Umkehrabbildungen und Implizite Funktionen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel untersuchen wir mehrere, eng miteinander zusammenhängende Themenkomplexe. Wir beginnen mit der zentralen Frage, wann eine stetig differenzierbare Funktion $f$ eine ebensolche Umkehrfunktion besitzt. Der Satz über die Umkehrfunktion gibt darauf eine befriedigende Antwort: Eine stetig differenzierbare Funktion, deren Differential in einem Punkt invertierbar ist, besitzt in einer gewissen Umgebung dieses Punktes eine Umkehrung, die ebenfalls stetig differenzierbar ist.

Dieser Satz führt uns in Abschnitt 3.2 zur Frage nach der impliziten Auflösbarkeit von Gleichungen und damit zum Satz über implizite Funktionen. Dieser erlaubt es uns in Abschnitt 3.3, ein notwendiges Kriterium für die Existenz von Extrema unter Nebenbedingungen, die sogenannte Lagrangesche Multiplikatorenregel, zu entwickeln. Dies führt uns in natürlicher Weise in Abschnitt 3.4 auf den Begriff der Untermannigfaltigkeit des $\mathbb{R}^{n}$.

Die Beantwortung der zentralen Frage dieses Kapitels erweist sich als deutlich schwieriger als in der eindimensionalen Situation, da die Monotonieargumente der eindimensionalen Situation nicht mehr zur Verfügung stehen. Unsere Herleitung des Satzes über die lokale Umkehrbarkeit einer stetig differenzierbaren Abbildung beruht auf zwei Pfeilern: dem Schrankensatz und dem Banachschen Fixpunktsatz. Wir zeigen damit zunächst, dass unter gewissen Bedingungen an $f$ eine stetige Umkehrung von $f$ lokal existiert. Die Kettenregel, verbunden mit der Stetigkeit der Inversion, impliziert dann, dass diese wiederum stetig differenzierbar ist.