Approximation und Fourier-Reihen

Zusammenfassung

Trigonometrische Reihen haben eine lange Tradition in der Mathematik. Der zentrale Anstoß zur Theorie dieser Reihen geht auf Joseph Fourier (1768–1830) zurück, der in seinem Buch Théorie analytique de la chaleur das Problem der Wärmeleitung analytisch mittels Reihenentwicklungen untersuchte. Hierbei spielte die Entwicklung einer gegebenen Funktion in eine trigonometrische Reihe der Form

$$\sum_{k=1}^{\infty}\big(a_{k}\cos(kx)+b_{k}\sin(kx)\big)$$

eine entscheidende Rolle. Das Problem, eine Funktion in eine Reihe nach einem gegebenen Funktionensystem $(\varphi_{k})_{k\in\mathbb{N}}$ zu entwickeln, haben wir schon am Beispiel der Taylor-Entwicklung kennengelernt. Dabei gingen wir von dem System $1,x,x^{2},x^{3},\ldots$ der Potenzen aus und fragten, unter welchen Bedingungen eine gegebene Funktion sich in eine Potenzreihe entwickeln lässt, d. h., wann $f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}x^{k}$ gilt.