aktien- und Wechselkurse auf den Märkten fast kontinuierlich und unerwartet ändern, schlägt sich in dem geänderten Wert von Finanzprodukten nieder. Positiv als Gewinn oder negativ als Verlust gesehen, diese Unsicherheit, das Marktpreisrisiko, soll in diesem Kapitel stochastisch modelliert werden. Eine Anwendung, nämlich das als Value-at-Risk bekannte Quantil der Wertänderungsverteilung kann die Grundlage von Portfoliosteuerung oder staatlicher Regulierung sein. Die Normalverteilung stellt den Ausgangspunkt der Modellierung dar. Ihre Parameter, insbesondere die Varianz, muss dann geschätzt werden. Der angewandte Charakter des Buches schlägt sich im praktisch typischen Design einer univariaten Zeitreihe wieder. Nicht nur die Zeitreihe sondern auch schon der Verlust, stellt, als Funktion der Zeit, einen stochastischen Prozess dar.
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Notes
- 1.
Wir können auch die Datenbasis anpassen und \(\beta \) in den Optionswert „absorbieren“ und dasselbe für den Aktienkurs annehmen, also die Kurse um den Trend des risikofreien Zinses bereinigen.
- 2.
Dabei hat das Symbol nichts mit dem K für den Strike-Preis der Option zu tun.
- 3.
Der Ansatz \(\varDelta K = K_1 - K_0= \eta _1 - \beta ^{-1} \eta _0\) führt zu einem anderen Ergebnis für \(K_1\). Trotzdem erscheint er zunächst sinnvoll, da \(\bar{\varDelta K}=\beta \eta _1 - \eta _0\). \(\bar{\varDelta K}\) ist aber nicht wohldefiniert, da z. B. nicht klar ist, wann der Wert des Bargeldes von \(\eta _0\) auf \(\beta ^{-1} \eta _0\) springt.
- 4.
Bemerkung: Wir haben nicht \(\beta ^{-1}\eta _0\) auf dem Konto, da wir die Zinsen an den \(\eta _0\)-Leiher durchleiten.
- 5.
Noch nicht dargestellt ist aber, dass die erste Veränderliche der Funktion, S, von der zweiten, t, implizit abhängt.
- 6.
Kurze Wiederholung: Wenn dem nicht so wäre, würde Folgendes passieren. Fall 1: \(d V > r V d t\) (mehr Gewinn): Ein Arbitrageur würde Kapital zum Zins r aufnehmen und in das Portfolio investieren, er hätte einen risikolosen Gewinn. Fall 2: \(d V < r V d t\): Ein Arbitrageur würde das Portfolio (leer) verkaufen und die Einnahme in t in ein risikoloses Produkt mit Zins r stecken. In \(t+ d t\) könnte er dann den Käufer des Portfolios mit weniger entgelten, als er aus dem risikolosen Produkt bekommt.
- 7.
Denn, wie in Abschn. 2.1.2 argumentiert, wollten wir in \(t^H\) einem Vertragspartner den Verkauf einer Aktie in T zum Preis von K garantieren, müssten wir diese in \(t^H\) für \(S_{t^H}\) kaufen und die Kosten dem diskontierten Wert von K gegenüberstellen.
- 8.
Die Intervalle werden regulatorisch vorgegeben und sind grob in den Mindestanforderungen an das Risikomanagement formuliert.
- 9.
Die Notation \(\varDelta \) ist insofern konsistent mit der in (1.13), als dass \(t^H\) als \(t+1\) definiert werden könnte und bei täglichen Zeitschritten dem eintägigen Risikohorizont entspricht. Wie oben erwähnt, ist der Horizont zwar typisch, soll aber nicht ausschließlich gemeint sein. Der Index kann hier wie in Abschn. 3.1 entfallen, da nur zwei Zeitpunkte betrachtet werden.
- 10.
In Abschn. 2.2 steht das Subskript zur Unterscheidung in Klammern. Insofern ist die Notation hier die Vereinfachung von \(r_{(T-t_0),t^H}\).
- 11.
Diese Prozeduren sind üblicherweise in mathematischer und statistischer Standardsoftware, wie z. B. Mathematika\(^{\circledR }\) und SAS\(^{\circledR }\), implementiert.
- 12.
Für eine genauere Darstellung vom 05.01.1962 bis zum 04.03.2009 an den 11.950 Geschäftstagen siehe Abb. 1.1 in Weißbach et al. (2010).
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Weißbach, R. (2019). Marktpreisrisiko. In: Einführung in die Finanzstatistik. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-57640-3_3
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